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苏教版必修5课时作业2.1 (一)


第 2 章 数列 § 2.1 数列(一)
课时目标 1.理解数列及其有关概念;2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数 列的任意一项;3.对于比较简单的数列,会根据其前 n 项写出它的通项公式.

1.按照一定次序排列的一列数称为______,数列中的每个数叫做这个数列的____.数 列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第

1 项(通常也叫做 ____项),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项,?,排在第 n 位的数称为这个数列 的第____项. 2.数列的一般形式可以写成 a1,a2,?,an,?,简记为______. 3.如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式 叫做这个数列的______公式.

一、填空题 1.已知数列{an}的通项公式为 an= 1 1 (n∈N*),那么 是这个数列的第______项. 120 n?n+2?

? ?3n+1?n为正奇数? 2.已知数列{an}的通项公式为 an=? ,则它的前 4 项依次为_____. ?4n-1?n为正偶数? ? 3.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的第________项. 3 1 5 3 7 4. , , , , ,?一个通项公式是________. 5 2 11 7 17 5.数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,?的一个通项公式是 an=__________. 1 1 1 1 6.设 an= + + +?+ (n∈N*),那么 an+1-an=________. 2n n+1 n+2 n+3 7.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 ______________. 8.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学家 经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石 子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第 10 个三角形 数是______.

9.由 1,3,5,?,2n-1,?构成数列{an},数列{bn}满足 b1=2,当 n≥2 时,bn=abn- 1,则 b6=________. 10.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 009=________,a2 014 =________. 二、解答题 11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,? 2 4 8 16 32 64

3 7 9 (4) ,1, , ,? 2 10 17

(5)0,1,0,1,?

?9n2-9n+2? ?; 12.已知数列? 2 ? 9n -1 ?

(1)求这个数列的第 10 项; 98 (2) 是不是该数列中的项,为什么? 101 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; 1 2? (4)在区间? ?3,3?内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.

能力提升 13.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少个点.

14.在数列{an}中,a1=1,a2 n-an+1-1=0,则此数列的前 2 010 项之和为 ______________.

1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复. (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π 的不同近似值,依据精确的程度 可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141,?,它没有通项公式. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列-1,1,- + 1,1,-1,1,?的通项公式可写成 an=(-1)n,也可以写成 an=(-1)n 2,还可以写成 ? ?-1 ?n=2k-1?, an=? 其中 k∈N*. ?1 ?n=2k?, ?

第2章 数 列 §2.1 数列(一) 答案
知识梳理 1.数列 项 首 n 2.{an} 3.通项 作业设计 1.10 1 1 解析 ∵ = ,∴n(n+2)=10×12,∴n=10. n?n+2? 120 2.4,7,10,15 3.7 解析 n2-n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去). n+ 2 4.an= 3n+2 1 1 5. (1- n) 3 10

1 1 6. - 2n+1 2n+2 1 1 1 1 解析 ∵an= + + +?+ , 2n n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 1 ∴an+1= + +?+ + + , 2n n+2 n+3 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 ∴an+1-an= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 7.an=2n+1 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,?,∴an=2n+1. 8.55 解析 三角形数依次为:1,3,6,10,15,?,第 10 个三角形数为:1+2+3+4+?+10 =55. 9.33 解析 ∵bn=abn-1,∴b2=ab1=a2=3, b3=ab2=a3=5,b4=ab3=a5=9, b5=ab4=a9=17,b6=ab5=a17=33. 10.1 0 解析 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a1 007=a252×4-1=0. + 11.解 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示,其各项的绝对值的排列规律为:后 面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5)(n∈N*). 1 8 8 8 8 1- n?(n∈N*). (2)数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),?,∴an= ? 9 9 9 9? 10 ? (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 2-3 21-3 22-3 23-3 24-3 项变为- ,因此原数列可化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 2 n 2 -3 ∴an=(-1)n· n (n∈N*). 2 3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1,可得分子 2 5 10 17 的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16?即数列{n2},可 得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 (n∈N*). n +1
?0 ?n为奇数? ? 1+?-1?n 1+cos nπ (5)an=? 或 an= (n∈N*)或 an= (n∈N*). 2 2 ?1 ?n为偶数? ? 9n2-9n+2 ?3n-1??3n-2? 3n-2 12.(1)解 设 f(n)= = = . 9n2-1 ?3n-1??3n+1? 3n+1 28 令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)= . 31 3n-2 98 (2)解 令 = ,得 9n=300. 3n+1 101 98 此方程无正整数解,所以 不是该数列中的项. 101 3n-2 3n+1-3 3 (3)证明 ∵an= = = 1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N*,∴0< <1, 3n+1 ∴0<an<1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内.

(4)解

?3n+1<9n-6 ? 3n-2 2 1 令 <an= < ,则? ,即 3 3n+1 3 ?9n-6<6n+2 ?

?n>6 ? 8 ?n<3

7 7 8 .∴ <n< . 6 3

1 2? 又∵n∈N*,∴当且仅当 n=2 时,上式成立,故区间? ?3,3?上有数列中的项,且只有一 4 项为 a2= . 7 13.解 图(1)只有 1 个点,无分支;图(2)除中间 1 个点外,有两个分支,每个分支有 1 个点;图(3)除中间 1 个点外,有三个分支,每个分支有 2 个点;图(4)除中间 1 个点 外,有四个分支,每个分支有 3 个点;?;猜测第 n 个图中除中间一个点外,有 n 个分 支,每个分支有(n-1)个点,故第 n 个图中点的个数为 1+n(n-1)=n2-n+1. 14.-1 003 解析 ∵an+1=a2 n-1,a1=1,∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1,?, ∴n 为偶数时,an=0; n 为奇数时,除 a1=1 外,an=-1. ∴S2 010=a1+[(a2+a3)+…+(a2 008+a2 009)]+a2 010=1+(-1)×1 004+0=-1 003.


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