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《函数的单调性和奇偶性》经典例题[1]


远大教育

九层之台起于累土

经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明

1.证明函数

上的单调性.

【变式 1】用定义证明函数

上是减函数.

类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|

x|+2; (2) 举一反三: 【变式 1】求下列函数的单调区间:

(1)y=|x+1|; (2)

(3)

.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,

求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较 f(a2-a+1)与 4. 求下列函数值域:

的大小.

(1)

; 1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); 1)x∈[-1,1]; 2)x∈[-2,2].

(2)y=x2-2x+3; 举一反三:

【变式 1】已知函数

.

(1)判断函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[1,3]时,求函数 f(x)的值域.

5. 已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间 的取值范围. 举一反三:

上是增函数, 求: (1)实数 a 的取值范围; (2)f(2)

远大教育

九层之台起于累土

【变式 1】 (2011 北京理 13)已知函数 不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

,若关于 x 的方程

有两个

类型四、判断函数的奇偶性
6. 判断下列函数的奇偶性:

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6) 举一反三: 【变式 1】判断下列函数的奇偶性: (1)

(7)

; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)=x2+x+1;

(4) . 思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断. 举一反三: 【变式 2】已知 f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函 数.

类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知 f(x)=x5+ax3-bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2). 举一反三: 【变式 1】 (2011 湖南文 12)已知 为奇函数, ,则 为: .

8. f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2-x,求当 x≥0 时,f(x)的解析式,并画 出函数图象. 9.设定义在[-3,3]上的偶函数 f(x)在[0,3]上是单调递增,当 f(a-1)<f(a)时,求 a 的取值范围.

类型六、综合问题

远大教育

九层之台起于累土

10. 定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数, 偶函数 g(x)在区间 设 a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 11. 求下列函数的值域: (1) (2) (3)

的图象与 f(x)的图象重合,

12. 已知函数 f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数 f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数 a 的取值范围; (2)当 x∈[-1,1]时,求函数 f(x)的最小值 g(a),并画出最小值函数 y=g(a)的图象.

13. 已知函数 f(x) 在定义域 (0 , + ∞ ) 上为增函数, f(2)=1 ,且定义域上任意 x 、 y 都满足 f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3.

14. 判断函数

上的单调性,并证明.

15. 设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论 f(x)的奇偶性,并求 f(x)的最小值.


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