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直线的斜截式方程


直线的斜截式方程

直线的倾斜角
y

y

?
?
o x

o

x

y

l

o

x

直线的斜率

k ? tan

? (? ? 90 )
0

y 2 ? y1 k? x2 ? x1

( x1 ? x2 )

直线的点斜式方程
设直线l经过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,斜率为k,

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

? 直线经过点 P( x0 , y0 ) : ? 直线平行于x轴,斜率 k ? 0 时,直线方程为 :

y ? y0
? 直线平行于y轴时,斜率 不存在,不能用点 斜式求它的方程,这时的直线方程为 :

x ? x0

探究:
? 我们称直线与y轴交点的纵坐标为该直线在y 轴上的截距。那么已知直线l的斜率为3,且 在y轴上的截距为2,试求该直线的方程。
y

直线经过点(0,2),又斜率k ? 3,

所以直线方程为: y ? 2 ? 3( x ? 0)
即:

y ? 3x ? 2

5 4 3 2 1 -2 -1 o 1 2 -1
x

这里b是直 线l在y轴上 的截距

?

一般地,已知直线l斜率为k,与y轴交点 为P(0,b), ? 根据直线的点斜式方程,将(0,b),k代 入,得直线l的方程为

y ? b ? k ( x ? 0)

即:y ? kx ? b
此方程由直线l的斜率和 它在y轴上的截距确定

方程 y ? kx ? b 叫做直线的斜截式方程

? 求下列直线的斜率和在y轴上的截距 ? (1) y ? 4 x ? 1
斜率k ? 4, y轴上的截距b=1.

? (2) y ? ? x ? 2
y轴上的截距b= ? 2. 斜率k ? ?1,

? 例 求下列直线的方程 (1)在y轴上的截距为8,斜率为3.5;
7 k ? 3.5 ? , b?8 解: 由题意,得: 2

7 由斜截式方程,得: y ? x ? 8 2
即所求的方程为:

7 x ? 2 y ? 16 ? 0

(2)经过点(0,5),倾斜角为 1350 。
解: 由题意,得: k ? tan1350 ? ?1, b ? ?5 由斜截式方程,得: y ? ? x ? 5
即所求的方程为:

x? y?5 ? 0

(3)在y轴上的截距为-1,过点B(-2, 2 ) 解: 由题意,得: 故直线经过点(0,-1), b ? ?1,
又直线经过点B(?2,2), 从而直线的斜率

2 ? (?1) 2 ?1 k? =? ?2 ? 0 2
由斜截式方程,得 所求的方程为:

2 ?1 y?? x ?1 2

? 练习:求满足下列条件的直线 的方程 (1)斜率为1,在y轴上的截距为3;
k ? 1, b ? 3 y ? x?3 x ? y +3=0

(2)倾斜角是 300 ,在y轴上的截距为3;
k ? tan 300 ? 3 3

3 x?3 b?3 y? 3

3x ? 3 y ? 9 ? 0

(3)过点(2,2),(0,-4).
?4 ? 2 k? =3 0?2

b ? ?4

y ? 3x ? 4

3x ? y ? 4 ? 0

? 例、如图,已知△ABC的顶点为A(-5,0), B(3,-3), C(0,2),试求△ABC三边所在直 线的方程。
解: 因为边AB所在直线经过点A(-5,0),
B(3,-3),由斜率公式,得

?3 ? 0 3 k? ?? 3 ? (?5) 8
由点斜式方程,得

y

2
A

C

-5

o

3

x

3 y ? 0 ? ? [ x ? (?5)] 8
整理,得

-3

B

(3,-3)

3x ? 8 y +15 ? 0

因此边AB所在直线的方程为: 3x ? 8 y +15 ? 0

因为边BC所在直线在y轴上的截距为b=2,
2 ? ( ?3) 5 ?? 斜率是 k ? 0?3 3
y

2
A

C

由斜截式方程,得

-5

o

3

x

5 y ?? x?2 3
整理,得: 5x ? 3 y ? 6 ? 0

-3

B

(3,-3)

因此边BC所在直线的方程为: 5x ? 3 y ? 6 ? 0

因为边AC所在直线在y轴上的截距为b=2,
2?0 2 ? 斜率是 k ? 0 ? (?5) 5
y

2
A

C

由斜截式方程,得

-5

o

3

x

2 y ? x?2 5
整理,得:2 x ? 5 y ? 10 ? 0

-3

B

(3,-3)

因此边BC所在直线的方程为: 2 x ? 5 y ? 10 ? 0


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