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《等比数列》教案-公开课-优质课(人教A版必修五精品)

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《等比数列》教案 教学目标 1.知识与技能:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型 应用. 2.过程与方法:通过丰富实例抽象出等比数列模型,经历由发现几个具体数列的等比关 系,归纳出等比数列的定义,通过与等差数列的通项公式的推导类比,探索等比数列的通项 公式. 3.情态与价值:培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力. 教学重、难点 重点:等比数列的概念,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式.等比数列前 n 项和公式的推导,化归思想的应用,等比中项的理解与应用. 难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程 [创设情景] 分析书上的四个例子,各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, ? ②1 , 1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16 ③1,20 ,202 ,203 ,? ④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 ,10000×1.01984,10000×1.01985 观察四个数列: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 2 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 1 2 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 20 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 1.0198 可知这些数列的共同特点:从第 2 项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个 数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0) 因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是 2, 1 ,20,1.0198. 2 与等差中项类似,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G2=ab 在归纳等比数列公式时, 让学生先回忆等差数列通项公式的归纳, 类比这个过程, 归纳: a2 ? a1q a3 ? a2 q ? (a1q )q ? a1q 2 a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ? ? an ? a1q n ?1 上式可整理为 an ? a1 n a a q 而 y ? 1 q z (q ? 1) 是一个不为 0 的常数 1 与指数函数 q z 的 q q q a1 z a q }中的各项的点是函数 y ? 1 q z 的图象上的孤立点 q q 乘积,从图象上看,表示数列 { [注意几点] ①不要把 an 错误地写成 an ? a1q n ②对于公比 q,要强调它是“从第 2 项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项 的比的次序颠倒 ③公比 q 是任意常数,可正可负 ④首项和公比均不为 0 [例题分析] 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%. 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系, 抽象出数学模型;通项公式反映了数 列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an ? a1q n?1 例 2 根据图 2.4-2 中的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的递推公式.这个 数列是等比数列吗? 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n, 了 例 3 一个等比数列的第 3 项

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