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数列的求和方法及练习(学生版)(3份)

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数列的求和方法及练习

(一)知识归纳: 1.拆项求和法:将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、 常数数列等等),然后分别求和. 2.并项求和法:将数列的相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得 到一个新的且更容易求和的数列. 3.裂项求和法:将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能互 相抵消,剩下首尾若干项. 4.错位求和法:将一个数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数 列错动一个位置与原数列的各项相减,这是仿照推导等比数列前 n 项和公式的 方法. 5.反序求和法:将一个数列的倒数第 k 项(k=1,2,3,?,n)变为顺数 第 k 项,然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等),这是仿照 推导等差数列前 n 项和公式的方法. (二)学习要: 1.“数列求和”是数列中的重要内容,在中学高考范围内,学习数列求和 不需要学习任何理信纸,上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运 用于数列求和之中. 在上面提到的方法中,“拆项”、“并项”、“裂项”方法 使用率比较高, “拆项”的典型例子是数列“ S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ”的求和; “裂项”的典型例子是数列“ S n ?
1 1 1 ? ??? ”的求和;“并项”的 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

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典型例子是数列“ S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? (?1) n?1 ? n ”的求和. 2.“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法,使用率不高,其中“错 位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题:若 {an } 是等差数列,{ bn }是 等比数列,则数列{ an ? bn }的求和运用错位求和方法. [例 1]解答下述问题: (I)已知数列 {an } 的通项公式 an ?
( 2n) 2 ,求它的前 n 项和. (2n ? 1)(2n ? 1)
2n ? 1 , 求它的前 n 项和. [n(n ? 1)]2

(II)已知数列 {an } 的通项公式 an ?

(III)求和: S n ? 1? n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? (n ? 2) ? ? ? n ?1; (Ⅳ)已知数列 a n ? (n ? 1) ? ( ) n , 求{a n }的前 n项和 S n .
0 1 3 (Ⅴ)求和 W ? Cn ? 4Cn ? 7Cn2 ? 10Cn ? ? ? (3n ? 1)Cnn

9 10

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[例 2]解答下列问题: (I)设 f ( x) ? x 2 ? 9 ( x ? ?3), (1)求 f (x) 的反函数 f ?1 ( x); (2)若 u1 ? 1, un ? ? f ?1 (un?1 ), (n ? 2),求un ; (3)若 ak ?
1 , k ? 1,2,3,?, 求数列 an }的前n项和S n ; { u k ? u k ?1

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[例 3]已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) , 2

(I)求 an与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式; (II)求证
1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

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《训练题》
一、选择题 1.在数列 {an } 中, a n ? A.9
1 n ? n ?1 , 若其前n项和S n ? 9 ,则项数 n 为 (



B.10

C.99

D.100

2.数列 1,(1+2),(1+2+22),?,(1+2+22+?+2n-1),?的前 n 项和等 于 ( ) B. 2 n?1 ? n ? 2 C. 2 n ? n ? 1 D. 2 n ? n ? 2 ( D.2 (
4 n(n ? 1)

A. 2 n?1 ? n

3.设 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n?1 ? n, 则S17 ? S33 ? S50 = A.-1 4.数列 1, A.
n n ?1



B.0

C.1

1 1 1 , ,?, 的前n项和为 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n



B.

2n n ?1

C.

2 n(n ? 1)

D.

2 2 5.数列{ an }的前 n 项和 S n ? 2n ? 1, 则a12 ? a2 ? ? ? an ?


1 3



A. (2 n ? 1) 2

B. (2 n ? 1)

1 3

C. 4 n ? 1

D. (4 n ? 1)

6.数列{ an }的通项公式为 a n ? 4n ? 1, 令bn ? 为

a1 ? a 2 ? ? ? a n , 则数列{ bn }的前 n 项和 n

( A. n 2 二、填空题 7.数列1,2 ,3 ,4 ,5 8.若
1 2 1 4 1 1 1 ,6 ,?? 的前 10 项之和为 8 16 32



B. n(n ? 2)

C. n(n ? 1)

D. n(2n ? 1)

12 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) 2 19 ? , 则n ? 22 2 2 ? 4 2 ? ? ? (2n) 2

9.已知{ an }的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 1, 则 | a1 | ? | a2 | ??? | a10 | 的值为
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10.已知数列{ an }的通项公式是 a n ? 三、解答题:

1 , 则前 n 项和为 n ? 5n ? 6
2

11.已知数列{ an }的各项分别为 1, a ? a 2 , a 2 ? a 3 ? a 4 , a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ,??, 求{an } 的前 n 项和 S n .

12.已知数列{ an }满足: a1 ? 3a2 ? ? ? (2n ? 1)an ? (2n ? 3) ? 2n?1 , 数列 bn }的前 n 项和 {
S n ? 2n 2 ? n ? 2.求数列 an ? bn }的前n项和Wn . {

13.设数列{ an }中, an ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? N ? ), 将{an } 中 5 的倍数的项依次记为
b1 , b2 , b3 ,??,

(I)求 b1 , b2 , b3 , b4 的值. (II)用 k 表示 b2k ?1与b2k ,并说明理由.
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(III)求和: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2n?1 ? b2n .

14.数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1,2S n ? (n ? 1)an , (I)求 an 与 a n ?1 的关系式,并求{ an }的通项公式; (II)求和 Wn ?
1 1 1 ? 2 ??? 2 . a ? 1 a3 ? 1 a n ?1 ? 1
2 2

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15.将等差数列{ an }的所有项依次排列,并如下分组:( a1 ),( a2 , a3 ), ( a4 , a5 , a6 , a7 ),?,其中第 1 组有 1 项,第 2 组有 2 项,第 3 组有 4 项,?, 第 n 组有 2 n ?1 项,记 Tn 为第 n 组中各项的和,已知 T3=-48,T4=0, (I)求数列{ an }的通项公式; (II)求数列{Tn}的通项公式; (III)设数列{ Tn }的前 n 项和为 Sn,求 S8 的值.

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