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5.5


5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切 基本公式推导 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ tan(α +β )= α =2sinα cosα (S2α ); 2 2 α =cos α -sin α (C2α );

tan? ? tan ? 2 tan? ? tan 2

? ? (T2? ) 1 ? tan? tan ? 1 ? tan2 ?
2

因为 sin ? ? cos ? ? 1 ,所以公式 (C2? ) 可以变形为
2

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1或
变形 cos ? ?
2

?? ) cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? (C2
sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2

1 ? cos 2? , 2

?? ) , (T2? ) 统称为二倍角的三角函数公式,简称为二倍角公式. 公式 ( S 2? ) , (C2? ) , (C2
*积化和差公式的推导

1 [sin(? + ?) 2 1 sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ? cos?sin? = [sin(? + ?) 2 1 cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? = [cos(? + ?) 2 1 cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? = ? [cos(? + 2
sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos? ? sin?cos? = *和差化积公式的推导

+ sin(? ? ?)] ? sin(? ? ?)] + cos(? ? ?)] ?) ? cos(? ? ?)]

??? ??? ,? ? 2 2 ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? sin cos ? [sin( ? ) ? sin( ? )] ? 2 2 2 2 2 2 2 ??? ??? cos ∴ sin ? ? sin ? ? 2 sin 2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2
若令? + ? = ?,? ? ? = φ ,则 ? ? 半角公式推导

代入得:

1 (sin ? ? sin ?) 2

sin
tan

? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos?
? sin ? 1 ? cos ? ? ? 2 1 ? cos ? sin ?

1

推导:1).在 cos2? ? 1 ? 2 sin ? 中,以?代 2?,
2

? 代? 即得: 2 ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ∴ sin 2 2 2 ? 2 2).在 cos2? ? 2 cos ? ? 1 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ∴ cos 2 2 2 ? 1 ? cos ? 2 ? 3).以上结果相除得: tan 2 1 ? cos ?
4).

1 ? cos? ? sin ?

1 ? (1 ? 2 sin 2 2 sin 2 sin

?

?
2

cos

?

2 ?

)

2

2 ? tan? ? 2 cos 2

sin

?

sin ? ? 1 ? cos?

2 ? 2 ? tan? ? 2 1 ? 2 cos ? 1 cos 2 2 2
2 ?

?

cos

?

sin

?

万能公式(均化为 tan 形式)推导

sin ? ?

2 tan

?
2 , cos? ?
2

1 ? tan2 1 ? tan
2

? ?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2
2

1 ? tan

?

2 2 sin

1 ? tan

?
2

? ? ? cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 推导:1) sin ? ? ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 cos? 2 2 ? 2 2) cos? ? ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? 2 sin cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 3) tan? ? ? ? ? ? cos? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 2 2 2
例 1 、 不查表.求下列各式的值 (1) sin 15 cos15 ;
? ?

(2) cos

2

?
8

? sin 2
2

?
8
?



(3)

2 tan 22.5 ? ; 1 ? tan2 22.5 ?
? ?

(4) 1 ? 2 sin 75 .

解: (1) sin 15 cos15 =

1 1 sin 30 ? ? ; 2 4

2

(2) cos

2

?
8

? sin 2

?
8

= cos

?
4

?

2 ; 2

(3)

2 tan 22.5 ? ? = tan 45 ? 1 ; 1 ? tan2 22.5 ?
2 ?

? (4) 1 ? 2 sin 75 = cos150 ? ?

3 . 2
4

例2、不查表.求下列各式的值

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) 12 12 12 12 1 1 ? (3) 1 ? tan ? 1 ? tan ?
(1) (sin 解: (1) (sin (2) cos
4

(2) cos

?
2

? sin 4
2

?
2

(4) 1 ? 2 cos ? ? cos2?

5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2

? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2 1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? (3) 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
(4) 1 ? 2 cos ? ? cos2? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2
2 2 2

例3、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值 解:sin2? ? cos2? = 例 4、 已知 sin ? ?

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2 sin cos? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan? ? tan2 ? ? 1 7 ? ? 5 sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ?
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5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值 13 2 5 ? 12 2 , ? ? ( , ?) 解:∵ sin ? ? ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13 2 13 120 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 169 119 120 2 cos2? = 1 ? 2 sin ? ? tan2? = ? 169 119 ? 2 2 ? 例 5 、求证: sin ? ? cos ? cos( ? ?) ? sin ( ? ?) 的值是与?无关的定值 3 6 1 1 ? ? 证: 原式 ? (1 ? cos 2?) ? [1 ? cos( ? 2?)] ? cos ? cos( ? ?) —降次 2 2 3 3 1 ? ? ? ? [cos( ? 2?) ? cos 2?] ? cos ?(cos cos ? ? sin sin ?) 2 3 3 3
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1 ? ? 1 3 ? (cos cos2? ? sin sin 2? ? cos2?) ? cos2 ? ? cos? sin ?) 2 3 3 2 2
3

1 3 1 1 3 1 ? cos2? ? sin 2? ? cos 2? ? (1 ? cos2?) ? sin 2?) ? 4 2 2 4 4 4
? ? ? ?) ? sin 2 ( ? ?) 的值与?无关 3 6 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 例 6、 化简: ——升幂 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 cos2 ? 2 sin cos 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 2 2? 2 2 2 例 6 解: 原式 ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 cos2 ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 2
∴ sin ? ? cos ? cos(
2

2 cos (cos ? sin ) 2 sin (sin ? cos ) 2 2 2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 sin (sin ? cos ) 2 cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? ?(cot ? tan ) ? ?( ? )?? ? ?2 csc ? 2 2 sin ? sin ? sin ?
课堂练习 一、选择题 1、已知 cosα =-

?

?

?

?

?

?

3 ,且 tanα <0,则 sin2α 的值等于 3
1 B. 3 C.-



C



A.

2 2 3

2 2 3

1 D.- 3

2、若 sin ? ?

5 ?? ? ,? ? ? , ? ? ,则 tan 2? 的值为 13 ?2 ?
B、 ?

( A D、 ?



A、

120 119

120 119

C、

119 120

119 120
( B )

3、已知 sinα +cosα = 8 A. 9 8 B.- 9

1 ,则 sin2α = 3 8 C.± 9 D.

2 2 3
( B )

π 3 4、已知 sin(x- )= ,则 sin2x = 4 5 8 A. 25 5、若 x = B. 7 25 C. 16 25 16 D.- 25

π 4 4 ,则 sin x-cos x 的值为 12 B. ?

( C )

A.

1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

4

6、 1 ? sin10 ? A、 cos 5 ? sin 5 7、若 sin 2? ? B、 cos 5 ? sin 5 C、 sin 5 ? cos 5

( D D、 ? sin 5 ? cos 5 ( C



1 ? ? , ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值等于 4 4 2
B、



A、 8、 cos

3 2
cos 1 4

3 4

C、 ?

3 2

D、 ?

3 4
( A )

?
5

A、

2? 的值等于 5 1 B、 2

C、 2

D、 4

二、填空题 π π 1、计算 tan -cot = 8 8
2 2 2

.? 2
2

2、求值: (cos 10°-cos 80°) +sin 20° = 3、已知θ 是第三象限角,且 sin θ +cos θ = 4、函数 f ( x) ? cos x ? 三、解答题 π 3 1、 已知 sin( -α )= ,求 cos2α . 2 5 ∵ cos? ? sin?
4 4

.1 _______.

5 ,则 sin2θ 等于____ 9

2 2 3

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2



3 4

7 ?? ? 3 ? ? ? ? ,∴ cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? . 25 ?2 ? 5

2 cos2
2、已知:tanx = -2 2 ,求:

x ? sin x ? 1 2 的值. ?? ? 2 sin ? ? x ? ?4 ?

原式 ?

cos? ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 2 4 2 ?9 . ? ? ?? cos? ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 2 7
3 ?0 ? ? ? ? ? ,求: cos 2? 的值. 3

3、 已知: sin ? ? cos? ?

∵ sin ? ? cos? ? ∴

2 3 ? 0 , 2 sin ? cos ? ? ? ? 0 , 0 ? ? ? ? , 3 3

?
2

?? ?

3? 3? ;因而: ? ? 2? ? . 4 2

5

∵ sin 2? ? ?

2 5 ,∴ cos 2a ? ? . 3 3

4、已知: sin?

cos 2 x ?? ?? ? 5? 的值. ? x ? ? ? 0 ? x ? ? ,求: 4? ?? ? ?4 ? 13 ? cos? ? x ? ?4 ?

∵ sin?

?? ?? ? 5? ?? ? 12 . ? x ? ? ? 0 ? x ? ? ,∴ cos? ? x ? ? 4? ?4 ? 13 ? ?4 ? 13

?? ? ?? ? ?? ? sin ? ? 2 x ? 2 sin ? ? x ? cos? ? x ? ?2 ?? ?4 ? ?4 ? ? 2 cos? ? ? x ? ? 24 于是:原式 ? ? ? 4 ?? ? ?? ? ? ? 13 sin ? ? x ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ?
课后作业

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3cos 2? + 4sin 2? 的值 sin ? ? 3 cos ? 2 sin ? ? cos ? ? ?5 解:∵ ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 ) sin ? ? 3 cos ? 2 tan ? ? 1 ? ?5 ∴ 解之得:tan ? = 2 tan ? ? 3
1 已知
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∴原式 ?

3(1 ? tan2 ?) 4 ? 2 tan ? 3(1 ? 2 2 ) 4 ? 2 ? 2 7 ? ? ? ? 5 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 1 ? 22 1 ? 22

2 已知

? 1 1 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? = ? ,tan? = ? ,求 2? + ? 3 7 2 2 tan ? 3 ?? 2 4 1 ? tan ?

解: tan 2? ?

2? ? ?) ? ∴ tan(


tan2? ? tan? ? ?1 1 ? tan2? tan?

3? ? ? 2? ? 2 ? , ? ? ? ? 0 2 2 7? ∴ ? ? 2? ? ? ? 2? ∴2? + ? = 4 1 ? 3 已知 sin? ? cos? = , ? ? ? ? 2? ,求 tan 和 tan?的值 2 2 ? ? 2 tan 1 ? tan2 1 2 ? 2 ?1 解:∵sin? ? cos? = ∴ ? ? 2 2 1 ? tan2 1 ? tan2 2 2 ? 2 ? ? 4 tan ? 3 ? 0 化简得: tan 2 2
又∵tan2? < 0,tan? < 0 ∴ tan

? ? 4 ? 16 ? 12 ? ? ?2 ? 7 2 2
6

∵ ? ? ? ? 2?



? ? ? ?? 2 2

∴ tan

? ?0 2

即 tan

? ? ?2 ? 7 2

? 2 ? 2(?2 ? 7 ) ? ? 4 ? 2 7 ? 2 ? 7 ? 4 ? 7 tan? ? ? 1 ? (?2 ? 7 ) 2 ? 10 ? 4 7 5 ? 2 7 3 1 ? tan2 2 1 1 4 已知 cos? ? cos ? = ,sin? ? sin? = ? ,求 sin(? + ?)的值 2 3 1 ??? ? ?? 1 sin ? 解:∵cos? ? cos ? = ,∴ ? 2 sin ① 2 2 2 2 1 ??? ? ?? 1 sin ?? sin? ? sin ? = ? ,∴ ? 2 cos ② 3 2 2 3 ? ?? ??? 3 ??? 3 ? 0 ∴ ? tan ?? ? ∵ sin ∴ tan 2 2 2 2 2 ??? 3 2 tan 2? 2 2 ? 12 ∴ sin(? ? ?) ? ? ? ? ? 9 13 1 ? tan2 1? 2 4 2 tan
5 求证:sin3?sin ? + cos3?cos ? = cos 2? 2 2 证:左边 = (sin3?sin?)sin ? + (cos3?cos?)cos ?
3 3 3

= ?

1 1 2 2 (cos4? ? cos2?)sin ? + (cos4? + cos2?)cos ? 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 = ? cos4?sin ? + cos2?sin ? + cos4?cos ? + cos2?cos ? 2 2 2 2 1 1 1 = cos4?cos2? + cos2? = cos2?(cos4? + 1) 2 2 2 1 2 3 = cos2?2cos 2? = cos 2? = 右边 ∴原式得证 2
2 2
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6 已知α 、β 为锐角,且 3sin α +2sin β =1,3sin2α -2sin2β =0 求证:α +2β =
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? 2

证:由已知得 3sin α =cos2β ① 3sin2α =2sin2β

2



sin( ? 2 ? ) cos 2 ? ? 2 ①÷②得 tanα = ? ? tan( ? 2 ? ) ? sin 2 ? 2 cos( ? 2 ? ) 2 ? ∵α 、β ∴0<β < ,0<2β <π ,-π <-2β <0 2 ? ? ? ? ? ∴- < -2β < ∴α = -2β ,α +2β = 2 2 2 2 2 sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 7 求值: 2 cos 2 40? ? cos 40? ? 1 sin 40? ? 2 sin 40? cos 40? sin 40? ? sin 80? 2 sin 60? cos 20? ? ? ? tan 60? ? 3 解:原式= cos 80? ? cos 40? cos 80? ? cos 40? 2 cos 60? cos 20?
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?

7

8.已知 sin2α = 解:由

? ? ? <α < ,得 <2α <π . 4 2 2 5 又∵sin2α = , 13

5 ? ? , <α < ,求 sin4α ,cos4α ,tan4α 的值. 13 4 2

∴cos2α = ? 1 ? sin 2 2a = ? 1 ? (

5 2 12 ) ?? . 13 13

5 12 120 ×( ? )= ? ; 13 169 13 5 2 119 2 cos4α =cos[2×(2α )]=1-2sin 2α =1-2×( )= ; 13 129 sin 4 a 120 169 120 tan4α = =()× =? . cos 4 a 169 119 119
于是 sin4α =sin[2×(2α )]=2sin2α cos2α =2× 9.不查表,求值 解:原式= (sin15 ? cos15 ) ?
? ? 2

sin 2 15? ? 2 sin 15? ? cos2 15? ?

6 2

10. 若

cos 2a sin(a ?

?
4

?? )

2 ,则 cosα +sinα 的值为 2

C

A. ?

7 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2

11. 下列各式中,值为 A.2sin15°-cos15° 2 C.2sin 15°-1 12 证明

3 的是( B ) 2
B.cos 15°-sin 15° 2 2 D.sin 15°+cos
2 2

1 ? sin 2? ? cos 2? =tanθ . 1 ? sin 2? ? cos 2?

证明:方法一: 左=

sin 2? ? (1 ? cos 2? ) 2 sin ? cos? ? (1 ? 1 ? 2 cos2 ? ) ? sin 2? (1 ? cos 2? ) 2 sin ? cos? ? (1 ? 2 cos2 ? ? 1)

sin ? cos? ? 1 ? cos2 ? = sin ? cos? ? cos2 ?
=

sin ? cos? ? sin 2 ? sin ? cos? ? cos2 ?

8

sin ? (cos? ? sin ? ) =tanθ =右. cos? (sin ? ? cos? )
所以,原式成立. 方法二:

sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2? ? 2 sin 2 ? ? 左= sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2? ? 2 cos2 ?
=

2 sin ? (sin ? ? cos? ) =tanθ =右. 2 cos? (sin ? ? cos? )

方法三:

(1 ? sin 2? ) ? cos2? (sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? cos? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) 左= ? (1 ? sin 2? ) ? cos2? (sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? cos? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? )
=

(sin? ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) (sin? ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? )
(sin? ? cos? )(sin? ? cos? ? sin ? ? cos? ) (sin? ? cos? )(sin? ? cos? ? cos? ? sin ? ) (sin ? ? cos? ) ? 2 sin ? =tanθ =右. (sin ? ? cos? ) ? 2 cos?

=

=

13 求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°

2 3 ? sin 20? cos20? cos 40? cos80? = 2 3 ? 2 sin 20?
=

sin 160? sin 20? 1 ? ? ? 16sin 20 ? 16sin 20 16.

4 ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值. 5 4 解:方法一:在△ABC 中,由 cosA= ,0<A<π ,得 5
14 在△ABC 中,cosA= sinA= 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2 2

4 5

3 . 5

所以 tanA=

sin A 3 5 3 = × = , cos A 5 4 4

9

3 2 tan A 4 ? 24 tan2A= ? 2 3 7 1 ? tan A 1 ? ( )2 4 2?
又 tanB=2, 所以 tan2B=

2 tan B 2? 2 4 ? ?? . 2 2 3 1 ? tan B 1 ? 2

tan 2 A ? tan 2 B 于是 tan(2A+2B)= ? 1 ? tan2 A tan 2 B
方法二:在△ABC 中,由 cosA=

24 4 ? 44 7 3 ? . 24 4 177 1 ? ? (? ) 7 3

4 ,0<A<π ,得 5
2

sinA= 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2

4 5

3 . 5
3 ?2 11 4 ?? 3 2 1? ? 2 4

sin A 3 5 3 tan A ? tan B ? × = .又 tanB=2,所以 tan(A+B)= 所以 tanA= ? cos A 5 4 4 1 ? tan A tan B

11 ) 2 tan(A ? B) 44 2 于是 tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]= ? ? . 2 11 2 117 1 ? tan ( A ? B) 1 ? (? ) 2 1 ? cos 4a ? sin 4a . 15 化简: 1 ? cos 4a ? sin 4a 2 ? (?
解:原式=

2 cos2 2a ? 2 sin 2a cos 2a 2 cos 2a(cos2a ? sin 2a) = =cot2α . 2 sin 2 2a ? 2 sin 2a cos 2a 2 sin 2a(sin 2a ? cos 2a)
1 13 ? ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < , 7 14 2

16 已知 cosα =

(1)求 tan2α 的值;(2)求 β . 解:(1)由 cosα =

1 ? 1 2 4 3 ,0<α < ,得 sinα = 1 ? cos2 a = 1 ? ( ) ? . 7 2 7 7

∴tanα =

sin a 4 3 7 2 tan a 2? 4 3 8 3 ? ?? . = ? =4 3 .于是 tan2α = 2 2 cos a 47 7 1 1 ? tan a 1 ? tan a

(2)由 0<α <β <

? ? ,得 0<α -β < . 2 2
13 13 2 3 3 2 ,∴sin(α -β )= 1 ? cos (a ? ? ) ? 1 ? ( ) ? . 14 14 14

又∵cos(α -β )=

由 β =α -(α -β ),得
10

cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β )= ∴β =

1 13 4 3 3 3 1 × + = . ? 7 14 7 14 2

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。 13 2 5 ? 12 , ? ? ( , ?) , ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 解:∵ sin ? ? 13 2 13 120 119 120 2 ∴ sin 2? ? 2sin ? ? cos ? ? ? ; cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? ; tan 2? ? ? . 169 169 119
17.已知 sin ? ? 18.化简(1) 1 ? sin 40 ; (2) 1 ? cos 20 ; (3) 1 ? sin 40 ; (4) 1 ? cos 20 . 解: (1) 1 ? sin 40 ? 1 ? 2sin 20 cos 20 ?

? . 3

(sin 20 ? cos 20 ) 2

?| sin 20 ? cos 20 | ? cos 20 ? sin 20 ;
(2) 1 ? cos 20 ? 1 ? 2cos2 10 ?1 ? 2 cos10 ; (3) 1 ? sin 40 ? 1 ? 2sin 20 cos 20 ?
2 (4) 1 ? cos 20 ? 1 ? (1 ? 2sin 10 ) ?

(sin 20 ? cos 20 ) 2 ? sin 20 ? cos 20 ;

2sin 2 10 ? 2 sin10 .
?

19 已知 sin 2? ?

2 cos 2 ? sin ? ? 1 3 ? 2 ,且 0 ? 2? ? ,求 的值。 5 2 ? 2 sin(? ? ) 4

? ? 2 sin( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) 1 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 1 ? sin 2? 1 . 4 2 (解法 1)原式 ? ? ? tan( ? ? ) ? ? ? ? ? ? 4 cos 2 ? 2 2 sin(? ? ) 2 sin( ? ? ) sin( ? 2? ) 4 4 2
(解法 2)原式 ?

1 ? cos? ? sin ? ? 1 2 sin(? ? ) 4
1 2

?

?

cos? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? ? cos? ? sin ? 1 ? tan ? 2

20 求证: (1) sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; (2) sin ? ? sin ? ? 2sin 证明: (1)将公式 S(? ? ? ) 与公式 S(? ? ? ) 的左边、右边分别相加,得

? ?? ? ?? . ? cos 2 2

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? ? cos ? 1 所以, sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] . 2
(2)在(1)题中,令 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,则 ? ? 把 ? , ? 的值代入,就有 sin 所以, sin ? ? sin ? ? 2sin

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