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高中数学必修3人教A导学案1.3.3


§ 1.3.3 算法案例 ——进位制
学习目标 了解各种进位制与十进制之间转换的规律, 会利用各种进位制与十进制之间 的联系进行各种进位制之间的转换。 学习各种进位制转换成十进制的计算方法, 研究十进制转换为各种进位制的 除 k 去余法,并理解其中的数学规律。 重点难点 重点:各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换 难点:除 k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序

框图的设计 学法指导 1. k 进制数使用 0~(k-1)共 k 个数字,但左侧第一个数位上的数字(首 位数字)不为 0. 2.用 an an?1 ?a1a0( k ) 表示 k 进制数,其中 k 称为基数,十进制数一般不标注 基数 3.利用除 k 取余法, 可以把任何一个十进制数化为 k 进制数, 并且操作简单、 实用. 4.通过 k 进制数与十进制数的转化,我们也可以将一个 k 进制数转化为另一 个不同基数的 k 进制数. 问题探究 知识探究(一):进位制的概念 思考 1:进位制是为了计数和运算方便 而约定的记数系统,如逢十进一,就 是十进制;每七天为一周,就是七进 制;每十二个月为一年,就是十二进 制,每六十秒为一分钟,每六十分钟 为一个小时,就是六十进制;等等.一 般地, k 进一”就是 k 进制,其中 k “满 称为 k 进制的基数.那么 k 是一个什么 范围内的数? 思考 3:在十进制中 10 表示十, 在二进 制中 10 表示 2.一般地,若 k 是一个大 于 1 的整数, 则以 k 为基数的 k 进制数 可以表示为一串数字连写在一起的形 式: an an?1 ?a1a0( k ) 其中各个数位上的 数字 an , a n ?1 ,?, a1 , a0 的取值范 围如何?

思考 2:十进制使用 0~9 十个数字, 那 么二进制、五进制、七进制分别使用 哪些数字?

思考 4:十进制数 4528 表示的数可以写 成 4 ? 103 ? 5 ? 102 ? 2 ? 101 ? 8 ? 100 , 依此类比,二进制数 1100112) ,八进制 ( 数 7342(8) 分别可以写成什么式子?

1

思 考 5: 一 般 地 , 如 何 将 k 进 制 数

第二步, 第三步 第四步,

an an?1 ?a1a0( k ) 写成各数位上的 数字
与基数 k 的幂的乘积之和的形式?

思考 6:在二进制中,0+0,0+1,1+0, 1+1 的值分别是多少?

思考 5:上述把 k 进制数

a ? an an?1 ?a1a0( k ) 化为十进制数 b 的
算法的程序框图如何表示?

知识探究(二): k 进制化十进制的算 法 思考 1:二进制数 110011(2)化为十进制 数是什么数?

思考 2:二进制数右数第 i 位数字 ai 化 为十进制数是什么数? 思考 6:该程序框图对应的程序如何表 述? 思考 3:运用循环结构,把二进制数

a ? an an?1 ?a1a0( 2) 化为十进制数 b 的
算法步骤如何设计? 第一步, 第二步, 第三步 第四步, 理论迁移 例 1 将下列各进制数化为十进制数. (1) 103034) ; (2) 1234(5) ( 思考 4:按照上述思路,把 k 进制数

an an?1 ?a1a0( k ) 化为十进制数 b 的算法
步骤如何设计? 第一步,输入 a,k 和 n 的值.

2

例 2 已知 10b1( 2) ? a02(3) 求数字 a, b 的 值.

制数化为 k 进制数的算法, 称为除 k 取 余法,那么十进制数 191 化为五进制 数是什么数?

知识探究(三):除 k 取余法 思考 1:二进制数 101101(2)化为十进制 数是什么数?十进制数 89 化为二进制 数是什么数?

思考 4:若十进制数 a 除以 2 所得的商 是 q0,余数是 r0,即 a=2·q0+ r0; q0 除以 2 所得的商是 q1,余数是 r1, 即 q0=2·q1+ r1; ?? qn-1 除以 2 所得的商是 0,余数是 rn,那么十进制 数 a 化为二进制数是什么数?

思考 2:上述化十进制数为二进制数的 算法叫做除 2 取余法,转化过程有些 复杂,观察下面的算式你有什么发现 吗?

思考 2:根据上面分析,利用除 k 取余 法, 将十进制数 a 化为 k 进制数的算法 步骤如何设计? 第一步,输入十进制数 a 和基数 k 的 值. 第二步, 第三步,

2 2 2 2

89 44 22 11 2 5 2 2 2 1 0

余数 1 0 0 1 1 0 1

第四步,

思考 3:将除 k 取余法的算法步骤用程 序框图如何表示?

思考 3:上述方法也可以推广为把十进
3

思考 4:该程序框图对应的程序如何表 述?

3、将 389 化成四进位制数的末位是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 4、将二进制数 101101?2? 化为十进制结 果为___________;再将该数化为八进 制数,结果为________________. 5、若六进数 13m502?6? 化为十进数为 12710,则 m ? _____ ,把 12710 化为八 进数为____________. 6、完成下列进位制之间的转化.

理论迁移 例 1 将十进制数 458 分别转化为四进 制数和六进制数.

1011001? 2? =_________ ?10? =_______ ? 5 ? 105?8? =_________ ?10? =__________ ? 5 ? 20212?3? =_________ ?10?
6、已知 175? r? = 125?10? ,求 r.

例 2 将五进制数 3241(5)转化为七进制 数.

总结反思

目标检测 1、以下给出的各数中不可能是八进制 数的是( ) A.312 B.10110 C.82 D.7457 2、下列各数中最小的数是( ) A. 111111?2? C. 1000? 4? B. 210?6? D. 81?9?
4

纠错矫正 ※自我评价( ) A、 课前自主学习认真, 学案完成很好; 你真棒,继续坚持。 B、 课前自主学习一般, 学案完成良好; 下次争取做的更好。 C、 课前自主学习较差, 学案空白较多; 注意学习方法,提高学习效率。


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