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3[1].1.2导数的概念


3.1.2导数的概念

高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一.复习 1、平均变化率
一般的,函数 f (x)在区间上

[ x1 , x2 ]的平均变化率为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ?x 2+?x ?-f ?x

2 ? = x1 ? x2 ?x
其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是 曲线的割线)的斜率。

二.新授课学习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度为h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10

求t=2时的瞬时速度?
我们先考察t=2附近的情况。 任取一个时刻2+△t,△t 是时间改变量,可以是正值, 也可以是负值,但不为0. 当△t<0时,在2之前; 当△t>0时,在2之后。
计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.

h

o

2

t △t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

我们发现,当?t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 ? 13.1.

从物理的角度看, 时间间隔 | ?t | 无限变小时, 平均

速度v就无限趋近于t ? 2时的瞬时速度因此, 运动员在 . t ? 2时的瞬时速度是 ? 13.1m / s. h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 我们用lim , ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 ? 13.1". h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

瞬时速度

思考: ⑴如何求瞬时速度? ⑵lim是什么意思?

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t

在局部以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极 限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

在其下面的条件下求右面的极限值。

⑶运动员在某一时刻t0的瞬时速度如何表示?

? ? t ? h 0 ?t-h 0? t+ lim ?t ?0 ?t

?x 2、函数f ?在x=x处的瞬时变化率怎么表示? 0
?0 ?0 fx+?x?-fx ? lim ?x ?0 ?x
我们称它为函数 =f ?x ?在x=x 0处的导数, y 记作:f ??x 0 ?或y? x=x 0
f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?0 ?0 fx+?x?-fx ? 1、函数的平均变化率怎么表示? ?x

思考:

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

导数的作用:
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
在例2中,高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度; 在例1中,我们用的是平均膨胀率,那么半径r 关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ); ?

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 ?( x0 ) ? lim f . ?x ? 0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二比、三极限

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率,并求出在该点处的导数. (3)质点运动规律为s=t2+3,求 质点在t=3的瞬时速度.

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解:y ? f (1 ?? x) ? f (1) ? 3(1 ?? x) ? 3 ? 6? x ? 3(? x) ?
2 2

? y 6? x ? 3(? x) 2 ? 6 ? 3? x ? ?x ?x
?y f (1) ? lim ? lim (6 ? 3? x) ? 6 ? x ?0 ? x ? x ?0
/

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率,并求出在该点处的导数.
解:y ? f (?1 ?? x) ? f (?1) ?

? ?(?1 ?? x)2 ? (?1 ?? x) ? [?(?1)2 ? (?1)]

? ?(? x)2 ? 3? x
? y ?(? x)2 ? 3? x ? ?? x ? 3 ? 平均变化率 ? ?x ?x ?y / ? f (?1) ? lim ? lim (?? x ? 3) ? 3 ? x ?0 ? x ? x ?0

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3 的瞬时速度.
解:s ? f (3 ??t ) ? f (3) ? (3 ??t )2 ? 3 ? (32 ? 3) ?

? (?t )2 ? 6?t
? s (? t )2 ? 6? t ? ?t ?t
/

?? t ? 6

?s ? f (3) ? lim ? lim(? t ? 6) ? 6 ? t ?0 ? t ? t ?0

例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

解: )?y ? (1 ? ?x)2 ? 12 ? 2?x ? (?x)2 , (1

1 1 ? ?x (2)?y ? (2 ? ?x ) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x )

?y 2?x ? ( ?x )2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? li m ? li m( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ? x ? 0 ?x ?x ? 0

? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x ) ?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

例2 : 已 知 函 数 ? y 1 ? , 求x0的 值. 2

x 在x ? x0 处 附 近 有 定 义 y'| x ? x0 ,且

解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
?y ? ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0 1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

练习: 已知y ? x,求y?.
解:D y = x + Dx x= Dx x + Dx +

x

?y ? ?x

1 x ? ?x ?

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

例2:利用导数的定义求函y ?| x | ( x ? 0)的导数 数 .

解: y ?| x |, ?

?当x ? 0时, y ? x,
?y ( x ? ?x) ? x 则 ? ? 1, ?x ?x ?y ? lim ? 1; ?x ? 0 ?x

当x ? 0时, y ? ? x,
?y ?y ?( x ? ?x) ? (? x) lim ? ?1; ? ? ?1, ? ?x ?0 ?x ?x ?x ? 1 x?0 ? y? ? ? . ?? 1 x ? 0

1 练习:(1)求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx? 1 ∴f′(1)=- 2=-1 1
(2)∵Δy=a(x+Δx)2+c-(ax2+c) =2axΔx+a(Δx)2

Δy ∴ =2ax+aΔx Δx
∴f′(x)=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax

∴f′(1)=2a=2,∴a=1

例 2 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f ? x ? ? x 2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

?

?

解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' ?2?
?y f ?2 ? ?x ? ? f ?2 ? ? 和 f ?6?. 根据导数的定义 , ?x ?x ?2 ? ?x ?2 ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? 22 ? 7 ? 2 ? 15 ? ?x
'

?

?

4 ?x ? ?x 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y ' 所以, f ?2 ? ? lim ? lim ??x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得 f ?6? ? 5.
'

请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为 ? 3与5. 它说明: 在第2h附近, 原油温度大约以30 C / h的速率下降; 在6h附近, 原油温度大约以50 C / h的速率上升.

一般地, f ? x0 ? 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
'

练习:
计算第3(h)和第5(h)时,原油温度的瞬时 变化率,并说明它们的意义。

解:f ??3?=- ,?(5)=3 1f
这说明: 在第3小时附近,原油温度大约以1的速率下降, 在第5小时附近,原油温度大约以3的速率上升。

小结:
1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ?s s(t ? ?t ) ? s(t ) ? lim . (3)求极限 lim ?t ?t
?x ?0 ?x ?0

?s v? ; ?t

2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2) 求平均变化率 ?y ' (3)求极限 f ( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y ?x

?x


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1-1第3章 §2导数的概念及其几何意义

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