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课时跟踪检测(十一) 函数与方程、

时间:2014-08-27


课时跟踪检测(十一) 函数与方程 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 南通期中)用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数据如下: f(1.600 0)≈0.200 f(1.562 5)≈0.003 f(1.587 5)≈0.133 f(1.556 2)≈-0.029 f(1.575 0)≈0.067 f(1.550 0)≈-0.060

据此数据,可得方程 3x-x-4=0 的一个近似解为________(精确到 0.01) 2.(2014· 荆门调研)已知函数 y=f(x)的图像是连续不间断的曲线,且有如下的对应值: x y 1 124.4 2 35 3 -74 4 14.5 5 -56.7 6 -123.6

则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个. 3.若函数 f(x)=-|x-5|+2x
-1

的零点所在的区间是(k,k+1),则整数 k=________.

4.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①y=2x;②y=-2x; ③f(x)=x+x 1;④f(x)=x-x 1.
- -

则输出函数的序号为________.

5.[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知 f(x)=x-[x](x∈R), g(x)=log4(x-1),则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是________. 6.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其 中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 1?x 3 ? ?? + ,x≥2, ? 7.已知函数 f(x)=? 2? 4 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点,则实数 ? ?log2x,0<x<2. k 的取值范围是________.
x ? ?a ,x≥0, ? 8.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,则 ?kx+1,x<0, ?

实数 k 的取值范围是________. x 1 9.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4

1? 证明:存在 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=x0.

10.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围.

第Ⅱ组:重点选做题 1.(2013· 盐城三调)若关于 x 的方程 x2-(a2+b2-6b)x+a2+b2+2a-4b+1=0 的两个 实数根 x1,x2 满足 x1<0<x2<1,则 a2+b2+4a+4 的取值范围是________. 20 ? 2.(2014· 扬州期末)若函数 f(x)=x3-ax2(a>0)在区间? ? 3 ,+∞?上是单调增函数,则使 方程 f(x)=1 000 有整数解的实数 a 的个数是________. 答 第Ⅰ组:全员必做题 1.解析:因为函数 f(x)=3x-x-4, 令 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在(a,b)内有实根,从而 x≈1.56. 答案:1.56 2.解析:依题意,f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0,故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的 零点至少有 3 个. 答案:3 3.解析:依题意得 f(0)· f(1)>0,f(1)· f(2)>0,f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)>0, 故 f(x)的零点所在区间是(2,3). 答案:2 4.解析:由图可知输出结果为存在零点的函数,因 2x>0,所以 y=2x 没有零点,同样 y =-2x 也没有零点;f(x)=x+x 1,当 x>0 时,f(x)≥2,当 x<0 时,f(x)≤-2,故 f(x)没有零




点;令 f(x)=x-x 1=0 得 x=± 1.


答案:④ 5.解析:作出函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示,发现有 2 个不同的交 点. 答案:2 6. 解析: 因为 f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数, 且 f(0)<0, f(0.5)>0, 则 f(x)在 x∈(0,0.5)

上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案:(0,0.5) f(0.25) 7.解析:画出函数 f(x)的图像如图.要使函数 g(x)=f(x)-k 有两 个不同零点,只需 y=f(x)与 y=k 的图像有两个不同交点,由图易知 3 ? k∈? ?4,1?. 3 ? 答案:? ?4,1? 8.解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y=f(x)与 y=k 的图像有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图像.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图像有两个交点;当 k=1 时,有一个交 点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题意. 答案:0<k<1 9.证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 ∵g(0)= , 4 1? ?1? 1 1 g? ?2?=f?2?-2=-8, 1? ∴g(0)· g? ?2?<0. 1? 又函数 g(x)在? ?0,2?上连续, 1? ∴存在 x0∈? ?0,2?,使 g(x0)=0, 即 f(x0)=x0. 10.解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1, 3 ∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 Δ>0, ? ? m-1 ?0<- 2 <2, ? ?f?2?≥0,

?m-1? -4>0, ? ? ∴?-3<m<1, ? ?4+?m-1?×2+1≥0. m>3或m<-1, ? ?-3<m<1, ∴? 3 ? ?m≥-2.

2

3 ∴- ≤m<-1. 2

由①②可知 m 的取值范围(-∞,-1). 第Ⅱ组:重点选做题
? ?f?0?<0, 1.解析:由题意得? ?f?1?>0 ?
2 2 ? ??a+1? +?b-2? <4, 即? 利用线性规划的知识,问题转化为求区域上的点到点(-2,0) ?a+b+1>0, ?

的距离的平方的取值范围.由图可知,所求的最大距离即为点(-2,0)与圆心(-1,2)的连线交 圆与另一端点的值,即 5+2.所求的最小距离即为点(-2,0)到直线 a+b+1=0 的距离,即 为 1 |-2+0+1| 1 = , 所 以 a2 + b2 + 4a + 4 ∈ ?? ?2,? 5+2?2? , 即 a2 + b2 + 4a + 4 ∈ 2? ? ? ? 2 2

?1,9+4 5?. ?2 ?
1 ? 答案:? ?2,9+4 5? 2.解析:令 f′(x)=3x2-2ax>0, 2a 则 x> 或 x<0. 3 20 ? ?20 ? 由 f(x) 在 区 间 ? ? 3 ,+∞? 上 是 单 调 增 函 数 知 ? 3 ,+∞? ? 1 000 ?2a,+∞?,从而 a∈(0,10].由 f(x)=1 000 得 a=x-1 000 , 令 g(x)=x- 2 , 则 g(x)在(0, ?3 ? x2 x +∞)上单调递增, 且与 x 轴交于点(10,0), 在同一直角坐标系中作出函数 g(x)与 y=a(0<a≤10) 的大致图像(如图所示). 当 a=10 时, 由 f(x)=1 000 得 x3-10x2-1 000=0.令 h(x)=x3-10x2 -1 000,因为 h(14)=-216<0,h(15)=125>0,所以方程 x3-10x2-1 000=0 在区间(14,15) 上存在根 x0,因此从图像可以看出在(10,x0]之间 f(x)=1 000 共有 4 个整数解. 答案:4


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