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甘肃省兰州一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案


说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 100 分,考试时间 100 分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡)

第 I 卷(选择题)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分,将答案写在答题卡上 ) ......... 1.若点 M 到定点 F1 (0, ? 1) 、 F2 (0, 1) 的距离之和为

2,则点 M 的轨迹为 A.椭圆 B.直线 F1 F2 C.线段 F1 F2 D.直线 F1 F2 的垂直平分线
2 2

2.若 a ? b,且 ab ? 0,则曲线 bx-y+a=0 和 ax ? by ? ab 的形状大致是下图中的

3.下列命题中正确的是 A.若 a // b , b // c ,则 a 与 c 所在直线平行 B.向量 a 、 b 、 c 共面即它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面 D.若 a // b ,则存在唯一的实数 ? ,使 a ? ? b

1

4. 已知椭圆 C1 : 的渐近线为 A. x ? ?

x2 y2 x2 y2 与双曲线 : 那么双曲线 C 2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点, C 2 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2

15 y 2

B. y ? ?
2

15 x 2
2

C. x ? ?

3 y 4

D. y ? ?

3 x 4

5.直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 2 有且只有一个交点,那么 k 的值是 A. k ? ?1 B. k ? ? 3 C. k ? ?1 或 k ? ? 3 D. k ? ? 2

6.斜率为 1,过抛物线 y ?

1 2 x 的焦点的直线截抛物线所得的弦长为 4

A. 8 B. 6 C. 4 D.10 7.在正四面体 ABCD 中,点 E、F 分别为 BC、AD 的中点,则 AE 与 CF 所成角的余弦值为 A. ?

2 3

B.

2 3

C. ?

1 3

D.

1 3
2

8.已知 O 是坐标原点,点 A(2, 0) , ?AOC 的顶点 C 在曲线 y ? 4( x ? 1) 上, 那么 ?AOC 的重心 G 的轨迹方程是 A. 3 y ? 4( x ? 1)
2

B. 3 y ? 4( x ? 1) ( y ? 0)
2

C.

y2 ? 4( x ? 1) 3

D.

y2 ? 4( x ? 1) ( y ? 0) 3

9.设 F1 、 F2 是椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的左右焦点,P 为直线 x ? a 上 2 2 a b

一点, ?PF1 F2 是底角为 30? 的等腰三角形,则椭圆 C 的离心率为 A.

4 5

B.

3 4

C.

2 3

D.

1 2

2 10.过抛物线 y ? 2 px (p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且 AF ? 3 BF ,

那么直线 l 的斜率为 A. ?

2

B. ? 1

C. ?

3 3

D. ? 3

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(第 13 小题 6 分,其余每小题 4 分,共 18 分,将答案写在答题卡上 ) ......... 11.双曲线

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离是 10,那么点 P 到另一个焦点的距离 16 9
2

是____________________. 12.以下列结论中: (1) a ? b ? a b (2) a ( a ? b) ? a b (3) 如果 a ? b ? 0 ,那么 a 与 b 的夹角为钝角 (4) 若 a 是直线 l 的方向向量,则 ? a (? ? R ) 也是直线 l 的方向向量 (5) a ? b ? b ? c 是 b ? 0 的必要不充分条件 正确结论的序号是______________________. 13.求下列函数的导数
2

(2 x ) ' ? _________________, ( x ln x) ' ? _________________,

(tan x)' ? _________________.
2 14.已知点 P(a, 0) ,若抛物线 y ? 4 x 上任一点 Q 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是

_____________________.

三、解答题(本题共 5 小题,共 52 分)
15. (8 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 2) x ? bx ? c ,设曲线 y ? f ( x) 在与 x 轴交点处的
3 2

切线为 y ? x ? 1 , 函数 f ( x) 的导数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, 求函数 f ( x) 的解析式.

16. (10 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD ,
(1)证明: DC1 ? BC ;

3

(2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

17. (10 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ?ADC ? 45? ,AD=AC=2, O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点, (1) 证明: AD⊥平面 PAC; (2) 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

18. (12 分) 已知过椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A、 a2 b2

B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 . 2

(1)求 M 的方程; (2)C、D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值.

4

19. (12 分)设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为
2

圆心, FA 为半径的圆交 l 于 B、D 两点. (1)若 ?BFD ? 90 0 , ?ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值.

5

参考答案
第 I 卷(选择题)

三、解答题(本题共 5 小题,共 52 分)

16. (10 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD ,
(1)证明: DC1 ? BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小. 解: (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

6

同理: ?A1 DC1 ? 45 ? ?CDC1 ? 90

?

?

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC , CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC 取 A1 B1 的中点 O ,连接 C1O

A1C1 ? B1C1 ? C1O ? A1B1 , C1O ? AA1 ? C1O ? 面 A1 BD ?C1 DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角
设 AC ? a ,则 C1O ?

2a ? , C1 D ? 2a ? 2C1O ? ?C1 DO ? 30 2
?

即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

18.(12 分) 已知过椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 a2 b2
7

交 M 于 A、B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 . 2

(1)求 M 的方程; (2)C、D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积 的最大值.

19. (12 分)设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为
2

圆心, FA 为半径的圆交 l 于 B、D 两点.
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

8

(2)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 解: (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
1 S?ABD ? 4 2 ? ? BD ? d ? 4 2 ? p? 2
圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
2 2

2

? 1 ( 2 由题意 ) ?ADB = , AD ? AF ? AB, 2 2 ? 3 p 即?ABD ? , 则m的方程为 y ? x? 6 3 2
x 2 ? 2 py ? y ? x2 x 3 3 ? y? ? ? ?x? p? 2p p 3 3

切点 P (

3p p , ) 3 6

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6
3p 3p : ?3. 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

9


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