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不等式选讲1


1.设 f(x)=|2x-1|-|x+1|. (1)求 f(x)<0 的解集; (2)当 x<-1 时,f(x)>f(a),求实数 a 的取值范围.

2.已知函数 f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4. (1)若函数 f(x)的值不大于 1,求 x 的取值范围; (2)若不等式 f(x)-g(x)≥m+1 的解集为 R,求

m 的取值范围.

3.已知函数 f(x)=|x|+|x-3|. (1)求不等式 f(x)≤5 的解集;

(2)若函数 f(x)的最小值为 m, 且正实数 a, b, c 满足 a+b+c=m, 求证: 2a+1+ 2b+1 + 2c+1≤3 3.

(2)证明:由绝对值三角不等式,得 f(x)=|x|+|x-3|≥|x-(x-3)|=3,故 m=3,即 a +b+c=3. 根据柯西不等式,有 (1· 2a+1 + 1· 2b+1 + 1· 2c+1)2≤(12 + 12 + 12)[( 2a+1)2 + ( 2b+1)2+( 2c+1)2] =3[2(a+b+c)+3]=27. 所以 2a+1+ 2b+1+ 2c+1≤3 =c=1 时取等号. 4.(1)已知函数 f(x)=|x-1|+|x+3|,若 f(x)为常函数,求函数 f(x)的定义域; (2)若 x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,求 m= 2x+ 2y+ 5z 的最大值. -2x-2,x<-3, ? ? 解:(1)f(x)=|x-1|+|x+3|=?4,-3≤x≤1, ? ?2x+2,x>1, 若 f(x)为常函数,则其定义域为[-3,1]. (2)由柯西不等式得(x2+y2+z2)[( 2)2+( 2)2+( 5)2]≥( 2x+ 2y+ 5z)2, 所以 2x+ 2y+ 5z≤3,当且仅当 因此 m 的最大值为 3. 5.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)<|a-1|的解集非空,求实数 a 的取值范围. 解:(1)原不等式等价于 x y z = = 时取等号. 2 2 5 3,当且仅当 1 1 = = ,即 a=b 2a+1 2b+1 2c+1 1

3 1 3 ? ? ?x>2, ?-2≤x≤2, ? 或? ? ?(2x+1)+(2x-3)≤6 ? ?(2x+1)-(2x-3)≤6 1 ? ?x<-2, 或? ? ?-(2x+1)-(2x-3)≤6, 3 1 3 1 解得2<x≤2 或-2≤x≤2或-1≤x<-2. 故不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. (2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, ∴|a-1|>4,解此不等式得 a<-3 或 a>5. 6.已知 a,b 为正实数. 1 4 (1)若 a+b=2,求 + 的最小值; 1+a 1+b (2)求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).

(2)证明:由基本不等式得 a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2b2a,a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b =1 时,三式等号成立, 三式相加得 2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1), 所以 a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1). 7、若不等式|a-1|≥ 3x+1+ 3y+1+ 3z+1对满足 x+y+z=1 的一切正实数 x,y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:根据柯西不等式有 ( 3x+1 + 3y+1 + 3z+1 )2 = (1· 3x+1 + 1· 3y+1 + 1· 3z+1 )2≤(12 + 12 +

12)[( 3x+1)2+( 3y+1)2+( 3z+1)2]=3· [3(x+y+z)+3]=3×6=18, ∴ 3x+1+ 3y+1+ 3z+1≤3 1 =3时,等号成立. 2,当且仅当 3x+1= 3y+1= 3z+1,即 x=y=z

又∵|a-1|≥ 3x+1+ 3y+1+ 3z+1恒成立,∴|a-1|≥3 ∴a-1≥3 2或 a-1≤-3 2,即 a≥3 2+1 或 a≤1-3 2,+∞). 2,

2,

∴a 的取值范围是(-∞,1-3

2]∪[1+3

1 1 1 1 1 1 2 2 2 8、设 a,b,c 均为正实数,求证:a+b+c ≥ + + ≥ + + . b + c c + a a + b ab bc ac 证明:∵a,b,c 均为正实数, 1 1 2 4 ∴a+b≥ ≥ ,当且仅当 a=b 时等号成立, ab a+b 1 1 2 4 + ≥ ≥ b c bc b+c,当且仅当 b=c 时等号成立, 1 1 2 4 a+ c ≥ ac≥a+c,当且仅当 a=c 时等号成立, 2 2 2 2 2 2 4 4 4 三个不等式相加即得a+b+ c ≥ + + ≥ + + ,当且仅当 a=b=c a + b b + c a + c ab bc ac 时等号成立, 1 1 1 1 1 1 2 2 2 即a+b+ c ≥ + + ≥ + + . ab bc ac a+b b+c c+a 1 1 1 9、已知 a>0,b>0,c>0,a3+b3+c3+3abc 的最小值为 m. (1)求 m 的值; (2)解关于 x 的不等式|x+1|-2x<m.

(2)由(1)知 m=6,则|x+1|-2x<6,即|x+1|<6+2x, ∴-6-2x<x+1<6+2x,

? ?-6-2x<x+1, ?x>-3, ? ? ∴ 解得? ? ?x+1<6+2x, ?
7

?x>-5,

7 ∴原不等式的解集为(-3,+∞). 10.已知函数 f(x)=|x-4|+|x+5|. (1)试求使等式 f(x)=|2x+1|成立的 x 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围. -2x-1,x≤-5, ? ? 解 (1)f(x)=|x-4|+|x+5|=?9,-5<x<4, ? ?2x+1,x≥4.

?-2x-1,x≤-2, 又|2x+1|=? 1 ?2x+1,x>2,
1 所以若 f(x)=|2x+1|,则 x 的取值范围是(-∞,-5]∪[4,+∞). (2)因为 f(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9, ∴f(x)min=9. 所以若关于 x 的不等式 f(x) <a 的解集非空, 则 a>f(x)min=9, 即 a 的取值范围是(9, +∞). 11.已知函数 f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)试求 f(x)的值域; ax2-3x+3 (2)设 g(x)= (a>0),若任意 s∈(0,+∞),任意 t∈(-∞,+∞),恒有 g(s)≥f(t) x 成立,试求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数可化为

-3,x<-2, ? ? f(x)=?2x+1,-2≤x≤1, ? ?3,x>1. ∴f(x)∈[-3,3].

12.设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥t2-3t 在[0,1]上无解,求实数 t 的取值范围.


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