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【学案与评测】2012高考数学总复习 第三单元 三角函数、解三角形(解析版)考点演练 理 北师大版


第三单元

三角函数、 解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的 三角函数

1. 以下命题正确的是( ) A. 小于 90°的角是锐角 B. A={α |α =k?180°,k∈Z},B={β |β =k?90°,k∈Z},则 A?B C. -950°12′是第三象限角 D. α ,β 终边相同,则 α =β 2 2. (创新题)若 α

=π ,则 α 的终边落在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.圆弧长度等于其圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为 ( ) π 2 A. B. π C. 3 D. 2 3 3 4. 已知 α 是第二象限的角,其终边上一点为 P(a, 5),且 cos α = 等于( 10 A. 4 ) B. 6 4 C. 2 4 D. 1 4 2 a,则 sin α 的值 4

2π 2 2 5. (2011?山东滨州模拟)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 弧长到 3 达 Q 点,则 Q 点的坐标为( ) 3? 3 1? 3? 3 1? ? 1 ? ? 1 ? A. ?- , ? B. ?- ,- ? C. ?- ,- ? D. ?- , ? 2 2 ? 2 2? 2 2? 2 2? ? ? ? ? 6. 已知 θ ∈[0,2π ),|cos θ |<|sin θ |,且 sin θ <tan θ ,则 θ 的取值范围是( ) 3 π? ? 3π ? ? ? ? A. (0,π )∪? π ,2π ? B. ?0, ?∪?π , ? 2? ? 2 ? ?2 ? ? π π ? ?5π 3π ? π 3π ? ?5π 3π ? ? ? , ? C. ? , ?∪? , ? D. ? , ?∪? 2 ? 4 ? ? 4 2 ? ?4 2? ? 4 ?2 7. (2010?烟台高三测试)已知点 P(tan α , α )在第三象限, cos 则角 α 的终边在第________ 象限. 1 8. 函数 y= 的定义域为________. 1-tan 2x 9. (创新题)在直角坐标系中, 是原点, ( 3, O A -1), 将点 A 绕 O 逆时针旋转 450°到 B 点, 则点 B 的坐标为________. 10. 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,求这个圆心角所对的弧长. 第二节 同角三角函数关系式与诱导公式 2sin α -cos α 1. 若 tan α =2,则 的值为( ) sin α +2cos α 3 5 A. 0 B. C. 1 D. 4 4 2. tan 300°+sin 450°的值为( ) A. 1+ 3 B. 1- 3 C. -1- 3 sin? nπ +α ? 3. n 为整数,化简 所得的结果是( ) cos? nπ +α ? A. tan nα B. -tan nα C. tan α
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D. -1+ 3

D. -tan α
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? π? 4. 已知 tan x=sin?x+ ?,则 sin x=( 2? ?
A. -1± 5 2 B. 3+1 2

) C. 5-1 2 ) D. 3-1 2

3 π ?π ? 5. 已知 cos? +φ ?= ,且|φ |< ,则 tan φ 等于( 2 ?2 ? 2 A. -

3 3 B. C. - 3 D. 3 3 3 6. 已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m)(m≠0),则 2sin α +cos α 的值为( ) 2 2 2 2 A. 1 或-1 B. 或- C. 1 或- D. 5 5 5 5 1 7. (2010?全国)已知 α 是第二象限的角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 π? 1 π ? ? ? 8. (2010?广州模拟)已知 sin?α - ?= ,则 cos? +α ?=________. 4? 3 ? ?4 ? 2 2 2 2 9. sin 1°+sin 2°+sin 3°+?+sin 89°=________. 1 ?π π ? 10. 若 sin θ cos θ = ,θ ∈? , ?,则 cos θ -sin θ 的值为________. 8 ?4 2? 1 1 11. (2011?东营高三检测)已知 sin α +cos α = ,α ∈(0,π ),求 的值. 5 tan α 12. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,tan C=3 7. (1)求 cos C; → → 5 (2)若CB?CA= ,且 a+b=9,求 c. 2 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 4 1. (2011?银川模拟)已知 sin θ = ,且 sin θ -cos θ >1,则 sin 2θ =( ) 5 24 12 4 24 A. - B. - C. - D. 25 25 5 25 ?π ? 2. 若 tan? -α ?=3,则 tan α 等于( ) 4 ? ? 1 1 A. -2 B. - C. D. 2 2 2 3?π 1 ? 3. (2010?山东威海模拟)设 sin α = ? <α <π ?,tan(π -β )= ,则 tan(α -2β ) 2 5? 2 ? =( ) 24 7 24 7 A. - B. - C. D. 7 24 7 24 2 (sin 56°-cos 56°),b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°,c= 2 2 1-tan 40°30′ 1 2 ,d= (cos 80°-2cos 50°+1),则 a,b,c,d 的大小关系为( ) 2 1+tan 40°30′ 2 A. a>b>d>c B. b>a>d>c C. d>a>b>c D. c>a>d>b π? ? ? ? 5. (2010?济宁模拟)已知向量 a=?sin?α + ?,1?,b=(4,4cos α - 3),若 a⊥b, 6? ? ? ? 4π ? ? 则 sin?α + ?等于( ) 3 ? ? 4. 设 a=
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A. -

3 4

1 B. - 4

C.

3 4

D.

1 4

α 1+tan 2 4 6. (2010?全国)若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 =( ) 5 α 1-tan 2 1 1 A. - B. C. 2 D. -2 2 2 4 7. (2010?全国)已知 α 是第二象限的角,tan(π +2α )=- ,则 tan α =________. 3 π π 8. sin - 3cos =________. 12 12 1 π 3π 9. 已知 sin θ +cos θ = ,且 ≤θ ≤ ,则 cos 2θ 的值是______. 5 2 4 1 3 10. 若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β =________. 5 5 3 ? 4 1 ? ?π ? 11. (2010?四川改编)已知 cos α =- ,α ∈?π , π ?,tan β =- ,β ∈? ,π ?, 2 ? 5 3 ? ?2 ? 求 cos(α +β ). 12. (2010?山东潍坊模拟)化简下列各式: ?π ? ?π ? (1) 2sin? -x?+ 6cos? -x?; ?4 ? ?4 ? 2 2cos α -1 (2) ?π ? 2?π ? 2tan? -α ?sin ? +α ? 4 4 ? ? ? ? 第四节 简单的三角恒等变换 1 1. 若 sin 2θ = ,则 tan θ +cot θ 的值是( ) 4 A. -8 B. 8 C. ±8 D. 2 2 2. (2010?聊城模拟)化简 2+cos 2-sin 1的结果是( ) A. -cos 1 B. cos 1 C. 3cos 1 D. - 3cos 1 π π? π? 4 ? ? ? ? 3. 如果 α ∈? ,π ?,且 sin α = ,那么 sin?α + ?+cos?α + ?等于( ) 4? 4? 5 ?2 ? ? ? A. 4 2 5 4 2 B. - 5 C. 3 2 5 3 2 D. - 5

x 1 4. 若 tan = ,则 cos x 的值为( ) 2 2 4 3 4 3 A. B. C. - D. - 5 5 5 5 1 1 5. 已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且 α 、β ∈(0,π ),则 2α -β =( ) 2 7 π 3π π 5π A. B. - 、 、 4 4 4 4 3π π 5π C. - D. 、 4 4 4 6. (2011?江西六校联考)平面直角坐标系中,点(3,t)和(2t,4)分别在顶点为原点,始 边为 x 轴的非负半轴的角 α ,α +45°的终边上,则 t 的值为( ) A. ±6 或±1 B. 6 或 1 C. 6 D.1
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1 π 3π 7. 已知 sin θ +cos θ = ,且 ≤θ ≤ ,则 cos 2θ =________. 5 2 4 1 3 8. 若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 sin 2α ?sin 2β =________. 5 5 9. 若锐角 α 、β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =____. 10. cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°=________. ?π θ ? 11. 若 tan? - ?=2,求 2cos θ +sin θ 的值. ?4 2? 12. (2010?天津改编)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1(x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期; 6 ?π π ? (2)若 f(x0)= ,x0∈? , ?,求 cos 2x0 的值. 5 ?4 2? 第五节 三角函数的图像与性质 1. (2010?陕西)对于函数 f(x)=2sin xcos x,下列选项中正确的是( ) π π? ? A. f(x)在? , ?上是递增的 B. f(x)的图像关于原点对称 ?4 2? C. f(x)的最小正周期为 2π D. f(x)的最大值为 2 2. (2010?江苏南通模拟)函数 y=1+cos x 的图像( ) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 π C. 关于原点对称 D. 关于直线 x= 对称 2 2 3. 函数 y=(sin x+cos x) +1 的最小正周期是( ) π 3π A. B. π C. D. 2π 2 2 2 4. 已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin x,x∈R,则 f(x)是( ) A. 最小正周期为 π 的奇函数 B. 最小正周期为 π 的偶函数 π π C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 2 2 ? π? 5. (2010?辽宁抚顺模拟)y=sin?x- ?的图像的一个对称中心是( ) 4? ? ? 3π ? ?3π ? ?π ? A. (-π ,0) B. ?- ,0? C. ? ,0? D. ? ,0? 4 4 ? ? ? ? ?2 ? π ? ? 6. (2010?广东汕头模拟)函数 y=2sin? -2x?(x∈[0,π ])为增函数的区间是( ) ?6 ? ? π? ?π 7π ? ?π 5π ? ?5π ? A. ?0, ? B. ? , ? C. ? , ? D. ? ,π ? 3? 6 ? ? ?12 12 ? ?3 ? 6 ? 1 7. 函数 y= 的定义域是________. 1+tan x 8. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 π ,且当 ? π? ?5π ? x∈?0, ?时,f(x)=sin x,则 f? ?的值为________. 2? ? ? 3 ? π π 9. 当- ≤x≤ 时,函数 f(x)=sin(x-2π )+ 3cos(2π -x)的最大值与最小值分别 2 2 是________. 10. 已知函数 f(x)=cos xsin x,给出下列四个说法:①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=- ? π π? x2;②f(x)的最小正周期是 2π ;③f(x)在区间?- , ?上是增函数;④f(x)的图像关于直 ? 4 4?
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3π 线 x= 对称.其中真命题是________. 4 2 11. (2010?湖南)已知函数 f(x)=sin 2x-2sin x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. 12. (2010?广东)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ )(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ <π )在 x π = 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; π ? 12 ?2 (3)若 f? α + ?= ,求 sin α . 12? 5 ?3 第六节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及三角函数模型的简单应用 1. 已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如图,

那么 ω =( A. 1

) B. 2 C. 1 2 D. 1 3

(

?1 π ? 2. 由 y=sin x 的图像变换出 y=sin? x- ?的图像,下列指令中: 4? ?3 π ①先向左平移 个单位,然后再将横坐标伸长为原来的 3 倍(纵坐标不变); 4 π 1 ②先向右平移 个单位,然后将横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变); 4 3 3π ③先将横坐标伸长为原来的 3 倍(纵坐标不变),然后将整个图像向右平移 个单位; 4 π ④先将整个图像向右平移 个单位,然后再将横坐标伸长为原来的 3 倍(纵坐标不变). 4 正确的操作指令有( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③④ ? π? 3. 要得到函数 y=sin x 的图像,只需将函数 y=cos?x- ?的图像( ) 3? ? π π A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 6 3 π π C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 3 6 4. 如图为 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )的图像的一段,则其解析式为 )

? π? A. y= 3sin?x- ? 3? ?

2 ? ? B. y= 3sin?2x- π ? 3 ? ?

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π? ? D. y= 3sin?2x- ? 3? ? π 5. 将函数 y=sin 2x 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的函数 4 解析式是( ) 2 A. y=cos 2x B. y=2cos x π? ? 2 C. y=1+sin?2x+ ? D. y=2sin x 4? ? 6. 已知函数 y=2sin(ω x+θ )为偶函数(0<θ <π ), 其图像与直线 y=2 的交点的横坐标 为 x1、x2,若|x1-x2|的最小值为 π ,则( ) π 1 π A. ω =2,θ = B. ω = ,θ = 2 2 2 1 π π C. ω = ,θ = D. ω =2,θ = 2 4 4 ?25π ?=________. 2 7. (2010?东营模拟)已知函数 f(x)=- 3sin x+sin xcos x,则 f? ? ? 6 ? 8. 如 图 所 示 为 函 数 y = Asin(ω x + φ ) 的 图 像 上 的 一 段 , 则 这 个 函 数 的 解 析 式 为 ________________. 9. (2010?淄博模拟)下面有五个命题: 4 4 ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 π ; ? ? ? kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是?α ?α = ,k∈Z 2 ? ? ?

π? ? C. y= 3sin?2x+ ? 3? ?

? ? ?; ? ?

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图像和函数 y=x 的图像有三个公共点; π? π ? ④把函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位得到 y=3sin 2x 的图像; 3? 6 ? ? π? ⑤函数 y=sin?x- ?在[0,π ]上是减函数. 2? ? 其中真命题的序号是________. π 10. 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < )的图像与 x 轴的交 2 2π π ? ? 点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图像上一个最低点为 M? ,-2?. 2 ? 3 ? (1)求 f(x)的解析式; ?π π ? (2)当 x∈? , ?时,求 f(x)的值域. ?12 2 ? 2 2 cos x-sin x 1 1 11. (2010?湖北)已知函数 f(x)= ,g(x)= sin 2x- . 2 2 4 (1)函数 f(x)的图像可由函数 g(x)的图像经过怎样的变化得出? (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使 h(x)取得最小值的 x 的集合. 第七节 正弦定理和余弦定理 1. (2010?湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=( ) 6 2 2 6 2 2 A. B. C. - D. - 3 3 3 3

a,则(

2. (2010?湖南)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120°,c= 2 ) A. a>b B. a<b C. a=b D. a 与 b 的大小关系不能确定

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π 3. (2011?杭州模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A= ,a= 3, 3 b=1,则 c 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3-1 D. 3 sin B 4. (2011?德州模拟)在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为( ) sin C 8 5 5 3 A. B. C. D. 5 8 3 5 5. (2010?连云港调研)在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( ) cos A cos B cos C A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 顶角为 120°的等腰三角形 D. 以上均不正确 6. △ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且 cos 2B+3cos(A+C)+2=0,b = 3,则 c∶sin C 等于( ) A. 3∶1 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 2∶1 π 7. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a=1,c= 3,C= ,则 A= 3 ________. 2 8. (2010?东营模拟)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根 且 2cos(A+B)=1,则 AB=________. 9. (2010?广东)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b = 3,A+C=2B,则 sin A=________. 1 10. (2010?聊城一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= 4 2 2 2 (b +c -a ),则 A=________. 5 3 11. (2010?全国Ⅱ)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sin B= ,cos∠ADC= , 13 5 求 AD. 1 12. (2010?浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 第八节 正弦、余弦定理的应用举例

a

b

c

1 2 2 1. (2010?安徽合肥模拟)已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且面积 S△ABC= (b +c - 4 a2),则 A 等于( ) A. 45° B. 30° C. 120° D. 15° 2. (2011?潍坊四县联考)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°, ∠CAB=105°,可以计算出 A、B 两点的距离为( ) A. 50 2 m B. 50 3 m 25 2 C. 25 2 m D. m 2 3. (2011?山东德州模拟)在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一定是 ) A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
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(

C. 直角三角形 D. 等边三角形 4. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40°,灯塔 B 在 观察站的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A. 北偏东 10° B. 北偏西 10° C. 南偏东 10° D. 南偏西 10° 5. 一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个 灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔 在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这只船的 速度是每小时( ) A. 5 海里 B. 5 3 海里 C. 10 海里 D. 10 3 海里 6. (2010?课标全国卷)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2, ∠ADB=135°.若 AC= 2AB,则 BD=______. 7. 如图,为了开凿隧道,要测量隧道上 D、E 间的距离,为此在山的一侧 选取适当点 C,测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,又测得 A、B 两点 到隧道口的距离 AD=80 m,BE=40 m(A、D、E、B 在一条直线上),则隧道 DE 的长是________ m. 8. (改编题)在△ABC 中,若∠B=30°,AB=2 3,AC=2,则△ABC 的面积 S=________. 9. 如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC,小区的两个出入口设置在 点 A 及点 C 处. 小区里有两条笔直的小路 AD、 , DC 且拐弯处的转角为 120°. 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若 此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米). 10. (2011?山东东营模拟)现有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀 速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2海里的位置 B, 26 ? ? 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ ?其中sin θ = ,0°<θ <90°?且与 26 ? ? 点 A 相距 10 13海里的位置 C.求该船的行驶速度(单位:海里/小时). 参 考 答 案 第三单元 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. 解析: 小于 90°的角不一定是锐角, 如负角, 错; A -950°12′=-3?360°+129°48′, ∴-950°12′是第二象限角,C 错;α 与 β 终边相同不一定相等,如 30°与 390°,D 错; B 正确,A 中角终边都在 x 轴上,B 中角终边在坐标轴上. 答案:B 2 2.解析:∵3?π <π =π ?π <3.5π , 2 ∴角 π 的终边落在第三象限,故选 C. 答案:C 3.解析:设圆半径为 r,则圆内接正三角形的边长为 3r,∴θ = 答案:C 4.解析:∵cos α = ∴sin α = 5 3r

r

= 3.

a 2 2 = a,∴ a +5=2 2, 2 a +5 4

5 10 = = . 4 a +5 2 2
2

答案:A 5.解析:记 α =∠POQ,由三角函数的定义可知,Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos α ,y=sin
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α ,故选 A. 答案:A 6.解析:

如图,结合单位圆中的三角函数线,同时满足条件|cos θ |<|sin θ |且 sin θ <tan θ ,由 ?π π ? ?5π 3π ? 图知 θ 的取值范围是? , ?∪? , ?. 2 ? ?4 2? ? 4 答案:C 7.解析:∵点 P(tan α ,cos α )在第三象限,∴tan α <0,且 cos α <0, ∴α 的终边在第二象限. 答案:二

?1-tan 2x≠0, ? π 8.解析:由?2x≠kπ + , 2 ?k∈Z, ?
? ? ? kπ π ?x?x≠ + 2 8 ? ? ?

可得定义域为

且x≠ π + 2 8



? ? π + ,k∈Z?. 2 4 ? ?

答案:?x?x≠
? ?

? ?

? ?



且x≠



? ? π + ,k∈Z? 2 4 ? ?

9.解析:依题意知 OA=OB=2,以 OA 为终边的角为 k?360°-30°,得以 OB 为终边的角为

k?360°+60°,所以 x=2cos 60°=1,y=2sin 60°= 3,即点 B 的坐标为(1, 3).
答案:(1, 3) 10.解析:

如图,∠AOB=2 弧度,过 O 作 OC⊥AB 于 C,并延长 OC 交 AB 于 D,∠AOD=∠BOD=1 弧度, 1 AC 1 且 AC= AB=1,在 Rt△AOC 中,OA= = . 2 sin∠AOC sin 1 2 ∴ AB =R|α |=OA?|α |= . sin 1 第二节 同角三角函数关系式与诱导公式 2sin α -cos α 2tan α -1 4-1 3 1. 解析:∵tan α =2,∴ = = = ,故选 B. sin α +2cos α tan α +2 2+2 4 答案:B 2. 解析:tan 300°+sin 450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)=-tan 60°+sin 90°=- 3+1. 答案:B

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sin? 2kπ +α ? sin α 3. 解析:方法一:当 n=2k(k∈Z)时,原式= = =tan α ; cos? 2kπ +α ? cos α 当 n=2k+1(k∈Z)时, sin? 2kπ +π +α ? sin? π +α ? -sin α 原式= = = =tan α .综上可知,原式=tan α . cos? 2kπ +π +α ? cos? π +α ? -cos α sin? nπ +α ? sin α 方法二:令 n=0,则 = =tan α ,故选 C. cos? nπ +α ? cos α 答案:C ? π? 4. 解析:∵tan x=sin?x+ ?, 2? ? 2 即 tan x=cos x,∴sin x=cos x. 2 2 又∵cos x=1-sin x, 2 ∴sin x+sin x-1=0, 5-1 ∴sin x= . 2 答案:C 5. 解析:由已知 sin φ =- 3 π π ,又|φ |< ,可得 φ =- ,故 tan φ =- 3. 2 2 3

答案:C 6. 解析:①当 m>0 时,点 P 在第二象限,|OP|=5m, 6m -4m 2 有 2sin α +cos α = + = ; 5m 5m 5 ②当 m<0 时,点 P 在第四象限,|OP|=-5m, 6m -4m 2 有 2sin α +cos α = + =- ,故选 B. -5m -5m 5 答案:B 1 4 2 2 7. 解析:由三角函数中同角公式:1+tan α = 2 ,可得 cos α = .因为 α 是第二象 cos α 5 2 限的角,所以 cos α <0,因此 cos α =- 5. 5 2 5 答案:- 5

?π ? 8. 解析:cos? +α ? ?4 ? ?π ?π ?? ?π ? =cos? -? -α ??=sin? -α ? ?? ?4 ? ?2 ?4 π? 1 ? =-sin?α - ?=- . 4? 3 ? 1 答案:- 3 2 2 2 2 9.解析:sin 1°+sin 2°+sin 3°+?+sin 89° 2 2 2 2 2 =sin 1°+sin 2°+?+sin 45°+?+sin (90°-2°)+sin (90°-1°) ? 2?2 2 2 2 2 =sin 1°+sin 2°+?+? ? +?+cos 2°+cos 1° ?2? 1 1 89 2 2 2 2 2 2 =(sin 1°+cos 1°)+(sin 2°+cos 2°)+?+(sin 44°+cos 44°)+ =44+ = . 2 2 2
89 答案: 2
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π π 2 10.解析:由 <θ < ? cos θ -sin θ <0,又(cos θ -sin θ ) =1-2sin θ ?cos θ 4 2 3 = , 4 所以 cos θ -sin θ =- 答案:- 3 2 3 . 2

1 11.解析:方法一:∵sin α +cos α = , 5 12 平方得 sin α cos α =- , 25 24 49 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1+ = . 25 25 ∵α ∈(0,π ),sin α cos α <0, ∴sin α >0,cos α <0. 7 ∴sin α -cos α = , 5 4 3 与已知联立可得 sin α = ,cos α =- , 5 5 1 3 ∴ =- . tan α 4

?sin α +cos α =1, ? 5 方法二:由? 12 ? ?sin α cos α =-25,
1 12 2 可知 sin α ,cos α 是方程 x - x- =0 的两根,解方程得 5 25 4 3 x1= ,x2=- . 5 5 ∵x∈(0,π ),sin α cos α <0, 4 3 ∴sin α = ,cos α =- . 5 5 1 3 ∴ =- . tan α 4 sin C 11.解析:(1)∵tan C=3 7,∴ =3 7. cos C 1 2 2 又∵sin C+cos C=1,解得 cos C=± . 8 1 ∵tan C>0,∴C 是锐角,∴cos C= . 8 → → 5 (2)∵CB?CA= , 2 5 ∴ab cos C= ,∴ab=20. 2 2 2 又∵a+b=9,∴a +2ab+b =81, 2 2 2 2 2 ∴a +b =41,∴c =a +b -2abcos C=36,∴c=6. 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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3 24 1. 解析:由题意可知 cos θ =- ,所以 sin 2θ =2sin θ cos θ =- . 5 25 答案:A 2.解析:∵tan? 答案:B 3 4 3 ?π ? 3.解析:∵sin α = ,α ∈? ,π ?,∴cos α =- ,∴tan α =- . 2 5 5 4 ? ? 1 1 2tan β 4 又∵tan (π -β )= ,∴tan β =- ,∴tan 2β = =- , 2 2 2 1-tan β 3 3 ? 4? - -?- ? 4 ? 3? tan α -tan 2β 7 ∴tan(α -2β )= = = . 1+tan α ?tan 2β 3? ? 4? 24 ? 1+?- ???- ? ? 4? ? 3? 答案:D 2 2 2 4.解析:a= (sin 56°-cos 56°)= sin 56°- cos 56°=sin(56°-45°)=sin 2 2 2 11°, b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°=cos 40°cos 38°-sin 40°sin 38° =cos(40°+38°)=sin 12°, 2 2 2 1-tan 40°30′ cos 40°30′-sin 40°30′ c= = =cos 81°=sin 9°, 2 2 2 1+tan 40°30′ cos 40°30′+sin 40°30′ 1 1 d= (cos 80°-2cos2 50°+1)= (cos 80°-cos 100°)=cos 80°=sin 10°, 2 2 ∴b>a>d>c,故选 B. 答案:B π? ? ? ? 5.解析:∵a=?sin?α + ?,1?,b=(4,4cos α - 3),a⊥b, 6? ? ? ? π? ? ∴4sin?α + ?+4cos α - 3=0. 6? ? π? π? π? ?? ? ∴4sin?α + ?+4cos??α + ?- ?- 3=0. 6? 6? 6? ? ?? π? π? ? ? ∴6sin?α + ?+2 3cos?α + ?= 3. 6? 6? ? ? π π? 1 ? ∴sin?α + + ?= , 6 6? 4 ? π? 1 4π ? 1 ? ? 即 sin?α + ?= .∴sin?α + ?=- ,故选 B. 3? 4 3 ? 4 ? ? 答案:B 4 3 6.解析:∵cos α =- 且 α 是第三象限的角,∴sin α =- , 5 5

?π -α ?=3,∴1-tan α =3,∴tan α =-1. ? 1+tan α 2 ?4 ?

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α sin 2 1+ α α α α ?cosα +sinα ?2 cos 1+tan cos +sin ? 2 2 2 2 2 2? ? ? = = = α α α α ? α α ?? α α ? 1-tan sin cos -sin ?cos 2 -sin 2 ??cos 2 +sin 2 ? 2 2 2 2 ? ?? ? 1- α cos 2 1+sin α 1 = =- ,故选 A. cos α 4 2 - 5 答案:A 7.解析:∵tan(π +2α )=tan 2α , 4 2tan α ∴tan 2α =- ,又 tan 2α = 且 α 为第二象限角, 2 3 1-tan α 1 ∴tan α <0,∴tan α =- . 2 1 答案:- 2 π π 3 π? ?1 π 8.解析:sin - 3cos =2? sin - cos ? 12 12 2 12 2 12? ? π π π? ? π =2?sin cos -cos sin ? 12 3 12 3? ? ?π π ? ? π? =2sin? - ?=2sin?- ? ?12 3 ? ? 4? = =2??- 2 5

? ?

2? ?=- 2. 2?

答案:- 2 1 9.解析:∵sin θ +cos θ = , 5 1 1 24 2 2 ∴两边平方得:sin θ +2sin θ cos θ +cos θ = ,即 1+sin 2θ = ,∴sin 2θ =- . 25 25 25 π 3π 3π ∵ ≤θ ≤ ,∴π ≤2θ ≤ ,则 cos 2θ ≤0, 2 4 2 7 2 ∴cos 2θ =- 1-sin 2θ =- . 25 7 答案:- 25 10 解析:由题意知,

?cos α cos β -sin α sin β =1, 5 ? ? 3 cos α cos β +sin α sin β = . ? 5 ?
2 由①+②得 cos α cos β = , 5 ③

① ②

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1 ②-①得 sin α sin β = , ④ 5 ④ 1 得:tan α tan β = . ③ 2 1 答案: 2 3 ? 4 3 ? 11.解析:∵α ∈?π , π ?,cos α =- ,∴sin α =- . 2 ? 5 5 ? 1 3 10 10 ?π ? ∵β ∈? ,π ?,tan β =- ,∴cos β =- ,sin β = . 2 3 10 10 ? ? ? 4? ? 3 10?-?-3?? 10=3 10. cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β =?- ???- ? ? ? 10 ? 5? ? 10 ? ? 5? 10 π π 3 ?1 ? 12.解析:(1)原式=2 2? sin? -x?+ cos? -x?? ?4 ? 2 ?4 ? ? ? ?? ?2 ? π π π π ? ? ? ? ?? =2 2?sin sin? -x?+cos cos? -x?? 6 6 ?4 ? ?4 ?? ? π π π? ? ? ? =2 2cos? - +x?=2 2cos?x- ?. ?6 4 ? ? 12? cos 2α (2)原式= 1-tan α ? ?π ?? ?1-cos? 2 +2α ?? 1+tan α ? ? ?? 第五节 简单的三角恒等变换 2 2 sin θ cos θ sin θ +cos θ 1 2 1.解析:tan θ +cot θ = + = = = =8,故选 B. cos θ sin θ sin θ cos θ 1 1 sin 2θ 2 4 答案:B 2 2 2 2.解析:原式= 1+cos 1+2cos 1-1= 3cos 1= 3cos 1. 答案:C 4 π 3 3.解析:∵sin α = , <α <π ,∴cos α =- , 5 2 5 π? π? π? 3 2 ? ? ? ∴sin?α + ?+cos?α + ?= 2sin?α + ?= 2cos α =- . 4? 4? 2? 5 ? ? ? 答案:D 2x 2x 2x ?1?2 cos -sin 1-tan 1-? ? 2 2 2 ?2? 3 2x 2x 4.解析:cos x=cos -sin = = = = . 2 2 2x 2x 2x ?1?2 5 cos +sin 1+tan 1+? ? 2 2 2 ?2? 答案:B 1 1 - 2 7 tan? α -β ? +tan β 1 5.解析:由于 tan α =tan[(α -β )+β ]= = = ,所 1-tan? α -β ? ?tan β 1 1 3 1+ ? 2 7 1 1 + ?0,π ?,又 tan(2α -β )=tan[(α -β )+α ]= 2 3 =1,而 β ∈?π ,π ?,所 以 α ∈? ?2 ? 4? 1 1 ? ? ? ? 1- ? 2 3 以 2α -β ∈(-π ,0),
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3π 故 2α -β =- . 4 答案:C

t 4 6. 解析:依题意得 tan α = ,tan(α +45°)= , 3 2t
4 t - 2t 3 tan? α +45°? -tan α tan[(α +45°)-α ]= =1,即 =1,t=1 或-6, 1+tan? α +45°? tan α 4 t 1+ ? 2t 3 结合图形可知,t 的值为 1,故选 D. 答案:D 1 1 2 7. 解析:∵sin θ +cos θ = ,∴(sin θ +cos θ ) = , 5 25 1 24 ∴1+2sin θ cos θ = ,∴sin 2θ =- . 25 25 π 3π 3 7 ? 24?2 2 ∵ ≤θ ≤ ,∴π ≤2θ ≤ π ,∴cos 2θ =- 1-sin 2θ =- 1-?- ? =- . 2 4 2 25 ? 25? 7 答案:- 25 1 3 8. 解析:∵cos(α +β )= ,cos(α -β )= , 5 5 1 3 ∴cos α cos β -sin α sin β = ,cos α cos β +sin α sin β = , 5 5 2 ∴cos α cos β = , ① 5 1 sin α sin β = , ② 5 2 由①?②得 sin α cos α ?sin β cos β = , 25 8 ∴sin 2α ?sin 2β = . 25 8 答案: 25 9. 解析:∵(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,∴1+ 3(tan α +tan β )+3tan α tan β =4, 即 tan α +tan β = 3(1-tan α tan β ). tan α +tan β 3? 1-tan α tan β ? ∴tan(α +β )= = = 3. 1-tan α tanβ 1-tan α tan β π 又∵0<α +β <π ,∴α +β = . 3 π 答案: 3 sin 2α 10. 解析:∵sin 2α =2sin α cos α ,∴cos α = , 2sin α sin 40° sin 80° 1 sin 160° sin? 180°-20°? 1 ∴原式= ? ? ? = = . 2sin 20° 2sin 40° 2 2sin 80° 16sin 20° 16 1 答案: 16

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π θ tan -tan 4 2 θ 1 ?π θ ? 11.解析:∵tan? - ?=2,∴ =2,∴tan =- , π θ 2 3 ?4 2? 1+tan tan 4 2 θ 2θ 1-tan +tan 2 2 θ θ 2θ 2θ ∴2cos θ +sin θ =2cos -2sin +2sin cos =2? =1. 2 2 2 2 2θ 1+tan 2 12. 解析:(1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1,得
2

f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1)= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?, 6

? ?

π?

?

所以函数 f(x)的最小正周期为 π . π? ? (2)由(1)可知 f(x0)=2sin?2x0+ ?. 6? ? π? 3 6 ? 又因为 f(x0)= ,所以 sin?2x0+ ?= . 6? 5 5 ? π π? 2π 7π ? π ? ? , ?, 由 x0∈? , ?,得 2x0+ ∈? 6 ? 6 ? 3 ?4 2? π? ? 从而 cos?2x0+ ?=- 6? ? π? 4 2? 1-sin ?2x0+ ?=- . 6? 5 ?

π? π? π? π π ? π 3-4 3 ?? ? ? 所以 cos 2x0=cos??2x0+ ?- ?=cos?2x0+ ?cos +sin?2x0+ ?sin = . 6? 6? 6? 6? 6 6 10 ? ? ?? 第五节 三角函数的图像与性质

π π 5.解析:∵y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),∴令 x- =kπ (k∈Z),x=kπ + (k∈Z), 4 4 3 由 k=-1,得 x=- π , 4 π? ? ? 3π ? ∴y=sin?x- ?的一个对称中心是?- ,0?,故选 B. 4? ? ? 4 ?
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答案:B

?π -2x?=-2sin?2x-π ?, ? ? 6? ?6 ? ? ? π? ?π ? ? ∴y=2sin? -2x?的递增区间实际上是 u=2sin?2x- ?的递减区间, 6? ?6 ? ?
6.解析:∵y=2sin? π π 3π 即 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π 5π 解上式得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 3 6 π 5π 令 k=0,得 ≤x≤ . 3 6 π 5 又∵x∈[0,π ],∴ ≤x≤ π . 3 6 ?π ? ?π 5 ? 即函数 y=2sin? -2x?(x∈[0,π ])的一个增区间为? , π ?. 6 ? ? ?3 6 ? 答案:C

?1+tan x≠0, ? 1 7. 解析:要使函数 y= 有意义,则有? π 1+tan x ?x≠kπ + 2 ? k∈Z? ?
π π 即 x≠kπ - 且 x≠kπ + (k∈Z). 4 2
? ? ? π ∴函数的定义域为?x?x≠kπ - 且 4 ? ? ? ? ? ? π 答案:?x?x≠kπ - 且 4 ? ? ?



x≠kπ + ,k∈Z?.
? ?

π 2

? ?

? ? π x≠kπ + ,k∈Z? 2 ? ?

?5π ?=f?π +2π ?=f?2π ?=f?-π +2π ?=f?-π ?=f?π ?. ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?3? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? π? ∵当 x∈?0, ?时,f(x)=sin x, 2? ? π 3 ?5π ? ?π ? ∴f? ?=f? ?=sin = . 3 2 ? 3 ? ?3?
8. 解析:f? 答案: 3 2

? π? 9. 解析:f(x)=sin(x-2π )+ 3cos(2π -x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?. 3? ? π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤x+ ≤ , 2 2 6 3 6 1 ? π? ∴- ≤sin?x+ ?≤1, 3? 2 ? ? π? 即-1≤2sin?x+ ?≤2, 3? ? ∴函数的最大值与最小值分别为 2,-1. 答案:2,-1 1 10. 解析:函数 f(x)= sin 2x,易知①中 x1=kπ -x2,k∈Z;②中,最小正周期为 π ; 2 ③④正确. 答案:③④
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π? ? 11. 解析:(1)因为 f(x)=sin 2x-(1-cos 2x)= 2sin?2x+ ?-1, 4? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π π π (2)由(1)知,当 2x+ =2kπ + ,即 x=kπ + (k∈Z)时,f(x)取最大值 2-1,函 4 2 8 数 f(x)取最大值时 x 的集合为 ? ? π ?x|x=kπ + ,k∈Z?. 8 ? ? 2π 12. 解析:(1)∵f(x)=Asin(3x+φ ),∴T= , 3 2π 即 f(x)的最小正周期为 . 3 π (2)∵当 x= 时,f(x)有最大值 4,∴A=4. 12 ? π ? ?π ? ∴4=4sin?3? +φ ?,∴sin? +φ ?=1. 12 ? ? ?4 ? π π π 即 +φ =2kπ + ,得 φ =2kπ + (k∈Z). 4 2 4 π ∵0<φ <π ,∴φ = . 4 π? ? ∴f(x)=4sin?3x+ ?. 4? ? 2 π? ? (3)∵f? α + ? 12? ?3 2 π? π? ? ? =4sin?3? α + ?+ ? 12? 4 ? ? ?3 π? ? =4sin?2α + ?=4cos 2α . 2? ? π ? 12 12 ?2 由 f? α + ?= ,得 4cos 2α = , 12? 5 5 ?3 3 1 1 2 ∴cos 2α = ,∴sin α = (1-cos 2α )= , 5 2 5 5 . 5 第六节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及三角函数模型的简单应用 2π 1.解析:由图像可知,该函数的周期 T=π ,∴ =π ,∴ω =2.故选 B. ω 答案:B 2.解析:由平移和伸缩变换的规则知③④正确. 答案:C ? π? ? π ? ∴向右平移π 个单位即得 y=sin?x+π -π ?= 3. 解析: y=cos?x- ?=sin?x+ ?, ∵ ? 3? 6? 6 6? 6 ? ? ? ? sin x. 答案:A T 5π π π ?π ? 4.解析:依题意 A= 3, = - = ,即 T=π ,∴ω =2.∵图像上的点? ,0?为 2 6 3 2 ?3 ? π 2π “第一点”,∴2? +φ =0,即 φ =- ,满足|φ |<π .故选 B. 3 3 ∴sin α =±
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答案:B 5.



6. 解析: =2sin(ω x+θ )为偶函 y 且 0<θ <π ,

π? π ? 则 y=2cos?ω x+θ - ?,所以 θ = , 2? 2 ? 即 y=2cos ω x,y∈[-2,2]. 故 y=2 与 y=2cos ω x 的交点为最高点, 于是最小正周期为 π , 2π 即 =π ,所以 ω =2. ω 答案:A 1-cos 2x 1 7.解析:方法一:f(x)=- 3? + sin 2x 2 2 =- =- 3 1 3 + sin 2x+ cos 2x 2 2 2

π? 3 ? +sin?2x+ ?, 3? 2 ? 3 26 ?25 ? ∴f? π ?=- +sin π 2 3 ?6 ? 3 2π 3 3 +sin =- + =0. 2 3 2 2 25π 方法二:当 x= 时, 6 25π 25π 25π ?25 ? f? π ?=- 3sin2 +sin cos 6 6 6 ?6 ? π π π 2 =- 3sin +sin cos 6 6 6 =- 3 1 3 + ? =0. 4 2 2 答案:0 =-

T 5π π 2π 8.解析:由图知,A=2, = - = , 2 6 6 3 4π T= . 3 2π 4 3 ?3 ? ∵ = π ,ω = ,∴y=2sin? x+φ ?. ω 3 2 ?2 ? 5 ∵当 x= π 时,y=2, 6 ?3 5 ? ∴2=2sin? ? π +φ ?, 2 6 ? ? 5 ? ? 即 sin?φ + π ?=1, 4 ? ?
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5 π 3π ∴φ + π = ,φ =- , 4 2 4 3 3π ? ? ∴y=2sin? x- ?. 4 ? ?2 3 3π ? ? 答案:y=2sin? x- ? 4 ? ?2 2 2 9.解析:①y=sin x-cos x=-cos 2x,故最小正周期为 π ,①正确. ②k=0 时,α =0,则角 α 终边在 x 轴上,故②错. ③由 y=sin x 在(0,0)处切线为 y=x,所以 y=sin x 与 y=x 图像只有一个交点,故③ 错. π? π ? ④y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位得到 3? 6 ? π? π? ? ? y=3sin?2?x- 6 ?+ ?=3sin 2x,故④正确. ? 3? ? ? π? ? ⑤y=sin?x- ?=-cos x 在[0,π ]上为增函数,故⑤错. 2? ? 综上知①④为真命题. 答案:①④ π ?2π ? 10.解析:(1)由最低点为 M? ,-2?得 A=2.由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 得 2 ? 3 ? T π 2π 2π = ,即 T=π ,∴ω = = =2. 2 2 T π 2π ? ,-2?在图像上,得 2sin?2?2π +φ ?=-2, 由点 M? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 4π ? +φ ?=-1,∴4π +φ =2kπ -π ,k∈Z, 即 sin? ? 3 2 ? 3 ? 11π π ? π? ∴φ =2kπ - .又 φ ∈?0, ?,∴φ = , 2? 6 6 ? π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? π ?π 7π ? ?π π ? (2)∵x∈? , ?,∴2x+ ∈? , ?, 12 2 ? 6 ? 6 ?3 ? π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 ∴f(x)的值域为[-1,2]. 1 11.解析:(1)f(x)= cos 2x 2 π? 1 1 ? ? π? = sin?2x+ ?= sin 2?x+ ?, 2? 2 4? 2 ? ? π 所以要得到 f(x)的图像只需要把 g(x)的图像向左平移 个单位长度,再将所得的图像向 4 1 上平移 个单位长度即可. 4 1 1 1 (2)h(x)=f(x)-g(x)= cos 2x- sin 2x+ 2 2 4 π? 1 2 ? = cos?2x+ ?+ , 4? 4 2 ?
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π 2 1 1-2 2 当 2x+ =2kπ +π (k∈Z)时,h(x)取得最小值- + = . 4 2 4 4

h(x)取得最小值时,对应的 x 的集合为?x?x=kπ +
? ?

? ?

? ?

3π ,k∈Z 8

? ? ?. ? ?

第七节

正弦定理和余弦定理

10?sin 60° 3 1.解析:由正弦定理得,sin B= = . 15 3 ∵a>b,∴B<60°, ∴cos B= 1-? 6 ? 3?2 ? = 3 ,故选 A. ?3?

答案:A 2 2 2 2 2 2 2.解析:由余弦定理得 c =a +b -2abcos C,又 C=120°,∴2a =a +b +ab, 2 2 2 ∴a =b +ab>b ,∴a>b,故选 A. 答案:A π 2 2 2 2 2 3. 解析:由余弦定理 a =b +c -2bccos A,可得 3=1+c -2c?cos ,即 c -c-2= 3 0,得 c=-1(舍去)或 c=2.故选 B. 答案:B 4. 解析:由余弦定理,得 b2+c2-a2 cos A= , 2bc 2 2 2 1 b +5 -7 2 即- = ,∴b +5b-24=0, 2 2?b?5 ∴b=3 或 b=-8(舍去), sin B b 3 ∴由正弦定理,得 = = ,故选 D. sin C c 5 答案:D 5. 解析:由正弦定理,得 = = . sin A sin B sin C 又∵ = = , cos A cos B cos C ∴tan A=tan B=tan C. 又∵A、B、C∈(0,π ),∴A=B=C,故选 B. 答案:B 6.解析:∵cos 2B+3cos(A+C)+2=0, 2 ∴2cos B-1-3cos B+2=0, 2 即 2cos B-3cos B+1=0, 1 ∴cos B= 或 cos B=1(舍去), 2 ∴sin B= 1-cos B= ∴
2

a

b

c

a

b

c

3 , 2

b 3 = = =2∶1,故选 D. sin C sin B 3 2 答案:D

c

用心

爱心

专心

- 21 -

a c 1 3 7.解析:由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin C sin A π sin 3 1 ∴sin A= . 2 π 又∵a<c,∴A= . 6 π 答案: 6

?a+b=2 3, ?ab=2, 8.解析:设 AB=c,∵? ?cos? A+B? =1, ? 2
又∵cos C=

1 ∴cos C=- . 2

a2+b2-c2 ? a+b? 2-2ab-c2 8-c2 1 = = =- , 2ab 2ab 4 2 2 ∴c =10,∴c= 10,即 AB= 10.
答案: 10 9.解析:在△ABC 中,A+B+C=180°,又∵A+C=2B,∴3B=180°,即 B=60°.由 3 1? 2 1 a b asin B 正弦定理 = ,所以 sin A= = = . sin A sin B b 2 3 1 答案: 2 1 2 2 2 10.解析:∵S= (b +c -a ), 4 1 且 S= bcsin A, 2 2 2 2 ∴b +c -a =2bcsin A, 2 2 b +c -a2 b2+c2-a2 ∴ =sin A,又 =cos A,即 cos A=sin A, 2bc 2bc π 又 0<A<π ,∴A= . 4 π 答案: 4 3 π 11.解析:由 cos∠ADC= >0 知 B< . 5 2 12 4 由已知得 cos B= ,sin∠ADC= . 13 5 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B 4 12 3 5 33 = ? - ? = . 5 13 5 13 65 由正弦定理得 = , sin B sin ∠BAD

AD

BD

用心

爱心

专心

- 22 -

5 33? 13 BD?sin B 所以 AD= = =25. sin∠BAD 33 65 1 10 2 12.解析:(1)因为 cos 2C=1-2sin C=- ,及 0<C<π ,所以 sin C= . 4 4 (2)当 a=2,2sin A=sin C 时, 由正弦定理 = ,得 c=4. sin A sin C 1 6 2 由 cos 2C=2cos C-1=- ,及 0<C<π 得 cos C=± . 4 4 由余弦定理 c =a +b -2abcos C,得 b ± 6b-12=0,解得 b= 6或 2 6. 所以?
2 2 2 2

a

c

?b= 6, ?c=4

或?

?b=2 6, ?c=4.
第八节

正弦、余弦定理的应用举例 1 2 1 b2+c2-a2 2 2 1.解析:∵S△ABC= (b +c -a )= bcsin A,∴sin A= =cos A,∴A=45°, 4 2 2bc 故选 A. 答案:A 2 50? 2 AC AB AC?sin C 2.解析:在△ABC 中,∠B=30°,由 = ,得 AB= = =50 2 sin B sin C sin B 1 2 (m). 答案:A 3.解析:∵C=π -(A+B), ∴由 2cos Bsin A=sin C,得 2cos Bsin A=sin(A+B), 即 2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin Acos B-cos Asin B=0, ∴sin(A-B)=0, ∵-π <A-B<π , ∴A-B=0,∴△ABC 为等腰三角形,故选 B. 答案:B 4.解析:

由图可知∠ACB=180°-(40°+60°)=80°. ∵AC=BC, 1 ∴∠A=∠CBA= (180°-80°)=50°. 2 ∵CE∥BD,∠CBD=∠BCE=60°, ∴∠ABD=60°-50°=10°, ∴灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°. 答案:B
用心 爱心 专心 - 23 -

5.解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10, 5 在 Rt△ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 =10(海里/小时). 0.5 答案:C

4 900 解得 r= ≈445(米). 11

方法二:如图,连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H. 由题意得 CD=500(米), AD=300(米),∠CDA=120°, 1 2 2 2 2 2 2 △ACD 中,AC =CD +AD -2CD?AD?cos 120°=500 +300 +2?500?300? =700 , 2 ∴AC=700(米), AC2+AD2-CD2 11 cos∠CAD= = . 2?AC?AD 14 11 在 Rt△HAO 中,AH=350(米),cos∠HAO= , 14 AH 4 900 ∴OA= = ≈445(米). cos∠HAO 11 10.解析:
用心 爱心 专心 - 24 -

如图所示,AB=40 2,AC=10 13,∠BAC=θ ,sin θ = 由 于 0°<θ <90° , 所 以 cos θ = 1-?

26 . 26

? 26?2 5 26 ? = 26 . 由 余 弦 定 理 得 BC = ? 26 ?
10 5 =15 5(海里/小时). 2 3

AB2+AC2-2AB?AC?cos θ =10 5.所以船的行驶速度为

用心

爱心

专心

- 25 -


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