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自招讲义(精简版)


高校自主招生与数学复习策略
一、关于自主招生的一些情况说明

1.自主招生: 从 2003 年起陆续铺开的“自主选拔录取改革试点” ,简称“试点” , 根据规定,试点高校可以拔出当年本科招生计划总数的 5℅的名额自 主选拔优秀高中生,并给与高考录取中的优惠,故俗称“5℅自主招 生” 。目前全国已有 80 所参与这项试点。此外教育部 2006 年批准复

旦大学、 上海交通大学 “自主选拔录取改革实验” 政策, “实验” 简称 目前仅面向江、浙、沪三地考生。

二、试卷特点分析 1.基础知识和基本技能仍是考查重点 基础知识、基本技能称之为“双基”。大家知道,能力与“双基” 有着辩证关系。没有扎实的“双基”,能力培养就成了无源之水,无本 之木。所以,“双基”训练是数学教学的重要任务之一。 综观高校近几年自主招生的数学题目,我们发现有 60%至 70%的题 目仍是比较基础的,这些选择、填空题比较常规,和高考试题难度相 当,也多半是学生平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。

2011 卓越联盟
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.已知向量 a, b 为非零向量, (a ? 2b) ? a,(b ? 2a) ? b, 则 a, b 夹角为(

)

A.

? 6

B.

? 3

C.

?? 3

D.

?? 6

? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? 解:由 (a ? 2b) ? a ? a ? 2a ? b;(b ? 2a) ? b ? b ? 2a ? b,

得:

? ? a ?b

?2 ? ? ?2 1 ? , b ? 2a ? b ? 2 b cos? ? cos? ? ? ? ? 2 3

例: (2011 年北约)求过抛物线
y ? 2x2 ? 2x ?1, y ? ?5x2 ? 2x ? 3 两交点的直线方程

解:设交点为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?
? y1 ? 2 x12 ? 2 x1 ? 1, ? ? 7 y1 ? 6 x1 ? 1 ? 2 ? y1 ? ?5 x1 ? 2 x1 ? 3 ?

同理 7 y2 ? 6x2 ?1 ,
所以过两交点 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 的直线方程 7 y ? 6x ? 1

2.考查知识点的覆盖面广 重点高校近几年自主招生的试题,知识点的覆盖面还是很广的, 基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。例如,函数、集合、数列、 复数、三角、不等式、排列、组合、概率统计、向量、立体几何、解 析几何等。但高校自主招生试题命题是由大学完成的,更多会考虑到 高等数学与初等数学的衔接。

3.注重知识的延伸和加深 全国重点大学自主招生没有考试大纲,因此不存在命题“超纲” 问题,有些问题稍有深度,这就要求考生平时注意知识点的延伸和加 深。例如函数方程和函数迭代、函数的凹凸性、高次方程和韦达定理 的推广,柯西不等式、三角和差化积、积化和差、椭圆、双曲线的准 线等。

练习: 1. (2012 北约 3) 已知 ( x2 ? 2x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成首项为 的等差数列,求 m ? n
x1 ? x4 ? 2, x2 ? x3 ? 2, x1 ? 3 5 7 ? x2 ? , x3 ? , x4 ? , 4 4 4
1 2

1 4

解:

1 4

所以 m ? n ?

2003 全国卷 7.已知方程 ( x 2 ? 2x ? m)(x 2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成的一 个首项为 的等差数列,则 | m ? n |? A.1 B.
3 4 1 4


1 2



C.

D.

3 8

例: (2004 年湖北卷,13 分)在 Rt△ABC 中,已知 BC= a .若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角θ 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最 大值.
??? ???? ??? ???? ? ? ? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0. ??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 1 ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 ? ? a 2 ? a 2 cos? .

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同时, BP ? CQ最大.其最大值为 . ) 0

(2012 卓越联盟)直解三角形 ABC 中, ?A ? 900 , A 为 EF 的中点,
??? ??? ? ? 且 EF 与 BC 夹角为 60 ,BC=4,EF=2,则 BE ? CF ?
0

解:
??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? BE ? CF ? BA ? AE ? CA ? AF ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? BA ? CA ? BA ? AF ? AE ? CA ? AE ? AF ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? AE (CA ? BA) ? AE ? AF ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AE ? CB ? AE ? AF ? 1? 4 ? COS 600 ? 1 ? 1

?

??

?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 或 AE ? CB ? AE ? AF ? 1? 4 ? COS1200 ?1 ? ?3

4. 高考、自主招生、数学竞赛三者之间的关系 全国重点大学自主招生数学试题比高考试题稍难, 比数学竞赛试 题又稍简单。 下面从同一考点的不同命题, 看三种考试对能力要求的 区别
? lg x , 0<x ? 10, 例:2010 全国卷(11)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a, b, c 互不相 ? ?? x ? 6, x>10 ? 2

等,且 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? ,则 abc 的取值范围是 (A) ?1,10? (B) ? 5, 6 ? (C) ?10,12? (D) ? 20, 24?

f ? a ? ? f ? b ? ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? ? lg a ? lg b ? ab ? 1

?c ? ?10,12? ? abc ? ?10,12?

2011 文科 12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x2 , 那么函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ?| lg x | 的图象的交点共有 A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个

A

f ?9? ? lg9 ? 1, f ?11? ? lg11 ? 1
如图,共有10个交点

解: 0 ? a ? 1 ? b且f ? a ? ? ? lg a ? lg , f ? b ? ? lg b
ab ? 1,

1 a

a?b 1? 1? ? ? b ? ? ? 1,? f 2 2? b?

a?b ? a?b? ? ? ? lg 2 ? 2 ?
2 2

a ?b 1? ? a ?b ? 1 ? f ? b ? ? 2lg ?b ?? ? ?b ? ? ? 2 b? ? 2 ? 4?

整理: b 4 ? 4b3 ? 2b 2 ? 1 ? 0 ? ? b ? 1? ? b3 ? 3b 2 ? b ? 1? ? 0 因为 b ? 1 ,否则 a ? 1 , 所以 b3 ? 3b2 ? b ?1 ? 0, b ? 1且ab ? 1

b4 ? 4b3 ? 2b2 ? 1 ? 0 ? b4 ? b3 ? 3b3 ? 3b2 ? b2 ? 1 ? ? b ? 1? ? b3 ? 3b 2 ? b ? 1? ? 0 ? b3 ? b ? 1? ? 3b2 ? b ? 1? ? ? b ? 1?? b ? 1?

(2)设 g ?b? ? b3 ? 3b2 ? b ?1 ,
g ?3? ? ?4 ? 0, g ? 4? ? 11 ? 0

所以 g ?b? ? b3 ? 3b2 ? b ?1 ? 0 在 ? 3, 4 ? 至少有一个根, 所以 3<b<4 。

例:2011 全国数学竞赛第 9 题 设 f ? x ? ? lg ? x ? 1? ,实数 a, b ? a ? b? 满足
? b ?1 ? f ?a? ? f ? ? ? , f ?10a ? 6b ? 21? ? 4lg 2 ,求 a , b 的值 b?2? ?

? b ?1 ? 解:? f ? a ? ? f ? ? ?, ? b?2?

? b ?1 ? ? 1 ? ? lg ? a ? 1? ? lg ? ? ? 1? ? lg ? ? ? lg ? b ? 2 ? ? b?2 ? ?b?2?
所以 a ? 1 ? b ? 2或a ? 1 ?
1 , b?2
1 b?2

因为 a ? b,? a ? 1 ? b ? 2 ,故 a ? 1 ?

三、自主招生重要知识点解读



集合与命题

1.补充知识 容斥原理:
A? B ?C ? A ? B ? C ?? A? B ? A?C ? B ?C ?? A? B ?C

摩根原理
CU ? A ? B? ? (CU A) ? (CU B) CU ? A ? B? ? (CU A) ? (CU B)

2.典型例题

例 2: (2010 清华等五校联考)已知 f ? x ? 是定义在 R 上的 奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递增, f ? ?1? ? 0 ,设
? ? x ? ? sin2 x ? m cos x ? 2m, ,集合:
? ? ? ? ? ?? ? ?? M ? ?m ?x ? ?0, ? , ? ? x ? ? 0? N ? ?m ?x ? ?0, ? , f ?? ? x ?? ? 0? , ? ? ? 2? ? 2? ? ? ? ?

求M ?N

解:根据题意可知:当 x ? 0 时, f ? x ? 也是单调递增函数,且
f ?1? ? 0 , f ? x ? ? 0 ? x ? ?1或0 ? x ? 1
? ? ? ?? 则 N ? ?m ?x ? ?0, ? ,? ? x ? ? ?1或0<? ? x ? ? 1? , ? 2? ? ? ? ? ? 所以: M ? N ? ?m ?x ? ?0, ? , ? ? x ? ? ?1? ? ? ? ? 2? ?

例 3、已知集合 A ? ?a1,a2, ,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1,?,k ) ,由 A 2, ? 中的元素构成两个相应的集合:
S ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? , T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? .

其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ? A ,总有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P . (I) 检验集合 ?0,2, 与 ??1,3? 是否具有性质 P , 并对其中具有性质 P 2, 1 3? , 的集合,写出相应的集合 S 和 T ; (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤
k ( k ? 1) ; 2

(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论。

解(I) :集合 ?0,2, 不具有性质 P .因为 0 ? A ,而 ?0 ? A 。 1 3? , 集合 ??1,3? 具有性质 P ,其中形如 (a,b) 是有序数对如下: 2,

(?13) (3 ?1), ? 2,3? , ?3,2? , ? ?1,2? , ? 2, ?1? ,,,
其相应的集合 S 和 T 是

S ? ?(?13) (3 ?1)? ,,, T ? ?(2,1),,? ? ?2 3?

(a1 , a1 )

(a1 , a2 )

(a1 , a3 )

(a1 , a4 )

? ? ? ?
(ai , ai )

(a1 , an )

(a2 , a1 )

(a2 , a2 )

(a2 , a3 )

(a2 , a4 )

(a2 , an )

(a3 , a1 )

(a3 , a2 )

(a3 , a3 )

(a3 , a4 )

(a3 , an )

(a4 , a1 )

(a4 , a2 )

(a4 , a3 )

(a4 , a4 )

(a4 , an )

?
(an , a1 )

?
(an , a2 )

?
(an , a3 )

?
(an , a4 )

?
(an , an )

?

(II)由 A 中 k 个元素构成的有序数对 (ai,a j ) 共有 k 2 个. 因为 0 ? A ,所以 (ai,ai ) ?T (i ? 1,?,k ) ;又因为当 a ? A 2, 时, ? a ? A 时, ? a ? A , 所以当 (ai,a j ) ?T 时, (a j,ai ) ?T (i,j ? 1,?,k ) . 2, 从而,集合 T 中元素的个数最多为 (k 2 ? k ) ? 即n≤
k ( k ? 1) . 2 1 2 k (k ? 1) , 2

(III) 一方面: 对于 (a,b) ? S , 根据定义,a ? A ,b ? A , 且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? T . 如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素, 那么 a ? c 与 b ? d 中 至少有一个不成立, 从而 a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立. 故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 T 的不同元素.
S 可见, 中元素的个数不多于 T 中元素的个数, m ≤ n , 即

另一方面:对于 (a,b) ? T ,根据定义, a ? A , b ? A ,且
a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? S .如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 T

的不

同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而
a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也不至少有一个不成立, (a ? b,b) 故

与 (c ? d,d ) 也是 S 的不同元素. 可见,T 中元素的个数不 多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m ? n 。

※ 函数及其性质
1.补充知识 函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 时,函数 y ? f ? x ? 的图像关于直线
x? a?b 对称 2

函数 y ? f ? x ? 满足 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? ? c 时,函数 y ? f ? x ? 的图像关于点
( a?b c , ) 对称 2 2 b?a 对称 2

函数 y ? f ? a ? x ? 的图像与 y ? f ?b ? x ? 的图像关于直线 x ?

零值定理:函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上连续,且 f ? a ? ? f ?b? ? 0 ,则在 ? a, b ? 内 至少存在一点 c 使得 f ? c ? ? 0

2.典型例题
例 1:设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,若对 任意的 x ? [a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范 围是 .

1 例 3: (2012 华约 10) .若对于 x ? ? ??, ?1? 时, 不等式 ? m ? m ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? ?2?
2 x

x

恒成立,求 m 的取值范围
x ? 1 ? ?? 1 ? ? ?1? 解: ? m2 ? m ? ? ? ? ? ?? ? ? ,令 ? ? ? t ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ?2? ? ?
x x 2

x 2 ? 1 ? ?? 1 ? ? ? 1? 1 所以 ? ? ? ?? ? ? ? t 2 ? t ? ? t ? ? ? ? 6 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? 2? 4 ? ? x

2

所以 m2 ? m ? 6 ? ?2 ? m ? 3

例 4: (2012 华约 3) .设函数 f ? x ? ? x ? ln x ? 1 ? x2 ,则对于 任意的实数 a , b , a ? b ? 0 是 f ? a ? ? f ?b? ? 0 的 A.必要不充分, C。充分且必要 B。充分不必要, D。既不充分也不必要。

?

?

解题分析:
a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ? a ? ? f ? ?b? ? f ? a ? ? ? f ?b? ? f ? a ? ? f ?b? ? 0

因为定义域 x ? R , 令 g ? x ? ? ln x ? 1 ? x2 ,因为 g ? x ? ? g ? ?x ? ?

?

?

? ? ? 所以 g ? x ? ? ln ? x ? 1 ? x ? 是 R 上的奇函数, ?
2

ln x ? 1 ? x2 ? ln ? x ? 1 ? (? x)2 ? ln(1 ? x2 ? x2 ) ? 0

所以 g ? x ? ? ln x ? 1 ? x2 是 R 上的奇函数, 所以 f ? x ? ? x ? ln x ? 1 ? x2 是 R 上的奇函数; 又 g ? x ? ? ln x ? 1 ? x2 的导数为
1 ? x 2 ? 0 ( x ? 0, ?? ,故在 R 上是增函数 g ? x? ? ? ? 2 x ? 1? x
/

?

?

?

?

?

?

1?

x

所以 f ? x ? ? x ? ln x ? 1 ? x2 在 R 上是增函数 故:
a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ? a ? ? f ? ?b? ? f ? a ? ? ? f ?b? ? f ? a ? ? f ?b ? ? 0

?

?

例 5: (2000 上海交大联读班)函数 f ? x ? 满足对于任意 x, y ? R ,
f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? xy ? x ? y ? ,

又 f / ? 0? ? 1,求函数 f ? x ? 的表达式

解:令 x ? y ? 0 ,得 f ? 0? ? 0 ,视 y 为常数, 对 f ? x ? 求导
f / ? x ? y ? ? f / ? x ? ? 0 ? 2xy ? y 2 ,

再令 x ? 0 , f / ? y ? ? 1 ? y2 ? f ? x ? ? y 3 ? y ? c 所以 f ? x ? ? x3 ? x ? c (C 为常数) 因为 f ? 0? ? 0 所以 c ? 0 , f ? x ? ? x3 ? x
1 3 1 3

1 3

例 6:(2012 华约14).函数 f ? x ? ? ex ? 2x2 ? 3x (1)求证函数 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上存在唯一极值点,并用二分法求函 数取得极值时相应 x 的近似值(误差不超过0.2) (参考数据:
e ? 2.7, e ? 1.6, e0.3 ? 1.3 )

(2)当 x ? 时,若关于 x 的不等式 f ? x ? ? x 2 ? ? a ? 3? x ? 1 恒成立,求 实数 a 的取值范围。

1 2

5 2

解: f / ? x ? ? ex ? 4x ? 3 , f / ? 0? ? 1? 3 ? ?2 ? 0 f / ?1? ? e ? 4 ? 3 ? 0 所以 f / ? 0? ? f / ?1? ? 0 ,

设 h ? x ? ? f / ? x ? ? e x ? 4 x ? 3 , h/ ? x ? ? e x ? 4 , 故 f / ? x ? 在 ?0,1? 单调递增, f / ? x ? 在 ?0,1? 有唯一的零点。 所以 f ? x ? 在 ?0,1? 有唯一的极小值点。 ① f / ? 0.5? ? 0.6 ? 0 ,而 f / ? 0? ? 0 ,所以极值点在 ?0,0.5? ② f / ? 0.3? ? ?0.5 ? 0 ,所以极值点在 ?0.3,0.5? , ③ 0.5 ? 0.3 ? 0.2 ,所以区间 ?0.3,0.5? 内任意一点为所求。

(2) f ? x ? ? x 2 ? ? a ? 3? x ? 1 即 e x ? 2 x 2 ? 3x ? x 2 ? ? a ? 3? x ? 1
1 ex ? x2 ? 1 1 1 2 所以 ax ? e x ? x 2 ? 1 ,因为 x ? ,故 a ? 2 2 x 1 2 1 2 x e ? x ?1 e ? x ? 1? ? x ? 1 / 2 2 设 g ? x? ? ,则 g ? x ? ? 2 x x
x

5 2

5 2

令 h ? x ? ? e x ? x ? 1? ? x 2 ? 1 , h / ? x ? ? x ? e x ? 1?
1 2

当 x ? 时, h / ? x ? ? x ? e x ? 1? ? 0 , h ? x ? 在 x ? 单调递增,
1 2 1 2

?1? 7 1 h ? x? ? h ? ? ? ? e ? 0 ,即 g / ? x ? ? 0 , ?2? 8 2
1 1 4 单调递增, g ? x ? ? g ? ? ? 2e ? ? 0 ? ? 2 9 ?2?

g ? x? 在 x ?

实数 a 的取值范围 a ? 2e ?

4 9

※ 三角函数问题

sin ? x ? y ? ? sin x cos y ? cos x sin y
sin ? x ? y ? ? sin x cos y ? cos x sin y

cos ? x ? y ? ? cos x cos y ? sin x sin y
cos ? x ? y ? ? cos x cos y ? sin x sin y

和差化积
sin ? ? sin ? ? 2sin

?? ? ? ? cos ?? ? ? ?
2 2

sin ? ? sin ? ? 2cos

?? ? ? ? sin ?? ? ? ?
2 2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

?? ? ? ? cos ?? ? ? ?
2 2

cos ? ? cos ? ? ?2sin

?? ? ? ? sin ?? ? ? ?
2 2

三倍角公式
sin3? ? 3sin ? ? 4sin3 ? ,cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos ?

万能公式
2a 1 ? a2 2a , cos ? ? , tan ? ? 设 tan ? a ,则 sin ? ? 2 1 ? a2 1 ? a2 1 ? a2

?

2.典型例题
例 1: (2011 北约)在三角形 ABC 中, a ? b ? 2c, 求证 C ? 600

解: a ? b ? 2c ? sin A ? sin B ? 2sin C
A? B A? B C C ? 2Sin cos ? 2 ? 2 Sin cos 2 2 2 2 A? B C C C ? cos ? 2Sin ? 2Sin ? 1 ? ? 300 ? C ? 600 2 2 2 2

解法 2:因为 a ? b ? 2c, 由余弦定理得:
? a?b? 3 2 3 2 1 a ?b ?? a ? b ? ab ? 2 2 2 a ?b ?c ? 2 ? ?4 4 2 cos C ? ? 2ab 2ab 2ab
2 2 2

3 1 ? 2ab ? ab 4 2 ? 1 ? C ? 600 ? 2ab 2

例 2: (2009 北京大学)存不存在 0 ? x ?
sin x,cos x, tan x,cot x 为等差数列?

?
2

使得

cos 2 x ? sin 2 x 解: cos x ? sin x ? cot x ? tan x ? cos x ? sin x ? cos x sin x

当 x ? 时, sin x,cos x, tan x,cot x 不成等差数列
4

?

当x?

?

? 时,令 t ? sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? t ? ?1, 2 ? ? ? ? 4 4? ?

t 2 ?1 则: cos x sin x ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? cos x ? sin x ? cos x sin x 由 cos x ? sin x ? cos x sin x

得: t 2 ? 2t ? 1 ? 0 ? t ?

2? 8 ? 1 ? 2 ? 1, 2 ? ,矛盾; ? 2

?

或 sin x ? cos x ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 0 ,矛盾。

2.设Δ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足
3 tan A a cos B ? b cos A ? c ,则 的值是 5 tan B

.

方法 4:
3 由正线定理得: sin A cos B ? sin B cos A ? sin C 5

5sin A cos B ? 5sin B cos A ? 3sin( A ? B)
5sin A cos B ? 5sin B cos A ? 3sin A cos B ? 3sin B cos A

tan A 2sin A cos B ? 8sin B cos A ? ?4 tan B

例 4: (2012 北约 8).求使得 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 在 ?0, ? ? 上有唯一解的 a
解:设 f ? x ? ? sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? ? cos 4 x ? cos 6 x ? 显然 f ? x ? 关于 x ? 对称, f ?? ? x ? ? f ? x ? ) (
2

?

1 2

因此 f ? x? ? a 在 ?0, ? ? 上有唯一解必须 只可能在 x ? 0 ,或 x ? 取得,
2

?

当 x ? 0 时,此时 a ? 0 , f ? x? ? a 在 ?0, ? ? 上的解不唯一(如 x ? 0, x ?
?
2

?
5

) 。

当 x ? 时,此时 a ? 1 , sin 5 x sin x ? 1 在 ?0, ? ? 上, sin x ? 0 ,所以 sin 5x ? 1,sin x ? 1 即当 x ? 时有唯一解。这时 a ? 1 。
2

?

例 5:(2012 华约 11). 设 ? ? ? 0, ? , 求函数f ?? ? ? sin 7 ? cos3 ? ? sin 3 ? cos7 ? 的最大值 ? ? ? 2?
?

解: f ?? ? ? sin 7 ? cos3 ? ? sin 3 ? cos7 ? ? sin 3 ? cos3 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ? ?
? ?1 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? sin 3 ? cos 3 ? ? ?
1? 1? 令 sin ? cos? ? t ? ? 0, ? ,则 f ? t ? ? ?1 ? 2t 2 ? t 3 ? t 3 ? 2t 5 , t ? ? 0, ? ? ? ? 2? ? 2? ? 1? f / ? t ? ? 3t 2 ? 10t 4 ? t 2 ? 3 ? 10t 2 ? ? 0 ,因为 t ? ? 0, ? , f / ? t ? ? t 2 ? 3 ? 10t 2 ? ? 0 ? 2? 1 1 1? 所以 f ? t ? 在 t ? ? 0, ? 单调递增,所以 f ? t ? 的最大值为 f ? ? ? 。 ? ? ? ? 2? ? 2 ? 16



数列与极限
,求通项 an an?1 ? pan ? q ( P 为常数, P ? 1, q ? 0 )

模型 1:

方法:用待定系数将其转化为等比数列。
an?1 ? pan ? q ? an?1 ? x ? p(an ? x)

其中 x ?

q p ?1

例:数列 ?an ? 满足 an?1 ? 3an ? 4, a1 ? 1,求数列的通项公式

解:因为 an?1 ? 3an ? 4, 所以 an?1 ? x ? 3(an ? x) ? x ? 2 所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3n ? an ? 3n ? 2

类型 2 : an?1 ? kan ? bn ( k ? 1, b ? 0 且为常数, )求 an 方法 1:将其转化为
an ? kan?1 ? b n ?

an?1 ? pan ? q ( P ? 1, q ? 0 )

an k an?1 ? ? n ?1 ? 1 n b b b

方法 2:直接用待定系数法: an ? kan?1 ? bn ?
an ? ?bn ? k (an?1 ? ? b n?1 ) ? ? ?
b k ?b

例.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sn?2

? 1? ? 3? ? ? ? 2?

n ?1

? n ? 3? ,

3 且 S1 ? 1, S2 ? ? ,求数列 ?an ? 的通项公式 2

? 1? 解法 1: an ? an ?1 ? 3 ? ? ? ? 2?

n ?1

an an ?1 1 ?? ? ? ?3 n n ?1 2 ? 1? ? 1? ?? ? ?? ? ? 2? ? 2?

令 bn ?

an ? 1? ?? ? ? 2?
n

,则 bn ? 2bn?1 ? 6 ? bn ? 6 ? 2(bn?1 ? 6)

所以

?bn ? 6? 是以-8 为首项,2 为公比的等比数列,
n ?1

故 an ? 4 ? ?1?

? 1? ? 6? ? ? ? 2?

n

n ?1 ? ?1? ?4 ? 3 ? ? ? , 当n为奇数 ? ? 2? 即 an ? ? n ?1 ?1? ? ??4 ? 3 ? ? 2 ? 当n为偶数 ? ? ?

模型 3: an?1 ? pan ? kn ? b(p、k、b为常数) ,求 an , 方法:用待定系数将其转化为等比数列 把 an?1 ? pan ? kn ? b(p、k、b为常数) 写成 ,
an ? cn ? d ? p ?an?1 ? (n ? 1 ? d ? 的形式, c ) ? ?

然后整理比较系数求出 c, d 。

例 1:2007 年(安徽理 21)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就 交纳养老储备金, 数目为 a1 , 以后每年交纳的数目均比上一年增加 d

? d ? 0? ,

因此,历年所交纳的储务金数目 a1 , a2 ,?是一个公差为 d 的等差数列,与此 同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是

? r ? 0? ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备 n?2 n ?1 金就变为 a1 ?1 ? r ? ,第二年所交纳的储备金就变为 a2 ?1 ? r ? ??,以
说,如果固定年利率为 r

Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额.

? n ? 2? 的递推关系式; (Ⅱ)求证:Tn ? An ? Bn ,其中? An ? 是一个等比数列, ?Bn ?是一个等差数列.
(Ⅰ)写出Tn 与Tn?1

T2 ? T1 (1 ? r ) ? a2 , T3 ? T2 (1 ? r ) ? a3



在①式两端同乘 1+r,得

rTn ? a1 (1 ? r ) n ? d (1 ? r ) n?1 ? (1 ? r ) n?2 ? ? ? (1 ? r ) ? an
a1r ? d a1r ? d d n Tn ? (1 ? r ) ? n ? 2 r r r2

?

?

2an?2 ? an?1 ? an ? an?2

1 1 ? an?1 ? an 2 2

an? 2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an )
1 1 ? ? ? ? , ?? ? ? 2 2

1 an?2 ? an?1 ? ? (an?1 ? an ) 2

例 2: (2012 全国卷文理科) 数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , 则 {a n} 的前 60 项和为

解:方法 1 令 a1 ? 1, 则 a2 ? 2, a3 ? 1, a4 ? 6, a5 ? 1, a6 ? 10,? 前 60 项中,奇数项为 1,其和为 30. 偶数项形成以 2 为首项,4 为公差的等差数列,其和为
1 30 ? 2 ? ? 30 ? 29 ? 4 ? 1800 2

所以 {a n} 的前 60 项和为 1830

方法 2: a2 ? a1 ? 2 ?1 ?1, a4 ? a3 ? 2 ? 3 ?1,?, a60 ? a59 ? 2 ? 59 ?1, 相加得:
(a2 ? a4 ? ? ? a60 ) ? (a1 ? a3 ? ?? a59 ) ? 1770

又 a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 3, ? a3 ? a1 ? 2, 同理 a7 ? a5 ? 2, 所以 a1 ? a3 ? ? ? a59 ? 30 ,所以 (a2 ? a4 ? ?? a60 ) ? (a1 ? a3 ? ?? a59 ) ? 1830

方法 3:由题意得:
? 8n ? 1 (1) ? ? a4 n? 2 ? a4 n?1 ? 8n ? 1 (2) ? ?(1) ? (2) : a4 n? 2 ? a4 n ? 16n ??? a4 n?3 ? a4 n? 2 ? 8n ? 3 (3) ? ?(3) ? (2) : a4 n?3 ? a4 n?1 ? 2 a4 n? 4 ? a4 n?3 ? 8n ? 5 (4) ? ? a4 n?1 ? a4 n

由上式得: (1) ? (2) ? (3) ? (4) ?
a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? (a4n ? a4n?2 ) ? (a4n?1 ? a4n?3 ) a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? 16n ? 2 ? 32n ? 8 a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? 16n ? 10

令 bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? 16n ? 10
bn ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n ? 16(n ?1) ? 10 ? 16n ? 6

所以: bn?1 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ? 15 ?14 ? 16 ? 1830 2

例 3:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? c ? (Ⅰ)设 c ? , bn ?
5 2

1 . an

1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围

解: (Ⅰ) an?1 ? ?

5 2

1 1 1 a ?2 ? an?1 ? 2 ? ? ? n an 2 an 2an

1 1 ? ?4 ?2 an?1 ? 2 an ? 2
2 4n?1 bn ? 4bn ? 2, b1 ? ?1,? bn ? ? ? 3 3

(Ⅱ) an?1 ? c ?

1 1 ? lim an ?1 ? c ? n ?? an lim an
n ??

令 lim an ? t ,又 lim an ?1 ? lim an ? t n ?? n ?? n ??
1 c ? c2 ? 4 则: t ? c ? ? t ? t 2 c ? c2 ? 4 10 1? ? 3? 2 ? c ? , 2 3 c ? c2 ? 4 1? ? 3 (无解) 2

所以 c ? ? 2, ?

10 ? ? 3? ?

例 4:已知数列 ?an ?, an ? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) . 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an .
Tn ? 1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

求证:当 n ? N ? 时, (Ⅰ) an ? an?1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。

(Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 . ②假设当 n ? k (k ?N* ) 时, ak ? ak ?1 ,
2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 .即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N 都成立.
*

(Ⅲ)证明:用后一项除以前一项
1 1 ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an?1 ) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an?1 ) 1 ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an?1 )(1 ? an ) (1 ? an )
?1 ? 5 2

因为 an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) ,所以 an 2 ? an ? 1 ? 0 ? an ? 所以
1 1 2 2 ? ? ? (1 ? an ) 1 ? 5 1 ? 5 3 2

? ? 2 ?n ? 1? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?3? ? ? ? 3 ? 3? ? 故当 n ≥ 3 时, Tn ? ? ? ? ?3 2 ?3? 1? 3

例: (2011 卓越联盟 11).设数列 {an } 满足 a1 ? a, a2 ? b,2an?2 ? an?1 ? an . (1)设 bn ? an?1 ? an ,证明:若 a ? b ,则 {bn } 是等比数列; (2)若 lim(a1 ? a2 ? ?? an ) ? 4, 求 a , b 的值; n??

【解】(1)证:由 a1 ? a, a2 ? b,2an?2 ? an?1 ? an ,
得 2(an?2 ? an?1 ) ? ?(an?1 ? an ).
令 bn ? an?1 ? an , 则 bn?1 ? ? 1 bn ,所以 {bn } 是以 b ? a 为首项,
2

以 ? 1 为公比的等比数列;
2

(2)由(1) 可知 bn ? an?1 ? an ? (b ? a)(? 1 )n?1 (n ? N * ) ,
2
1 1 ? (? )n 2 an ?1 ? a1 ? (b ? a) 1 1 ? (? ) 2

2 1 ? an?1 ? a ? (b ? a)[1 ? (? )n ], 3 2

所以 an ? a ? 2 (b ? a)[1 ? (? 1 )n?1 ](n ? N * )
3 2

1 1 ? (? )n 2 2 ] a1 ? a2 ? ? ? an ? na ? (b ? a)[n ? 1 3 1? 2 2 4 4 1 ? na ? (b ? a)n ? (b ? a) ? (b ? a)(? ) n 3 9 9 2

由于 lim(a1 ? a2 ??? an ) ? 4, n?? 所以 a ? 2 (b ? a) ? 0, ? 4 (b ? a) ? 4, 解得 a ? 6, b ? ?3
3 9

(2009 交大)珠宝店丢失了一件珍贵珠宝,以下四人只有 一人说真话,只有一人偸了珠宝, 。甲:我没有偷,乙:丙 是小偷。丙:丁是小偷。丁:我没有偷。
解:因为四人只有一人说真话,
先设甲说真话, 即甲没有偷, 由于丙说假话, 故丁不是小偷, 丁说假话,故丁是小偷,矛盾;
设乙说真话,即丙是小偷,但由于丁说假话, 故丁也是小偷,矛盾

设丙说真话,则丁是小偷,但由于甲说假话, 故甲是小偷,矛盾。

故只有丁说真话,且由于甲说假话,故甲是小偷。

※ 不等式问题
1.补充知识

a1 , a2 ,? , an ? R ? , a1 ? a2 ? ? ? an a ? a ? ? an ? a1a2 ? an ? ? 1 1 1 n n ? ?? ? a1 a2 an n
n 2 1 2 2

(2012 全国高中竞赛 3 题) 设 x 、 y 、 z ∈[0,1],则
M ? x? y ? y?z ? z ? x 的最大值是

.

柯西不等式: 设 ai , bi ? R ?i ? 1, 2,?n? ,则 (? aibi ) ? ? a ?? bi2
2 i ?1 i ?1 2 i i ?1 n n n

2 2 2 2 2 (a1b1 ? a2b2 ??? anbn )2 ? (a1 ? a2 ?an )(b12 ? b2 ? ?? bn )

an a1 a2 当且仅当 ? ? ? ? 时,等号成立 b1 b2 bn


? ? a ? (a1, a2 ,?, an ), b ? (b1, b2 ,?, bn )

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn
? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b cos a, b ? a ? b

2 2 2 2 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? a12 ? a2 ? ? ? an ? b12 ? b2 ? ? ? bn

例如:设实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 6 ,求 x2 ? y2 ? z 2 的最小值

3.排序不等式 设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn
a1b1 ? a2b2 ??anbn (顺序和) ? a1bj1 ? a2bj2 ??anbjn (乱序和) ? a1bn ? a2bn?1 ??anb1 (反序和)

其中 j1, j2 ? jn 是 1, 2,?, n 的任意排序; 当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时,等号成立
例 2009 清华大学:已知 x, y, z ? 0 , a, b, c 为 x, y, z 的一个排列, 求证: ? ? ? 3
a x b y c z

证明:联想排序不等式 根据 x, y, z 的对称性,可设 x ? y ? z ? 0
a, b, c 为 x, y, z 的一个排列,根据排序不等式,

1 1 1 1 1 1 a? ?b? ? c? ? x? ? y? ? z? ? 3 x y z x y z

或直接运用三项均值定理

例:设 a1, a2 ,?, an ? N ? ,且各不相同, ,求证
1? a a a3 1 1 ? ? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n 2 n 22 3 n2

解:设 b1, b2 ,?, bn是a1, a2 ,?, an 的重新排列,
1 1 1 且 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,又 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n

an a2 a3 a1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n bn b2 b3 1 1 ? b1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n
2.典型例题

b c 例 1:2012 江苏 14.已知正数 a , , 满足:

b 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 的取值范围是 c a



得:clnb-clnc ≥a

b a b ? ln ? ? ? e c c c

a c

原不等式可转化为:

? a b ?3 c + c ≥5 ? ?a b ? + ≤4 ?c c a ?b c ? ≥e ?c
?3x+y ≥5 ?x+y ≤ 4 ? ? y ≥ex ? ?x >0, y >0 ?

a b 令 : x= ,y = c c

题目转化为:已知x,y满足

y 求 的取值范围 x

作出 ? x, y ? 所在的平面区域(如右图)

y ? ex 的导数: y / ? e x

? 设切点坐标为: x0 ,y0 ?
? y 0 = e x0 ?y0 = e ? ; ? x0 y 0 ?? ? x 0 =1 ?e = x 0 ? ?1 7? ? P (1, e); C ? , ? ?2 2?
y 所以 的取值范围为 ?e,7 ? x

例 2:2012 北约 7. 设点 A、B、C 分别在边长为 1 的等边三角形的三 边上,求 AB2 ? BC 2 ? CA2 的最小值。

因为 所以原式

例 3: (2010 浙江大学)有小于 1 的正数: x1 , x2 ,? xn 且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 , 求证:
1 1 1 ? ?? ? ?4 3 3 3 x1 ? x1 x2 ? x2 xn ? xn

证明:?0 ? xi ? 1,? xi ? xi3 ? 0(i ? 1, 2,?n) 证法 1:要证: 需证:
1 1 1 ? ?? ? ? 4 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 3 3 3 x1 ? x1 x2 ? x2 xn ? xn

1 ? 4 xi 3 xi ? xi
2 i 4 i
2 i 2

需证: 1 ? 4x ? 4x ,即: ? 2 x ? 1? ? 0 ,
n n 2 1 因为不可能每个 xi ? ,所以 ? ? 4? xi ? 4 3 2 i ?1 xi ? xi i ?1

证法 3:由柯西不等式得
1 1 1 ?( x1 ? x13 ) ? ( x2 ? x23 ) ? ? ? ( x3 ? x33 ? ( ? ??? ) ? n2 ? ? x ? x3 x ? x3 xn ? xn3 1 1 2 2

又 ( x1 ? x13 ) ? ( x2 ? x23 ) ? ? ? ( x3 ? x33 ) ? 1 ? ? x13 ? x23 ? xn3 ? ? ? 0,1?
1 1 1 所以 ? ??? ? n2 ? 4 ? n ? 2 ? x1 ? x13 x2 ? x23 xn ? xn3

1 ? 2 x ? ?? n ? 1? ? n x a 例: f ? x ? ? lg ,其中 a 是实数, n
x

且 n 是大于或等于2的正数 (Ⅰ)如果f(x)当 x ? ? ??,1? 时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.
解(Ⅰ):f(x)当 x ? ? ??,1? 时有意义的条件是
1 ? 2 x ? ? ? n ? 1? ? n x a ? 0 ,因为 x ? ? ??,1? , n ? 2
x
x ?? 1 ? x ? 2 ? x ? n ?1 ? ? 即: a ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? x ? ??,1? ① ? n ? ? ?? n ? ? n ? ? ?

k 因为: ? ? ? ? ? ?n?

x

? k ? 1, 2,? n ? 1? 在 ? ??,1? 上都是增函数,

x ?? 1 ? x ? 2 ? x n ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? n? ?n? n ? ? ? ?? ? ?

在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值
?? 1 ? ? 2 ? 1 n ? n ? 1? 1 ? n ?1 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? n ? 1? ? n? ?n? n ?? 2 n 2 ? ?? ?

因此,①式单价于 a ? ? ? n ? 1? 也就是a的取值范围为 ?a a ? ? ? n ? 1??
? ? ? 1 2 ?

1 2

※ 平面几何与立体几何
1.补充知识 三面角公式 二面角 B ? SA ? C 的大小用 A 表示 二面角 A ? SB ? C 的大小用 B 表示 二面角 B ? SC ? A 的大小用 C 表示 (1)三面角正弦定理:
sin A sin B sin C ? ? sin ?BSC sin ?ASC sin ?BSA

(2)三面角余弦定理:
cos ?BSC ? cos ?ASB ? cos ?ASC ? sin ?ASB ? sin ?ASC ? cos A

推论: cos? ? cos?1 ? cos?2 (其中?1所在平面 ? ?2所在平面)

2.典型例题
例 1: (2012 华约 9). PA, PB, PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射 线的夹角均为 600 ,那么直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦是
A. 1 . 2

B.

2 . 2

C.

3 . 3

D.

6 . 3

解:作 CH ? ?APB 于 H,如图, 因为 cos ?APH ? cos ?CPH ? cos ?CPA 所以 cos300 ? cos ?CPH ? cos 600
3 3

cos ?CPH ?

AD BC 2012 上海 14. 如图, 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, ? 2 ,

若 AD ? 2c , AB ? BD ? AC ? CD ? 2a , a 、 为常数, 且 其中 c 则四面体 ABCD 的体积的最大值是 .

【解析】据题 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a , 也就是说,线段 AB ? BD与线段AC ? CD 的长度是定值,因为棱 AD 与棱 BC 互 相垂直,当 BC ? 平面ABD 时,此时 有最大值,此时最大值为: c a 2 ? c 2 ? 1 .
2 3

另解:B、C 可看成以 A、D 为焦点,以 2a 为 长轴的椭球面上的两点,当 B、C 在以 O 为 圆心,以 a2 ? c2 为半径且垂直 AD 的圆周上 时,三角形 OBC 的高最大,这时三角形 OBC 的面积最大,从而四面体 ABCD 的体积的最 大值。 此时最大值为: c a 2 ? c 2 ? 1 .
2 3

2010 全国大纲卷(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四 点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)
2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD, 交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h , 当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 Vmax ?
4 3 . 3
1 3 1 2 2 3

例 2、如图,在三棱锥 A-BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形, AD 是公共的斜边,且 AD= 3 ,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形 (1) 求证:AD?BC (2) 求二面角 B-AC-D 的大小 (3) 在直线 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30?角?若存在确 定 E 的位置;若不存在,说明理由。

(1) 设 E是所求的点,作 EF? CH 于 F,连 FD。则 EF??AH, ?EF?面 BCD,?EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角, 则?EDF=30?。设 EF=x,易得 AH=HC=1, 则 CF=x,FD= 1+x ,
2

EF 3 x ?tan?EDF= = = 2 FD 3 1+x

2 解得 x= ,则 CE= 2 x=1 2
故线段 AC 上存在 E点,且 CE=1 时, ED 与面 BCD 成 30?角。

例 2: (2010年五校联考) 平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ?? , n ? ? , ,点 A ? m, B ? n, AB 与平面 ? 的夹角 为 , AB ? n, AB 与 m 夹角为 ,求 m, n 的夹角
如图,设 n 在平面 ? 上的投影为 n/ 点B在平面 ? 上的投影为C,C在
n/ 上, n/ 与直线 m 交于点D。由 ? ∥ ? 可知 n ∥ n/ ,由AB⊥ n ,故

? 4

? 3

AB ? n/ , AC ? n/ 所以平面ABC⊥平面ACD

考虑四面体ABCD, 其中 ?BAD ? , ?BAC ? ,
3 4

?

?

设 ?CAD ? ?
cos ?BAD ? cos ? ? cos ?BAC ? sin ? ? sin ?BAC ? cos900
cos

?
3

? cos ? ? cos

?
4

? sin ? ? sin

?
4

? cos 900

cos ? ?

? ? ? 2 ? ? ? ? , m, n 的夹角为 ? ? 2 4 4 2 4

例 2: (2010年五校联考) 平面 ? ∥平面 ? ,直线 m ?? , n ? ? , ,点 A ? m, B ? n, AB 与平面 ? 的夹角 为 , AB ? n, AB 与 m 夹角为 ,求 m, n 的夹角
? 4 ? 3

解:如图: 设平面 ACD=平面 ? , 平面 BFG=平面 ? ,

? m, n 的夹角为 4

2.(2009 清华)四面体 ABCD 中,AB=CD,AC=BD,AD=BC, 求证:这个四面体的每个面都是锐角三角形, 设底面为 BCD,另外三个面与底面所成的二面角为 ? , ? , ? 。 求证 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 。

证明: (1)长方体的长、宽、高分别为
a, b, c AB ? CD ? x, AC ? BD ? y, AD ? BC ? z

因为: z 2 ? y2 ? x2 ? c2 ? b2 ? c2 ? a2 ? (b2 ? a2 ) ? 2c2 ? 0 所以: ?C 为锐角,同理可证其他。

(2)如图:由射影面积公式:
cos ? ? S? BOC S S , cos ? ? ? DOC , cos ? ? ? BOD S? ABC S? ABC S? ABC

所以 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1

例 4: (2008 西北工大)如图,在三棱柱 A-BCD 中, BCD ? 900 ,BC=CD=AB=1, AB ? ?BCD ,E 为 AC ? 中点,F 在线段 AD 上,
AF ?? AD

? 为何值时, ?BEF ? ?ACB

(2)在(1)的条件下,求二面角 E ? CF ? B 的 大小。

证明(1)当 F 为 AD 中点时,EF∥DC, 易证 CD⊥ ?ACB ,故 ?BEF ? ?ACB

(1) 易证 BE⊥平面 ACD,作 EO⊥CF,连接 BO, 则∠EOB 为二面角 E ? CF ? B 的平面角, 在直解三角形EOB中,

直角 ?EFC 中,
EO ? CF ? EC ? EF ? EO ? 6 6

直角 ?BOE 中,
BE ? 2 6 , EO ? , tan ?EOB ? 3 ? ?EOB ? 600 2 6

※ 解析几何问题
1.补充知识 椭圆的焦半径和过焦点的弦长公式:
AF1 ? a ? ex0 , AF2 ? a ? ex0 , AB ? 2a ? e( x1 ? x2 )

参数方程
? x ? x0 ? r cos ? , ? 为参数,r为半径,x0 , y0 ? 为圆心坐标。 圆? ? y ? y0 ? r sin ? ?

? x ? a cos? 椭圆: ? ,? 为参数,a,b分别为长、短半轴长。 ? y ? b sin ? ? x ? a sec? 双曲线: ? ,? 为参数. ? y ? b tan ?

圆锥曲线极坐标方程: ? ?

ep 1 ? e cos ?

过圆锥曲线上一点 ? x0 , y0 ? 的切线方程:将 x2 改为 x0 x , 将 y 2 改为 y0 y ,将 x 改为
x ? x0 y ? y0 ,将 y 改为 , 2 2

2.典型例题

例 1: (012 全国数学竞赛 4 题) 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0 ) . 的焦点为 F, 准线为 l ,A、B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB= .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则
MN AB

? 3

的最大值是

.

x2 y 2 例 2:2012 华约 6.已知 F1 , F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点, a b

点 P 为椭圆右准线上任意一点,若椭圆的离心率为 e ?
? 的取值范围是: A. ?0, ? ? ?
? 6? ? ?? B. ?0, ? ? 4? ? ?? C. ?0, ? ? 3?

2 ,则 ?F1PF2 2 ? ?? D. ?0, ? ? 2?

a2 解:作过 F1 , F2 两点且与右准线 x ? 相切于 P 点的圆 M,由平面几何 c

知识得:这时 ?F1PF2 最大
a2 MF1 ? MF2 ? MP ? c
sin ?OMF2 ? 1 ? ? ? ?OMF2 ? ? ?F1 PF2 ? 2 6 3

1 ? ?F1 PF2 ? ?F1MF2 ? ,又 ?F1PF2 最小值为 0,所以选 A 2 6

2 , 2 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? MF MF 左焦点为 F ? ?1,0? 的椭圆 C 上, 已知 PF 与 PQ 共线, 与 FN 共线,

例 3:2012 华约 13) ( .已知 P, Q, M , N 都在中心为原点, 离心率为 e ?

??? ? ? PF ? 0

(1)求椭圆方程; (2)试用直线 PQ 的斜率 k 表示四边形 PMQN 的面积S,求S的最小值。

2 x2 解:(1)因为: e ? , c ? 1 ? a ? 2 ? ? y 2 ? 1 2 2

? y ? k ? x ? 1? ? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 (2) ? 2 ? 2 ?x ? 2 y ? 2 ?
2 2 2 1? k 2 ? 2 2 ?1 ? k ? ? ,同理: MN ?? 2 a 1 ? 2k 2 ? k2

PQ ? 1 ? k 2

?

?
2 2

1 1 (2 2) ?1 ? k ? 1 (2 2) ?1 ? k ? 16 所以 S ? ? PQ ? MN ? ? ? ? ? 2 2 (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 ) 2 2 ? k 2 ? 1 ? 2k 2 2 9 ( ) 2
2 2 2 2

当且仅当 k 2 ? 1 ,等号成立。

y2 (2005 全国卷 II 第 21 题) P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x ? ? 1 上, F 2 ??? ? ???? ? ???? ???? 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 共线,MF 与 FN 共线,且
2

??? ???? ? ? PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

x2 y2 例:.(2007 年全国 1 卷 21 题,12 分)已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别 3 2

为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于 B、D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 A、C 两点, 且 AC⊥BD,垂足为 P。
2 2 x0 y0 ? 1; (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x0,y0) ,证明: + 3 2

(Ⅱ)求四过形 ABCD 的面积的最小值。
解: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 , 由 AC⊥BD 知点 P 在以线段 F1F2
2 2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,

2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 1 ? ? 1。 所以, ? ≤ ? 3 2 2 2 2

对于关于 k 2 的面积函数,方法一将分子、分母同除以 k 2 化成分式函数, 用换元法求值域

1 24(k 2 ? 1)2 k 4 ? 2k 2 ? 1 S ? ? BD ? AC ? = 24 ? 4 2 2 2 (3k ? 2)(2k ? 3) 6k ? 13k 2 ? 6 1 k2 ? 2 ? 2 u?2 1 k = 24 ? ? 24 ? ,(u ? k 2 ? 2 ? 2) 1 6u ? 13 k 6(k 2 ? 2 ) ? 13 k
y ? 24 ? u?2 1 96 ? 4(1 ? ) ? , (u ? 2), 6u ? 13 6u ? 13 25

或 S / ? 24 ?

96 1 ? 0(u ? 2), 所以 S 在定义域单调递增,所以 S ? 25 (6u ? 13)2

例 4.(2007 武汉大学自主招生: )如图,过抛物线 C: y 2 ? 8x 上一定 点 P ?2,4? 作倾斜角互补的两条直线分别交 抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )两点。 (I)求直线 AB 的斜率 (II)如果 A、B 两点均在抛物线 C: y 2 ? 8x ? y ? 0? 上求 ?PAB 面积的最大值。
O y P x

A B

解: (I)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB ,
kPA ?
8 y1 ? 4 8 ? y1 ? 4? 8 ,同理 kPB ? ? 2 ? y2 ? 4 x1 ? 2 y ? 16 y1 ? 4

由 PA,PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB ,即 y1 ? y2 ? ?8
k AB ? y2 ? y1 8 ? ? ?1 , 2 2 y2 y1 y2 ? y1 ? 8 8

(II)设 lAB : y ? ?x ? b ,P 到直线 AB 的距离为 d ?

6?b 2

将 y ? ? x ? b 代人 y 2 ? 8x 整理得: x2 ? 2 ?b ? 4? x ? b2 ? 0 故 AB ? 1 ? ? ?1?
2

4 ? b ? 4 ? ? 4b2 ? 8 b ? 2
2

6?b 1 S?PAB ? ? 8 b ? 2 ? ? 2 2 ? b3 ? 10b2 ? 12b ? 72 2 2

令 f ?b? ? b3 ?10b2 ?12b ? 72, f / ?b? ? 3b2 ? 20b ?12 ? ?3b ? 2??b ? 6? 因为 y ? 0 ? b ? 0 ,所以 f ? b ? 在 ? ??,0? 单调递增, 所以 ?PAB 面积的最大值为 2 2 ? 72 ? 24

例 5: (2011 华约) 双曲线是左、右焦点,P 是右支上的一点, 且 ?F1PF2 ? , S? F PF ? 3 3a 2 。
3
1 2

?

(1)求离心率 (2)A 为双曲线左顶点,Q 为右支上任意一点, 是否存在常数 ? 使 ?QAF2 ? ??QF2 A 恒成立

解:双曲线焦点三角形面积 b 2 cot ? ,

1 2 1 椭圆焦点三角形面积 b 2 tan ? , 2

b2 ? 3a 2 ? e ? 2

x2 y 2 双曲线方程: 2 ? 2 ? 1 a 3a

(2)当 QF2 ? x 轴时, Q ? 2a,3a ? , ?QAF2 为等腰直解三角形,所以 ?QAF2 ? ?QF2 A
1 2

下面证明 ? ? ,双曲线参数方程 ? 2
Q a sec ? , 3a tan ? , tan ?QF2 A ? ? tan ?QAF2 ? ? 3a tan ? 3 tan ? ? a sec ? ? a sec ? ? 1
2?

1

? x ? a sec ? ,令 ? y ? b tan ?

?

?

3a tan ? 3 tan ? ? a sec ? ? 2a 2 ? sec ?

3 tan ? 2 3 tan ? ? sec ? ? 1? sec ? ? 1 tan 2?QAF2 ? ? 2 2 3 tan ? 2 (sec ? ? 1) ? 3 tan ? 1? ( ) sec ? ? 1 2 3 tan ? ? sec ? ? 1? 3 tan ? ? ? ? tan ?QF2 A ?2sec 2 ? ? 2sec ? ? 4 2 ? sec ?



平面向量,复数
1.补充知识
z 3 ? 1 的三个根是 1, ?, ? ,

??

?1 ? 3i ?1 ? 3i ,? ? ,1 ? ? ? ? 2 ? 0, ? 2 ? ?, ? ? ? ? ?1 2 2

以 Z1 为圆心, r 半径为的圆的方程: z ? z1 ? r ? r ? 0?
z ? r (cos? ? i sin ? ), r ? 0 称之为复数的三角形式,

r 为模, ? 为复角, ? ??0, 2? ? 称为复角的主值。
z1 ? z2 ? r1 (cos?1 ? i sin?1 ) ? r2 (cos?2 ? i sin?2 ) ? rr2 ?cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 ? ?2 )? 1
z1 r1 (cos?1 ? i sin ?1 ) r1 ? ? ?cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 )? z2 r2 (cos?2 ? i sin ?2 ) r2

若复数 z ? r (cos? ? i sin ? ), r ? 0 它的 n 次方根是以下 n 个复数
n

r (cos

? ? 2 k?
n

? i sin

? ? 2 k?
n

), (k ? 0,1,? n ? 1)

例 1:在复平面内,复数 z 满足 arg ? z ? 3? ? 450 ,
1 则 的最大值 z ? 6 ? z ? 3i

例 2: (2011 卓越联盟) i 为虚数的单位,设复数 z 满足
z ? 1, 则
z2 ? 2z ? 2 z ?1? i

的最大值(



z 2 ? 2 z ? 2 z 2 ? 2 z ? 1 ? 1 ( z ? 1)2 ? 1 ? ? z ?1 ? i z ?1 ? i z ?1 ? i
( z ? 1 ? i )( z ? 1 ? i ) ? ? z ? 1 ? i ? z ? (1 ? i ) z ?1? i

z 2 ? 2z ? 2 的最大值为 z ?1 ? i

2 ?1

例 2: (2006 清华)求最小整数 n ,使得 z ? ? ? 并求出 z

?1 1 ? i ? 为纯虚数, ?2 2 3 ?

n

? 1 ? ? ? ?? ? 1 ? ? n? n? ? z?? cos ? i sin ? ? ? ? cos ? i sin 解: ? ? ? 6 6 ?? ? 3 ? ? 6 6 ? ? ? 3?
n

n

n? ? cos ?0 ? 3 ? 6 ? n ? 3, z ? i 因为 z 为纯虚数,所以 ? 9 ?sin n? ? 0 ? 6 ?

(2012 卓越联盟)直解三角形 ABC 中, ?A ? 900 , A 为 EF 的中点,
??? ??? ? ? 且 EF 与 BC 夹角为 60 ,BC=4,EF=2,则 BE ? CF ?
0

解:
??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? BE ? CF ? BA ? AE ? CA ? AF ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? BA ? CA ? BA ? AF ? AE ? CA ? AE ? AF ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? AE (CA ? BA) ? AE ? AF ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AE ? CB ? AE ? AF ? 1? 4 ? COS 600 ? 1 ? 1

?

??

?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 或 AE ? CB ? AE ? AF ? 1? 4 ? COS1200 ?1 ? ?3

例: (2004 年湖北卷,13 分)在 Rt△ABC 中,已知 BC= a .若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角θ 取何值时 BP? CQ 的值最大?并求出这个最 大值.
??? ???? ??? ???? ? ? ? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0. ??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 1 ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 ? ? a 2 ? a 2 cos? .

故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同时, BP ? CQ最大.其最大值为 . ) 0

例 6: (2012 全国数学竞赛 1) .设 P 是函数 y ? x ? ( x ? 0) 的图像上任 意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A、B, 则 PA? PB 的值是 .

2 x

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 例 4:(2010 北京大学) 向量 OA与OB 已知夹角, OA ? 2, OB ? 1 ,
??? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? 1 OP ? tOA, OQ ? ?1 ? t ? OB, PQ 在 t 0 时取得最小值,问当 0 ? t0 ? 时, 5

夹角的取值范围
??? ??? ? ? 解:设 OA与OB 的夹角为 ?
??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? PQ ? OQ ? OP ? ?1 ? t ? OB ? tOA

??? 2 ? ??? ??? 2 ? ? ??? 2 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? 2 PQ ? ?1 ? t ? OB ? tOA ? ?1 ? t ? OB ? t OA ? 2t ?1 ? t ? OB ? OA

?

?

? ?1 ? t ? ? 4t 2 ? 2t ?1 ? t ? ? 2 ?1? cos ?
2

??? 2 ? PQ ? ?5 ? 4cos? ? t 2 ? (2 ? 4cos? )t ?1

显然 t0 ?

1 ? 2cos ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, ? ,解得 cos ? ? ? ? ,0 ? ,? ? ? , ? 5 ? 4cos ? ? 5 ? ? 2 ? ?2 3 ?

例:在直角坐标平面中,已知点 P ?1,2?, P2 2,22 , P3 3,23 ,?, Pn n,2n ,其中 n 是正整数,对平 1 面上任一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, A2 为 A1 关于点 P2 的对称点,. , An 为 An?1 .. 关于点 Pn 的对称点. (1)求向量 A0 A2 的坐标; (2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y ? f (x) 的图象,其中 f (x) 是以 3 为 周期的周期函数, 且当 x ? ?0,3? 时,f ( x) ? lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 ?1,4? 上的解析式; (3)对任意偶数 n ,用 n 表示向量 A0 An 的坐标.

? ? ? ?

?

?

解(1)设点 A0 ( x, y) ,A0 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1 (2 ? x,4 ? y), A1 关于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2 (2 ? x,4 ? y) ,所以, A0 A2 ? {2,4}.

(2)因为 A2 (2 ? x,4 ? y) 在函数 f ( x) ? lg x ( x? ? 0,3?) 的图象上, 所以当 x ? 2 ? ? 0 , ?3 时, 4 ? y ? l g 2 x ? , ? ? 即 x ? (?2,1] 时, f ? x ? ? lg( x ? 2) ? 4,

当x ? (1,4] 时, x ? 3? (?2,1] ,f ? x ? 3? ? lg( x ? 3 ? 2) ? 4.
又 f (x) 是以 3 为周期的周期函数,

于是,当x ? (1,4] 时, f ? x? ? lg( x ?1) ? 4.



排列组合、二项式定理,概率统计

1.补充知识
m An ? n ? ? n ? 1??? ? n ? m ? 1? ?

n! ? n ? m ?!

m Cn ??

n! m!? n ? m ?!

例 1: (2003 年江苏、辽宁卷)某城市在中心广场建造一个花圃,花 圃分为 6 个部分(如图).现要栽种 4 种 不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部 分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方 法有 种.(以数字作答)

4 把六个区域按题意合并成四个区域共有 C5 种不同合并方法

四个区域栽种四种不同鲜花共有种
4 5 4 4

4 A4

不同的栽种法

C ? A ? 120

2006全国2卷12题:5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一 名志愿者,则不同的分派方法共有: (A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

解:分两种情况:2、2、1;3、1、1。
1 C52C32 3 C53C2 3 A3 ? 2 A3 ? 150 2 A2 A2

2008 年重庆(16)。 某人有 4 种颜色的灯泡 (每种颜色的灯泡足够多) , 要在如题(16)图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B 1、 C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡 不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装 方法共有 种(用数字作答)

解:在三个侧面的六条对角线中, 取出 2 条对角线,它们的端点装同 一种颜色的灯泡, 和另外的两个端点共组成 4 个位置, 本题转化四个 元素排四个位置的全排列问题

2 六个端点合并成四个共有:C6 ? 6 ? 9种方法

4 9 ? A4 ? 9 ? 24 ? 216

例 2: (2011 全国高中数学联赛第 5 题) 现在安排 7 名同学参加 5 项运动, 要求甲乙两同学不能参加同一个项 目,每个项目都有人参加,每个人只参加一个项目,则满足上述要求 的不同安排方案有多少种?

解:由题意知,满足条件的方案有两种情形:
3 1 (1) 一个项目有 3 人参加: (C7 ? C5 ) ? A55 ? 3600
2 C7 ? C52 (2)有两个项目有两个人参加: ( 2 ? C52 ) ? A55 ? 11400 A2

故满足上述要求的不同安排方案共有 15000 种。

例 6:(2012 华约 11).某公司用十万元投资,如果投资甲项目,根 据市场分析可知,一年可能获利 10%,可能损失 10%,也可能不赚不 赔,这三种情况发生的概率分别为 , , ,如果投资乙项目,一年可 能获利 20%,可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为
? , ? ?? ? ? ? 1?
1 1 1 2 4 4

(1) 如果把十万元投资甲项目,用 ? 表示投资收益(收益=回收资金 -投资资金)求 ? 的概率及分布列。 (2) 若把十万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均 收益,求 ? 取值范围。

解:(1) ? 的可能取值为 1,0,-1
?

1 p
1 2

0
1 4

-1
1 4

E? ?

1 1 1 ? ? 2 4 4

设? 表示十万元投资乙项目的收益,? 的分布列为:
?

2 p
?
1 9 ? ?? ?1 4 16

-2
?

E? ? 2? ? 2? ? 4? ? 2

4? ? 2 ?

例 7: (2010 清华大学等五校联考)甲乙等四人相互传球, ,第一次由 甲传出, 每次传球时, 传球者将球等可能传给另外三个人中的任何一 个人。 (1)经过 2 次传球后,球在甲、乙两人手中概率各是多少? (2) 经过 n 次传球后, 球在甲手中概率记为 Pn , 试求 Pn 与 Pn ?1 的关系,
Pn 的表达式及 lim Pn 的值
n ??

(2)若经过 n ? 1 次传球后,球在甲手中,则必须满足经过 n 次 传球后球一定不在甲手中;因为又从不在甲手中的球传到甲 手中的概率为 ,所以满足 Pn?1 ? ?1 ? Pn ? , P1 ? 0
1 1 1 1 1 所以 Pn?1 ? ? ? ? Pn ? ? , P ? ? ? ? ? 1 4 3? 4? 4
1 3 1 3

4

所以 Pn ? ? (? ) ? (? ) n ?1
1 1 即 Pn ? ?1 ? (? )n?1 ? (n ? 1, 2,?) ? ? 4? 3 ? 1 1 1 所以 lim Pn ? lim ?1 ? (? )n?1 ? ? ? ? n ?? n ?? 4? 3 ?

1 4

1 4

1 3

4


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