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2016高考第一轮复习10.3


一轮复习讲义

二项式定理

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知识网络
计数原理

分类计数原理

分步计数原理
排列的定义 排列、组合

排列
排列数公式

组合的定义
计 数 原 理 组合 组合数公式 组合数性质 二项式

定理

应 用

二项式定理

通项 二项式系数性质

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要点梳理
1.二项式定理

忆一忆知识要点

0 n n-1 r n-r r n n * (a+b)n=Cn a +C1 a b +?+ C a b +?+ C b ( n ∈ N ). n n n

这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做
r (a+b)n 的 二项展开式 ,其中的系数 Cn (r=0,1,2,?,n)叫 r n-r r C 二项式系数 做 .式中的 na b 叫做二项展开式的通项 ,
r n-r r 用 Tr+1 表示,即展开式的第 r+1 项;Tr+1= Cna b .

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n, 即 a 与 b 的指数 的和为 n . (3)字母 a 按 降幂 排列,从第一项开始,次数由 n 逐项 减 1 直到零;字母 b 按 升幂 排列,从第一项起,次数由 零逐项增 1 直到 n.
n 0 n-1 C n . (4)二项式的系数从 Cn ,C1 ,一直到 C , n n

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“ 等距离”的两个二项式系数相
m n m 等,即 Cn =Cn .


n+ 1 (2)增减性与最大值:二项式系数 Cr 时,二 n,当 r< 2 n+ 1 项式系数是递增的; 当 r> 2 时, 二项式系数是递减的.

当 n 是偶数时,中间的一项 C 当 n 是奇数时,中间两项 时取得最大值.

n 2 n

取得最大值. 和

C

n ?1 2 n

C

n ?1 2 n

相等,且同

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要点梳理
(3)各二项式系数的和
n

忆一忆知识要点

0 1 C + C (a+b) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ,即 n n+

n

2 n n Cn +?+Cr n+?+Cn =2 .

二项展开式中, 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式
0 2 4 1 3 5 C + C + C +? = 2n-1 C + C + C +? n n n n n n 系数的和,即 =

.

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[难点正本

疑点清源]

1.二项式的项数与项
n-r r (1)二项式的展开式共有 n+1 项,Cr a b 是第 r+1 项. n n-r r 即 r+1 是项数,Cr a b 是项. n n-r r (2)通项是 Tr+1=Cr a b (r=0,1,2,?,n).其中含有 n

Tr+1,a,b,n,r 五个元素,只要知道其中四个即可求 第五个元素.

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2.二项式系数与展开式项的系数的异同
n r r r 在 Tr+1=Cr a b 中, C n n就是该项的二项式系数,它与 a,


b 的值无关;Tr+1 项的系数指化简后除字母以外的数,如
n r r n r r n r r a=2x,b=3y,Tr+1=Cr · 3 x y ,其中 Cr 3 就是 n2 n2
- - -

Tr+1 项的系数.

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求展开式中的特定项或特 定项的系数
1 ? ? ? x+ ?n 例 1 在二项式? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等 2 x? ? 差数列,求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.

利用已知条件前三项的系数成等差数列求出 n,再用通项 公式求有理项.
n 1 ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1, , n(n-1), 2 8 n 1 ∴2·=1+ n(n-1), 2 8 解

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解得 n=8 或 n=1(不合题意,舍去), ∴Tr+1= C8r x
8? r 2

(

1 24 x

) r ? C8r 2?r x

3 4? r 4

3 当 4- r∈Z 时,Tr+1 为有理项, 4 ∵0≤r≤8 且 r∈Z,∴r=0,4,8 符合要求.
35 1 -2 故有理项有 3 项,分别是 T1=x ,T5= x,T9= x . 8 256
4

∵n=8,∴展开式中共 9 项, 35 中间一项即第 5 项的二项式系数最大且为 T5= x. 8

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探究提高
求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行,化简通 项公式后,令字母的指数符合要求 (求常数项时,指数为零; 求有理项时,指数为整数等),解出项数 r+1,代回通项公式 即可.

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变式训练 1
?3 1 ? ? ? 已知在? x- 3 ?n 的展开式中,第 6 项为常数项. 2 x? ? (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
解 (1)通项为 Tr+1= C r x
n?2r 3 n n?r 3

n - 2r 因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有 =0, 3 即 n=10.

1 r ? r Cn ( ? ) x 2

1 r ?3 (? ) x 2

r

.

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n-2r 1 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 ? 1? 45 2 ? 2 ? ∴所求的系数为 C10 -2 = . 4 ? ? ? ?10-2r∈Z, ? 3 (3)根据通项公式,由题意? ?0≤r≤10, ? ?r∈N. 10-2r 3 令 =k (k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k. 3 2 ∵r∈N,∴k 应为偶数.
∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8.
所以第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项, ? 1? ? 1? ? 1? - 2 ? 2 2 5 5 8 它们分别为 C10 -2? x ,C10?-2? ,C10?-2?8x 2. ? ? ? ? ? ?

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二项式系数和或各项的系 数和的问题
例 2 在(2x-3y)10 的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.

求二项式的系数的和,常用赋值法求解.

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设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*)

各项系数和为 a0+a1+?+a10, 奇数项系数和为 a0+a2+?+ a10,偶数项系数和为 a1+a3+a5+?+a9,x 的奇次项系数和 为 a1+a3+a5+?+a9, x 的偶次项系数和 a0+a2+a4+?+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
1 10 10 (1)二项式系数的和为 C0 10+C10+?+C10=2 .

(2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
0 2 9 (3)奇数项的二项式系数和为 C10 +C10 +?+C10 = 2 , 10 3 9 9 偶数项的二项式系数和为 C1 10+C10+?+C10=2 .

(4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+?+a10=1,



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令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1), 得 a0-a1+a2-a3+?+a10=510,
①+②得 2(a0+a2+?+a10)=1+510, 1+510 ∴奇数项的系数和为 ; 2 ①-②得 2(a1+a3+?+a9)=1-510, 1-510 ∴偶数项的系数和为 . 2 1-510 (5)x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9= ; 2
1+510 x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+?+a10= . 2



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探究提高
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形 如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各 项系数之和, 常用赋值法, 只需令 x=1 即可; 对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 f(x)展开式中各项系 数 之 和 为 f(1) , 奇 数 项 系 数 之 和 为 a0 + a2 + a4 + ? = f?1?+f?-1? f?1?-f?-1? , 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+?= . 2 2

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变式训练 2
已知等式 (x2+2x+2)5= a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+ a9(x+ 1)9+a10(x+1)10,其中 ai(i=0,1,2,?,10)为实常数.
10 10

求:(1) ∑ an 的值;(2) ∑ nan 的值. = =
n 1 n 1



(1)∵(x2+2x+2)5= a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+

1)9+a10(x+1)10, ∴令 x=0,则 a0+a1+a2+?+a9+a10=25=32;
10

(2)∵(x +2x+2) =[1+(x+1)2]5 (x+1)10

令 x=-1,则 a0=1,即 ∑ an=31. =
2 5
n 1

5 1 2 2 4 3 6 4 8 5 = C0 × 1 + C ( x + 1) + C ( x + 1) + C ( x + 1) + C ( x + 1) + C 5 5 5 5 5 5

=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a10(x+1)10,

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0 2 3 ∴a0=C5 ,a1=a3=a5=a7=a9=0,a2=C1 , a = C , a = C 5 4 5 6 5, 5 a8=C4 , a = C 5 10 5.
10

∴∑ nan=a1+2a2+3a3+?+10a10 =
n 1 2 3 4 5 =2C1 5+4C5+6C5+8C5+10C5 2 5 =10C1 5+10C5+10C5

=50+100+10=160.

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二项式定理的应用
例3 (1)求证:1+2+22+?+25n-1 (n∈N*)能被 31 整除;
2 27 (2)求 S=C1 27+C27+?+C27除以 9 的余数.

将已知式子适当整理化简,再根据题目要求选择合适的二项 展开式求解.
5n 2 -1 2 5n-1 (1)证明 ∵1+2+2 +?+2 = 2-1

=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
n 1 n 1 n 1 n =C0 × 31 + C × 31 + ? + C × 31 + C n n n n-1
- -

n-1 1 n-2 n-1 =31(C0 × 31 + C × 31 + ? + C n n n ),

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n 1 1 n 2 n 1 显然 C0 × 31 + C × 31 + ? + C n n n 为整数,
- - -

∴原式能被 31 整除.
(2)解
2 27 27 9 S=C1 27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 9 1 8 8 9 =(9-1)9-1=C0 9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 8 1 7 8 =9(C0 × 9 - C × 9 + ? + C 9 9 9)-2.
8 1 7 8 ∵C0 × 9 - C × 9 + ? + C 9 9 9是正整数,

∴S 被 9 除的余数为 7.

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探究提高
利用二项式定理解决整除问题时,基本思路是:要证明一个式 子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开 后的各项均能被另一个式子整除即可.因此,一般将被除式化 为含有相关除式的二项式, 然后再展开, 此时常用“配凑法”、 “消去法”结合有关整除知识来处理.

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变式训练 3
求证:(1)32n 2-8n-9 能被 64 整除(n∈N*);


(2)3n>(n+2)· 2n-1 (n∈N*,n>2).
证明 (1)∵32n 2-8n-9=32· 32n-8n-9


=9· 9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9
n 1 n-1 n-1 n =9(C0 8 + C 8 + ? + C · 8 + C 1)-8n-9 n n n n·
-2 2 n-1 =9(8n+C1 +?+Cn 8n+9-8n-9 n8 n 8 )+9· -2 1 n-3 =9×82(8n-2+Cn · 8 +?+Cn n )+64n -2 n-3 =64[9(8n-2+C1 +?+Cn n8 n )+n],

显然括号内是正整数,∴原式能被 64 整除.

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(2)利用二项式定理对 3n=(2+1)n 展开证明. 因为 n∈N*,且 n>2,所以 3n=(2+1)n 展开后至少有 4 项.
1 (2+ 1)n= 2n+ C1 2n 1+?+ Cn 2+ 1≥2n+ n· 2n 1+ 2n+ 1>2n n· n ·
- - -

+ n· 2n-1=(n+2)· 2n-1, 故 3n>(n+2)· 2n-1.

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易错警示
混淆二项展开式的项与项数以 及二项式系数与项的系数致误
2 n (14 分)已知( x- 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 x 项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含x 的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
3 2

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审题视角
(1)审条件,构建关于 n 的方程求 n. (2)审要求,可利用“赋值法”求各项系数之和;利用通项公 式确定含 x 的项数;确定系数最大的项数和二项式系数最大 项的项数,再求项.
规范解答 解
4 由题意知,第五项系数为 Cn · (-2)4,
3 2

第三项的系数为 C2 (-2)2, n· 4 C4 · ? - 2 ? 10 n 则有 2 , 2= 1 Cn· ?-2? 化简得 n2-5n-24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去). [2 分]

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(1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)通项公式 Tr+1=Cr ( 8·
8? r ?2r 2

[4 分]

2 r 8-r ? - 2? x) ·
?

?

? ?

x

=Cr (-2)r·x 8· , 8-r 3 令 -2r= ,则 r=1, 2 2
3 2

故展开式中含 x 的项为 T2=-16 x .

3 2

[8 分]

(3)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值
1 r 1 r r r 1 r 1 分别为 Cr · 2 , C · 2 , C 2 , 8 8 8 ·
- - + +

若第 r+1 项的系数绝对值最大, r-1 r-1 r r ? 2 ≤C8 · 2, ?C8 · 则? r+1 r+1 r r ? 2 ≤C8 · 2, ?C8 · 解得 5≤r≤6. [10 分]

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又 T6 的系数为负,∴系数最大的项为 T7=1 792x-11. 由 n=8 知第五项二项式系数最大,此时 T5=1 120x 6.[14 分]


批阅笔记

(1)本题重点考查了二项式的通项公式,二项式系数、项的系 数以及项数和项的有关概念. (2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同;项数和 项的不同. (3)本题的易错点是混淆项与项数,二项式系数和项的系数的 区别.

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方法与技巧
1.通项公式最常用,是解题的基础. 2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化 为二项式来解决,转化的方法通常为集项、配方、因式分 解,集项时要注意结合的合理性和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨 论对 r 的限制; 求有理项时要注意到指数及项数的整数性.
n r 4.性质 1 是组合数公式 Cr = C n n 的再现,性质 2 是从函数的


角度研究二项式系数的单调性, 性质 3 是利用赋值法得出 的二项展开式中所有二项式系数的和.

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方法与技巧
5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时 根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的 一种重要方法. 6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项 数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中 的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数 的性质对条件进行逐个分析,对于与组合数有关的和的问 题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的 逆用.

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失误与防范
1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数 项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来. 2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化,学生易出错. 3.通项公式是第 r+1 项而不是第 r 项.

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例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数. 解法一: ?( x 2 ? 3 x ? 2)5 ? [( x 2 ? 3 x) ? 2]5
2 4 ? ( x 2 ? 3 x)5 ? C1 ( x ? 3 x ) ? 2 ?? 5

2 4 5 5 ?C4 ( x ? 3 x ) ? 2 ? C ? 2 5 5

4 所以x的系数为 C4 5 ? 3 ? 2 ? 240.

【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化 为二项式.
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例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数. 解法二:因为 (x2 十 3x 十 2)5 = (x2 十 3x 十 2)(x2 十 3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2), 所以 (x2 十 3x 十 2)5 展开式的各项是由五个 因式中各选一项相乘后得到的. 则它的一次项只能从五个因式中的一个取 一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.

C ? 3 x ? 2 ? 240 x.
4 5 4

所以x的系数为 240.
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例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数. 解法三: ?( x 2 ? 3 x ? 2)5 ? [( x ? 1)( x ? 2)]5

? ( x ? 1) ( x ? 2)
5

5

所以含x的项为

C x ? C 2 +C ? 1 ? C x ? 2
4 5 5 5 5 5 5 5 4 5

4

= 5 ? 32 x ? 5 ? 16 x ? 240 x .
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【1】 x (1 ? x) ? x (1 ? 2 x) ? x (1 ? 3 x) 展开式中x4 144 的系数是________.
4 2 8 3 12
3 2 1 3 C4 (? x)3 ? x +C8 (2 x )3 ? x 2 +C1 (3 x ) ? x 12

? 144 x 4 . 【2】多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数 是 -120 .
3 2 2 ? C5 (?2 x)3 ? x ? C5 (?2 x)2 ? ?120 x3 .

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2 3 1 ( x ? ? 2) 【 3】 展开式中的常数项是_______. 2 x

?20

1 1 3 3 C x ? C 2 ? C1 ( ?2) ? C3 (?2) ? x
1 3 2 1 2

?20.

( x 2 ? 12 ? 2)3? ( x ? 1 )6 x x

Tr +1 = (?1) C x
r r 6

6? 2 r

? (?1) C ? ?20.
3 3 6

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2 3 4 5 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 【 4】

-20 的展开式中x2 的系数是_________. ( x ? 1)[1 ? ( x ? 1)5 ] ( x ? 1) ? ( x ? 1)6 原式 ? ? . 1 ? ( x ? 1) x

在(x-1)6的展开式中,含有x3项的系数为

? C ? ?20.
3 6

? C ? ( ?1)C ? ( ?1) C ? ( ?1) C
0 2 1 3 2 2 4 3

3 5

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【5】三项式转化为二项式
8 1 1 107 ( x ?1? ) 展开式中的常数项为__________. x ( x ? 1 ? 1 )8 ? [( x ? 1 ) ? 1]8 x x 1 )8 ? C1 ( x ? 1 )7 ? ? ? C7 ( x ? 1 ) ? C8 ? C0 ( x ? 8 8 8 8 x x x

再利用二项式定理逐项分析常数项得
4 2 3 4 2 6 1 8 C0 C ? C C ? C C ? C C ? C 8 8 8 6 8 4 8 2 8 =1107.

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6 5 【 6】 ( x ? 1) (2 x ? 1) 的展开式中 x6 项的系数.

解: ( x ? 1) 的通项是 C ( x )
6
r 6
6 5

6? r

?C x ,
r 6

6? r 2

s s (2 x )5? s ( ?1) s ? C5 ( ?1) s 25? s x 5? s . (2 x ? 1)5 的通项是 C5

( x ? 1) (2 x ? 1) 的通项是 C C ( ?1) 2
r 6 s 5 s

5? s

x

16? r ? 2 s 2

.

由题意知 16 ? r ? 2s ? 6, 2

【点评】 对于较为复杂的二项式与二项式 1 2 4 0 2 3 0 4 0 5 ? C C ( ? 1) ? 2 ? ?640. C C6 (?1) ? 2 ?C5C6 (?1) ? 2 5 6 乘积,利用两个通项之积比较方便运算.
2 5

r ? 0, r ? 2, s ? 2; s ? 1; 所以 x6 的系数为:
解得

? r ? 2s ? 4,(r ? 0,?,6, s ? 0,?,5)

?

?

?

r ? 4, s ? 0.

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例2.已知 (3 x ? 1)7 ? a0 x 7 ? a1 x 6 ? ? ? a6 x ? a7 .

解:设 f ( x) ? (3 x ? 1) ,
7

求(1)a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (2)a0 ? a2 ? a4 ? a6 ; (3) | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ?? | a7 | .
f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 , f (?1) ? ?a0 ? a 1 ?a2 ? a3 ? ? ? a7 ,

① ②

? 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? f (1) ? f (?1) ? 27 ? 47

(1) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? 26 ? 213 ? ?8128.
f (1) ? f (?1) (2)a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? 8256; 2
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例2.已知 (3 x ? 1) ? a0 x ? a1 x ? ? ? a6 x ? a7 .
7 7 6

(3) | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ?? | a7 | . (3)因为 a1 , a3 , a5 , a7 是负数,

? | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ?? | a7 |

? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7
? ?(?a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 )
? ? f (?1) ? ?(?4) ? 4 .
7 7

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1.设(2 x ? 3 )3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 . 求 : ? a0 ? a2 ? ? ? a1 ? a3 ? 的值.
2 2

(a0 ? a1 ? a2 ? a3 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 )

?1

2.在二项式(x -1)11的展开式中,求系数最小的 项的系数.

? C ? ?462
最大的系数呢? C ? 462.
6 11

5 11

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【3】求(2x2-1)n的展开式中各项的系数和.
解:设 (2 x ? 1) ? a 0 x ? a1 x
2 n 2n 2( n?1)

? ? ? an ,

展开式各项系数和为 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an .

∵上式是恒等式,所以当且仅当 x = 1 时,

(2 ? 1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ?? an ,
n

? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? (2 ? 1) ? 1.
n

【点评】求展开式中各项系数和常用赋值法:令二 项式中的字母为1.
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n 例3.近似计算: |x|<1时, (1 ? x) ? 1 ? nx.

例3.计算 1.997 (精确到0.001).
1.997 ? (2 ? 0.003)
5
0 5 5 1 5

5

5
2 5 3 2

? C 2 ? C 2 (?0.003) ? C 2 (?0.003) ? ?
4

? 32 ? 0.24 ? 0.00072

? 31.761.
【点评】要注意误差绝对值应小于精确度的 一半,否则应该加项.
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整除性的证明、求余数. 55 例4. 用二项式定理证明 55 ? 9 能被8整除.
解: 5555 ? 9 ? (56 ? 1)55 ? 9
55 ? 56 ? C 56 ? C 56 ? ? ?C54 55 56 ? C55 ? 9 55 1 55 54 2 55 53

? (56 ? C 56 ? C 56 ? ?? C 56) ? 8
55 1 55 54 2 55 53 54 55

?(56 ? C 56 ? ? ? C 56)能被8整除,
55 1 55 54 54 55

? 55 ? 9 能被8整除.
55

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【1】如果今天是星期一,那么对于任意自 然数n,经过23n+3+ 7n+5天后的那一天是星期 几? 23 n? 3 ? 7n ? 5 ? (7 ? 1)n?1 ? 7n ? 5
?7
n?1

?C

1 n+1

7 ? ?? C
n

n n+1

7 ? 1 ?7 n ? 5 ? n) ? 6

? 7(7 ? C
n

1 n+1

7

n?1

? ?? C

n n+1

所以 23n+3+7n+5被7除所得余数为6 , 所以对于任意自然数 n,经过23n+3+7n+5后的一 天是星期日.
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【2】求证 32n? 2 ? 8n ? 9(n ? N? ) 能被64整除.
证明:∵ 32n?2 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9
2 2 n n n?1 = (1 ? 8C1 ) ? 8n ? 9 n?1 ? 8 Cn?1 ? ? ? 8 Cn?1 ? 8 n n n?1 = 82 C2 ? ? ? 8 C ? 8 n?1 n?1 n ?2 n n?1 = 82 (C2 ? ? ? 8 C ? 8 ) n?1 n?1

所以多项式展开后的各项含有 8 2 , ∴ 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除.

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2 n (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x ) ? a0 ? a1 x 【1】已知

?a2 x2 ? ? ? an xn 且 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? 509 ? n, 则自

8 然数n的值为____.
a0 ? a1 ? ? ? an ? 2 ? 22 ? ? ? 2n? 2n?1 ? 2
a0 ? n, an ? 1 ? 2n?1 ? 512 ? n ? 1 ? 9

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-15120 【2】(x+3y-z)8中含x2y3z3的项的系数是_________.
2 2 3 3 C8 x ? C6 (3 y )3 ? C3 ( ? z )3 = ?15120 x 2 y 3 z 3 .
先找 3 [( x + 3 y ) ? z ]8 ??? ? C8 ( x ? 3 y )5 (? z )3

【3】已知(10+xlgx)5的展开式中第 4 项为106 ,则x
1 10 或 的值是________. 10
3 T3+1 = C5 ? 102 ? ( x lg x )3 ? 106 ? ( x lg x )3 ? 103 ? x lg x ? 10 ? (lg x )2 ? 1 ? lg x ? ?1

再找 3 3 2 ??? ? C8 ( ? z )3 C5 x (3 y )3

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2 n (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x ) ? a0 ? a1 x 【4】已知

?a2 x ? ? ? an x 且 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? 509 ? n, 则自
2 n

8 然数n的值为____.

a0 ? a1 ? ? ? an ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 a0 ? n, an ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 1 ? 509 ? n, n ?1 ? 2 ? 512 ? n ? 1 ? 9
2 n

n ?1

?2

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4 2r 2 n 的值为22 n?1 ? 1. 5. C2 2n ? C2n ? ?C2n ? ? ? C2n

1 2 2 3 3 2n 2n (1 ? x)2n ? C0 ? C ? x ? C x ? C x ? ? ? C 2n 2n 2n 2n 2n x .

1 2 2 n?1 2n 2n 令x=1得 C0 ? C ? C ? ? ? C ? C ? 2 ; 2n 2n 2n 2n 2n
1 2 r r 2n?1 2n 令x=-1得 C0 ? C ? C ? ? ? ( ? 1) C ? ? ? C ? C 2n 2n 2n 2n 2n 2n ? 0.

两式相加,得

C ? C ? C ? ? ? C ? 2 ? 22n?1, 2
0 2n 2 2n 4 2n 2n 2n

2n

4 2n 2n?1 ? C2 ? C ? ? ? C ? 2 ? 1. 2n 2n 2n

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走进高考

【1】 (07 江西)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2) +a2(x+2)2+…+a11(x+2)11, 则 a0+a1+a2+…+a11的值 -2 为 .
2.设(2 x ? 3 )3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 . -1 . 则(a0 ? a2 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? _______

(a0 ? a1 ? a2 ? a3 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 )
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《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表


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在国外,这个表被称为帕斯卡三角。认为 是法国数学家帕斯卡在 17 世纪最早发现这一规 律的。而在我国,南宋数学家杨辉 1261 年所著 的《详解九章算法》中就不仅有了这个的图表, 还清楚地写着‘贾宪用此术’。贾宪是我国 11 世纪的数学家,这就是说,杨辉三角的发现要 比欧洲早五百年,也说明了古代中华民族就在 数学上有着辉煌的成就。但是,杨辉,贾宪的 成就只有《详解九章算法》中有记载而此书早 已失传,仅在《永乐大典》中抄录了部分内容, 这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。
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《永乐大典》是极其珍贵的国宝, 然而 1900 年,八年联军侵占北京,把翰林院中的 《永乐大典》残本掠走,运往英国。后来, 中国数学家李俨的外国朋友在英国见到《永 乐大典》残本,拍下了记载‘杨辉三角’内 容的文字,并把照片寄给李俨,这段历史才 得以证实,我们今天的数学课本中也才能堂 堂正正地写上‘杨辉三角’。但是可惜的是, 《永乐大典》的残本至今未能回到祖国的怀 抱。

杨辉风流贾宪骄,千年轶事话前朝。 永乐大典今何在,举头西望何时归。
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