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2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2第一章 1.3.2函数的极值与导数


1.3.2(一) 1.3.2 利用导数研究函数的极值(一) 【学习要求】 1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值 本 课 时 栏 目 开 关 与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 【学法指导】 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性 质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”,通过研 究极值

初步体会函数的导数的作用. 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.3.2(一) 1.极值的概念 本 课 时 栏 目 开 关 已知函数 y=f(x),设 x0 是定义域(a,b)内任一点,如果 对 x0 附近的所有点 x,都有 f(x)<f(x0) ,则称函数 f(x) 在点 x0 处取 极大值 , 记作 y 极大=f(x0), 并把 x0 称为函 数 f(x)的一个 极大值点 .如果都有 f(x)>f(x0) ,则称 函数 f(x)在点 x0 处取 极小值 ,记作 y 极小 =f(x0),并把 x0 称为函数 f(x)的一个 极小值点 .极大值与极小值统 称为 极值 .极大值点与极小值点统称为 极值点 . 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.3.2(一) 2.求可导函数 f(x)的极值的方法 (1)求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的所有实数根; 本 课 时 栏 目 开 关 (3)对每个实数根进行检验, 判断在每个根的左右侧, 导函 数 f′(x)的符号如何变化. ①如果 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极 大 值. ②如果 f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极 小 值. ③如果在 f′(x)=0 的根 x=x0 的左右两侧符号不变,则 f(x0) 不是极值 . 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.3.2(一) 探究点一 本 课 时 栏 目 开 关 函数的极值与导数的关系 问题 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、 g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系?y=f(x)在这些点处 的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号 有什么规律? 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.3.2(一) 答 本 课 时 栏 目 开 关 以 d、e 两点为例,函数 y=f(x)在点 x=d 处的 函数值 f(d)比它在点 x=d 附近其他点的函数值都 小,f′(d)=0;在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右 侧 f′(x)>0.类似地,函数 y=f(x)在点 x=e 的函数 值 f(e)比它在 x=e 附近其他点的函数值都大, f′(e) =0;在 x=e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0. 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.3.2(一) 本 课 时 栏 目 开 关 结论:问题 1 中点 d 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(d)叫 做函数 y=f(x)的极小值;点 e 叫做函数 y=f(x)的极大值 点,f(e)叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点 统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.3.2(一) 问题 2 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函 数的极大值和极小值是唯一的吗? 答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系, 一个函数的 本 课 时 栏 目 开 关 极大值未必大于极小值; 在区间内可导函数的极大值或极小值 可以不止一个. 研一研· 问题

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