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2.1.4 两条直线的交点


1.4 两条直线的交点

1.会利用两直线的方程判断两直线是否相交. 2.会求两相交直线的交点坐标.

二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解,无 解,无穷多解),同时在直角坐标系中两条直线的位置关

系也有三种情况(相交,平行,重合),下面我们通过
二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的 位置

关系。

判断两条直线的位置关系有以下结论:
L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 (k1,k2均存在)
平行 K1=K2且b1≠b2 K1=K2且b1=b2 K1≠K2 K1k2=-1

L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0 (A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0)

重合 相交 垂直

A1 = A2 A1 = A2

B1 C1 B2 C2 B1 C1 = B2 C2

A1 B ? 1 A2 B2

A1 A2 + B1B2 = 0

我们知道,平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应,即直线上的点的坐标是这个方程的解,反之亦 成立.那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系,如果有,是什么关系?

设两条直线方程为: L1: A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点

的坐标一定是这个方程组的公共解;反之,如果这两个二元
一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直 线 l 和 l 的交点. 2 1 思考:若方程组没有公共解呢,两直线应是什么位置关系?

据此,我们有 A1x+B1y+C1=0 的解 A2x+B2y+C2=0 一组 无数组 无解

方程组

两条直线L1,L2的公共点

一个

无数个

零个

直线L1,L2间的位置关系

相交

重合

平行

在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图象

l1 : x + y = 2

l2 : x - y = 0
y

l1 : x ? y ? 2

2

l2 : x ? y ? 0
P ( a, b)
0

2

x

思考:两直线是什么位置关系?如何求其交点的坐标? 相交,求交点的坐标就是求方程组的解

例1.求下列两条直线的交点

l : x + 2 y + 1= 0
1

l

2

:- x + 2y + 2 = 0

解:

ì x + 2y + 1= 0 ? ? 解方程组 í ? ? ? - x + 2y + 2 = 0

ì 1 ? ? x = ? ? 2 í ? 3 ? y = ? ? 4 ? ?

所以,这两条直线的交点是

1 3 ( ,- ) 2 4

.

思考: 点(1、—1)在直线L1上吗?在直线L2上吗?

练习:
求下列两条直线的交点: ( 1) l1 : x - y = 5 (2) l1 : y =

l2 : 2 x + 7 = 0 l2 : y = 3x + 7
(2) (-2,1)

1 x+ 2 2

答案: (1) (-

7 17 ,) 2 2

例2.设三条直线

l : x + y - 1= 0, l 2 : kx 1

2 y + 3 = 0,

l

3

: x - (k + 1) y - 5 = 0.

若这三条直线交于一点,求

k 的值.

ì ? ? x= ? ì x + y 1 = 0 ? ? ? 解:解由 ? 组成的方程组,得 í í ? ? kx 2 y + 3 = 0 ? ? ? y= ? ? ? ?
- 1 3+ k , ) 所以, l1 与 l2 的交点是 ( 2+ k 2+ k

- 1 2+ k 3+ k (k ? 2+ k

2)

又因为 l1 , l2 , l3 交于一点,即交点坐标满足直线 l3 的方程,

- 1 3+ k - (k + 1) - 5= 0 2+ k 2+ k
解得 k = - 7 , k = - 2 (舍去) ,所以 k = - 7 .

练习:
1. 三条直线 ax + 2 y + 8 = 0 , 4 x + 3 y - 10 = 0 与

2 x - y - 10 = 0 相交于一点,则实数 a =

-1

2.若点(2,1)是直线 l : Ax + 4 y - 2 = 0 与
1

直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点,则 A+B=
2

- 7

1. 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标 (1) l1 : 3x - 2 y = 7 (2) l1 : 2 x - 6 y + 5 = 0 (3) l1 : ( 2 - 1) x + y = 3

l2 : 7 x + y = 1
1 l2 : y = ( x + 1) 3

l2 : x + (1-

2) y = 2

答案:(1) 相交 交点坐标为 (
(3) 垂直 交点坐标为 (

9 46 ,) . (2) 平行 17 17

5 2 + 4 6+ 2 , ) 4 4

求两直线交点坐标的步骤:

首先判断两直线是否平行,若不平行,再解方程组求
其交点坐标.

不为失败找理由,要为成功找方法。


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