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6.2 反比例函数的图象和性质(二)(第2课时)

时间:2017-06-20


第六章 反比例函数
第2节反比例函数的图象和性质 (二 )

要点回顾 铺平道路

1.下列函数中,哪些是反比例函数?
1 (1) y ? x ? 1

?3 (2 ) y ? x

1 (3) y ? 2 x 1 y ? ( 5) 3x

2 (4) y ? x

2 2.你能想到 y ? 的图象吗? 它是什 x

么形状?有什么特点?

?3 y? 呢? x

小测验:

k y ? (k是常数,k ? 0) 1.写出反比例函数的表达式:_______________. x

双曲线 2.反比例函数的图象是____________. 3.反比例函数 限内.
2 y?? x

二、四 象 的图象在第_________ 经过点(m,2),则m的值

4 4.反比例函数 y ? x

______. 2

k 5.反比例函数 y ? x 的图象经过点(2,-3), 则 6 y?? 它的表达式为_______________. x

复习回顾

?画函数图象的一般步骤
列表 描点 连线

?反比例函数图象是一条双曲线,它 所在象限与k的关系怎样?
重要结论:
反比例函数的图象是由两支曲线组成的 (通常称为双曲线). 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.

练习:
k+1 1.若关于x,y的函数 y ? x

图象位于第一、三

k > -1 象限,则k的取值范围是_______________
2.甲乙两地相距100km,一辆汽车从甲地开往乙地, 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均 速度x(km/h)的函数,则这个函数的图象大致是( C )
在实际问题 中图象就可 能只有一支.

3.如图,函数y=k/x和y=-kx+1(k≠0)在同一坐标 系内的图象大致是 ( D )
6

y

6

y

4

4

2

2

-5

O
-2

5

x

-5

O
-2

5

x

-4

-4

A
6

B
6

y

y

先假设某个函数 图象已经画好, 再确定另外的是 否符合条件.

4

4

2

2

-5

O
-2

5

x

-5

O
-2

5

x

-4

-4

C

D

2 4 6 观察反比例函数 y ? , y ? , y ? x x x 答下列问题:

的图象,回

(1)函数图象分别位于哪几个象限内? 第一、三象限内

(2)当x取什么值时,图象在第一象限?当x取什么值时, 图象在第三象限? x>0时,图象在第一象限; x<0 时,图象在第三象限。 (3)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化? 在每一个象限内,y随x的增大而减小

2 4 6 如果k= -2, -4, -6,那么 y ? ? , y ? ? , y ? ? x x x
的图象有又什么共同特征?

(1)函数图象分别位于哪个象限内? x>0时,图象在第四象限;x<0 时,图象在第二象限
(2)在每个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化? 在每一个象限内,y随x的增大而增大

重要结论
反比例函数的图象,当k>0时,在每一 象限内,y的值随x值的增大而减小,

并且第一象限内的y值大于第三象限内
的y值;当k<0时,在每一象限内,y的

值随x值的增大而增大,并且第二象限
内的y值大于第四象限内的y值.

例1:已知点A(-2, y1)、B(-1, y2)、

k C (3, y3)都在反比例函数 y ? (k ? 0) x 的图象上,比较y1、y2、y3大小。
y2 < y1 <y3

练习:已知点A(x1, y1)、B(x2, y2),
k x1>x2都在反比例函数 y ? (k ? 0) x

的图象上,比较y1、y2、大小。
若x2 < x1 <0时, y1>y2; 若x2 < 0, x1>0时, y1<y2; 若x1 >x2 >0时, y1<y2;
6

y

4

2

-5

O
-2

5

x

-4

激趣质疑 再探新知

在一个反比例函数图象任取两点P、 Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,

与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点
Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标

轴围成的矩形面积为S2,S1与S2有什
么关系?为什么?

激趣质疑 再探新知

2 S1与S2有什么关系?以 y ? 为例: x

Q ? S2

S1

?P

k 对于一般的函数 y ? 呢? x

变一变: 在一个反比例函数图象任取两点P、 Q ,过点 作x轴的垂线,连接PO(O
P

为原点),与坐标轴围成的三角形面
与坐标轴围成的三角形面积为S2,S1

积为S1;过点Q作x轴的垂线,连接QO,

与S2有什么关系?为什么?

活学活用 巩固提高 1.如图, P(x,y)是反比例函数的图象在第一 象限分支上的一个动点, PA⊥x轴于点A, PB y轴于点B,随着自变量x的增大,矩形 OAPB的面积( )

A. 不变 C. 减小

B. 增大 D. 无法确定

活学活用 巩固提高
4 2.如图,P(x, y)是反比例函数 y ? 的图 x

象在第一象限分支上的一个动点,过点P 作PA⊥x轴于点A, 连接PO,三角形OAP 的面积为 .

活学活用 巩固提高

?已知点P(3,2)、点Q(-2,a)都在反比例
k 函数 y ? 的图象上. 过点P分别作两 x

坐标轴的垂线,垂线与两坐标轴围成

的面积是S1;过点Q分别作两坐标轴
的垂线,垂线与两坐标轴围成的面积

是S2 .求a、 S1 、 S2 的值.

归纳总结 纳入系统 本节课你学到了反比例函数的哪些新 知识?
你有哪些感悟和收获?

你还有想继续探究的问题吗?

达标检测
A层: 1.下列函数中,图象位于第一、三象限的 有 ; 在图象所在象限内,y 随x的增大而增大的 有 . 2 0.1 5 ?2 (1) y ? ;(2) y ? ;(3) y ? ;(4) y ? . 3x x x 75 x 2.已知点A(-1,y1)、B(-2,y2 )在 1 双曲线 y ? 上,则y1 y2(填 “>、< x 或=”).

达标检测

B层: 已知(2, y1)、(1, y2) 、(-1, y3) 、(-2, y4)

都在反比例函数

1 y? x

的图象上,比

较y1、y2、y3与 y4 的大小.

达标检测

C层: 已知点(2, y1)、(1, y2) 、(3, y3) 都在
k 反比例函数 y ? 的图象上,比较 y1、 x

y2与y3的大小.

观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:

(1)它们会与坐标轴相交吗?
它们都不与坐标轴相交。

(2)反比例函数的图象是中心对称图形吗?
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.

(3)反比例函数的图象是轴对称图形吗?
是轴对称图形,它们有两条对称轴.

填表分析正比例函数和反比例函数的区别
函数 表达式
图象形状
位 置

正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
y随x的增大而增大

反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )

双曲线 一三 象限 每个象限内, y随
x的增大而减小

K>0

增 减 性
位 置

二四 象限
y随x的增大而减小

二四 象限

K<0

增 减 性

每个象限内, y随
x的增大而增大

1. 已知函数 y ? ? a ? 1? x 减小,求a的值和表达式. 当函数为反比例函数时 解:依题意得 :

补充练习:

a2 ? a ?7

,y随x的增大而

当函数为正比例函数时…… ?a ? 1 ? 0(1) ? 2 ?a ? a ? 7 ? ?1(2) 由(1)得:a ? 1
由(2)得:a ? 2, a ? ?3 ? 1(舍去) 1 ? a的值为2,反比例函数为y= x

2.若正比例函数y ? k1 x(k1 ? 0)与反比例函数 y?
k2 x

(k2 ? 0)的函数值都随x的增大而增大,

那么它们在同一直角坐标系内的大致图
D . 象是 ____
y

y
O

y O

y x

O

x B

x

x
C

o

A

D


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