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高三第一轮复习数学---指数函数与对数函数


人教版高三第一轮复习数学教案

孟繁露

高三第一轮复习数学---指数函数与对数函数
一、教学目标:1.掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质;
2.能利用指数函数与对数函数的性质解题. 二、教学重点:运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1、

指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数,从概念、图象、性质去理解 它们的区别和联系 名称 一 般 形式 定 义 域 值域 过 定 点 图象 指数函数 Y=a (a>0 且 a≠1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x

对数函数 y=logax (a>0 , a≠1) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) (1,0)

指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对称

单 调 性 值 分 布

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1?

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>0? y<0?

比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同, 如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象 关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

3、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题, 讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

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(二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和1 为桥梁;②利用函数的单调性;③作差 (三)例题分析: 例 1 已知 f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3)×g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在同一坐标系内的图 象可能为(c)

『变式』当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 f(x)=a -x 与 g(x)=logax 的图象为( )

解:选 A [评析]利用函数的底数与图象关系。确定函数图象可能的情况

? 3?2 例 2、比较下列各数的大小: log 2 0.35 ? ? ?5?
解: (见轻舟 P63)

1

? 3 ?3 lg 25 ? ? ?5?

1

lg 15 2 3

? 3 ?2 ? 3 ?3 log 2 0.35 ? ? ? ? ? ? ? lg 15 ? lg 25 ? 2 3 ?5? ?5?
『变式』比较①60.7, 0.76, log0.76 ②log1.10.7 , log1.20.7

1

1

③当0<a<b<1,下列不等式正确的有

A.?1 ? a ?b ? ?1 ? a ?
b

1

b

B.?1 ? a ? ? ?1 ? b ?
a a

b

C.?1 ? a ? ? ?1 ? a ? 2

b

D.?1 ? a ? ? ?1 ? b ?

b

解:①log0.76〈0.76〈60.7 ②log1.10.7〈log1.20.7 ③D [评析]利用指对函数的单调性和图象的特点,比较几个因式的大小 例 3、函数 y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值。 解:令 u=ax,y=(u+1)2-2.因为-1≤x≤1 当 a>1 时 u ? [ , a] ? [?1,??), ?14 ? a ? 2a ? 1 ? a ? 3或a ? ?5(舍)
2

1 a

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1 a
2

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当 0<a<1 时, u ? [a, ] ? [?1,??),?14 ? ? 综上得, a ? 1 3 或a ? 3

1 1 ?1? ?1? ? ? 2? ? ? 1 ? a ? 或a ? ? (舍) 3 5 ?a? ?a?

『变式』已知 f(x)=log4(2x+3-x2)求(1)f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)的最大值及对应的 x 的值. 增区间为(-1,1],减为区间[1,3) ∵u=-(x-1)2+4≦4,∴x=1 时 y=1 为最大值 [评析] 指数函数与对数函数与其他函数的复合问题, 讨论复合函数的单调性是解决问题的 重要途径 例 4、 设函数 f(x)=loga(x-3a) (a>0 , a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, 点 Q(x-2a,-y) 是函数 y=g(x)的图象上的点(1)写出函数 y=g(x)的解析式 (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有︱f(x)-g(x)︱≤1,试确定的取值范围。 解: (1)设点 Q( x?, y ?), 则 x? ? x ? 2a, y ? ? ? y

?点P( x, y)在函数y ? log a ?x ? 3a ?上

? ? y ? ? log a ?x ? ? 2a ? 3a ?即y ? ? g ( x?) ? log a
( 2

1 x?a


? x ? 3a ? ?a ? 2? ? 3a ? ?2a ? 2 ? 0
? f ( x) ? g ( x) ? log a ?x ? 3a ? ? log a

1 1 ? ? 0又a ? 0且a ? 1,? 0 ? a ? 1 x ? a ?a ? 3? ? a
1 ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) ? 1 ? ?1 ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) ? 1 x?a

? 0 ? a ? 1,? a ? 2 ? 2a 故函数 r(x)= x 2 ? 4ax ? 3a 2 在区间 x∈[a+2,a+3]上为增函数
? ?u?x ??min ? u?a ? 3? ? log a ?9 ? 6a ?

?u?x??max

? u?a ? 2? ? log a ?4 ? 4a ?

0 ? a ?1 ? 9 ? 57 ? 问题转化为 ?log a ?9 ? 6a ? ? ?1 ? 0 ? a ? 12 ? log ?4 ? 4a ? ? 1 a ?
[评析]本题综合性较强,主要考查函数思想,化归思想,综合思维能力 【备用】已知 a>0 , a≠1, f ?log a x ? ? ?

1? ? a ?? ?? x ? ?. 2 x? ? a ? 1 ??

(1) 当 f(x)的定义域为(-1,1)时,解关于 m 的不等式 f(1-m)+f(1-m2)<0; (2) 若 f(x)-4 恰在(-∞,2)上取负值,求 a 的值

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解:(1)令 t=logax,可得 f(t)=

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a a t ? a ?t ? f ?? x ? ? ? f ?x ?? f ?x ?为奇函数 a ?1
2
x1 ? x2 a x1 x2 1 ? a a ? a a2 ?1 a x1 ? x2

?

?

设x1 ? x 2 , 则f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ?
当 a>1 时

?

?

a x1 ? a x2 , a 2 ? 1 ? 0



0<a<1



a x1 ? a x2 , a 2 ? 1 ? 0

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0为 增 函 数
? -1 ? 1- m ? 1 ? f(1 - m) ? f(1 - m ) ? 0 ? f(1 - m) ? f(m - 1) ? ?- 1 ? 1 - m 2 ? 1 ? 1 ? m ? 2 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
2 2

(2)由题意,当 x ? ?? ?,2?, f ?x ? ? 4 ? f ?2? ? 4, 且f ?2? ? 4 ? 0

?

a a 2 ? a ?2 ? 4 ? a ? 2 ? 3 a ?1
2

?

?

[评析]用函数思想去处理有关问题, 是一种重要的思想方法, 特别在综合题目中, 尤为重要. (四)巩固练习:

b , log b a , log a b 从小到大依次为 ; a x (2) 若2 ? 且x, 则 2x , ; 3y 5 ?z , 3y , 5 z 从小到大依次为 y, z 都是正数, x x (3)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是 ( ) ( A )b ? a ?1 ( B ) a ? b ?1 ( C ) 1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b b b 2 解: (1)由 a ? b ? a ? 1 得 ? a ,故 log b ? log b a ? 1 ? log a b . a a lg t lg t lg t x y z (2)令 2 ? 3 ? 5 ? t ,则 t ? 1, x ? ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5 2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; ∴ 2x ? 3y ? lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3 同理可得: 2 x ? 5z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5z . (3)取 x ? 1 ,知选( B ) . x?2 x 2.已知函数 f ( x) ? a ? (a ? 1) , x ?1 求证: (1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , x ?2 x ?2 x ? a x2 ? 2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) ? a x1 ? a x2 ? 1 ? ? a x1 ? a x2 ? , x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 3( x1 ? x2 ) ?0; ∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
1. (1)若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b
2

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a 1 ? a 2 ,∴ a 1 ? a
x x
x

x2

? 0,

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∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a 0 ?
x

x0 ? 2 ?0, x0 ? 1

2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ① ? ? ?1, x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 3 3 当 ?1 ? x0 ? 0 时, 0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 a x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1
即a
x0

?

∴①式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1,而 a x0 ? 0 , x0 ? 1 x0 ? 1

∴①式不成立. 综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 3.已知函数 f ( x) ? log a (a ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . ( 《高考 A 计划》考点 15,例 4) .
x

求证: (1)函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . 证明: (1)由 a ? 1 ? 0 得: a ? 1 , ∴当 a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的右 侧; 当 0 ? a ? 1时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴 的左侧. ∴函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧;
x x

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上任意两点,且 x1 ? x2 , 则直线 AB 的斜率 k ?

y1 ? y2 a x1 ? 1 x x , y1 ? y2 ? log a (a 1 ? 1) ? log a (a 2 ? 1) ? log a x , x1 ? x2 a 2 ?1
x x x x

当 a ? 1 时,由(1)知 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? a 1 ? a 2 ,∴ 0 ? a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; a x2 ? 1 x x x x 当 0 ? a ? 1时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ a 1 ? a 2 ? 1 ,∴ a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 0 ,
∴0 ?

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 . a x2 ? 1 ∴函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 .


四、小结:
1、指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数,从概念、图象、性质去理解 它们的区别和联系

2、比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相
同, 可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理)

3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制
4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题, 讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

五、作业:

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