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曲边梯形的面积课件


一 教材分析
地位和作用:曲边梯形的面积”是(人教版)普通高 中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节的 内容,曲边梯形的面积中蕴涵的积分思想贯穿整个定积分 的始终,作为定积分的前奏曲,是定积分概念的引例和重 要铺垫材料,借助曲边梯形的面积这一直观具体的实例来 初步感受定积分的定义。使学生了解定积分的实际背景, 建立定积分概念的认知基础,为理解后续定积分概念

及几 何意义奠定基础。也是充分感受用极限的思想方法思考与 处理问题的好题材。

二 教学目标

(一)知识目标:1、初步了解、感受定积分的实际背景。
2、体会“以直代曲”,“逼近”的思想。
(二) 能力目标: 1、通过探索求曲边梯形的面积的过程,了解 用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题, 从而培养学生的逻辑思维能力,理解用极限的思想方法思考与处 理问题,从而培养学生的创新意识。 2、体会“以直代曲”,“逼近”的思想。以 直代曲的过程中体会直与曲虽然是一对矛盾,但它们可以相互转 化,体现对立统一的辩证关系。

三教学重点、难点:
? 重点: 了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近 的思想,通过化整为零,积零为整求曲边梯形的面积这一 过程,初步掌握求曲边梯形面积的步骤的“四步曲”,即 “分割、近似代替、求和、取极限”,领会其微积分思想 方法 ? 难点:“以直代曲”、“逼近”思想的形成过程。(由于 这种“以直代曲” 、“逼近”思想学生比较陌生 )

四教学方法和手段
A 在教学过程中我选用启发式、讨论探究式的教学方法, 运用多媒体的直观的功能,让学生在观察过程中通过类比、 分析、归纳等方法解决问题;在师生互动中启发学生,促 进学生积极思维、主动学习,激发学生的学习兴 趣. B 运用多媒体课件辅助课堂教学,通过创设情境,为 学生提供丰富、生动、直观的观察材料,激发学生学习 的积极性和主动性。

? 教学总思路:
根据从具体到抽象、从特殊到一般的原则,先研究一个特 殊的曲边梯形面积问题,通过类比圆的面积的求法得到解 决它的思想方法,并具体化为四个步骤----分割、近似代 替、求和、取极限、从而求出它的面积。最后再说明这个 方法可以推广到求一般曲边梯形的面积。求曲边梯形的面 积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法,因此,在本小节 的教学中,应突出解决问题的思想方法和步骤,从而为引 入定积分的概念、体会定积分的基本思想、初步了解定积 分的概念奠定基础。

五、教学程序的设计
依据教学思路本节课在程序上分为问题提出—历史介绍—方 法讲解——链接生活—模拟训练—归纳总结—作业布置”等 七个阶段。 1、问题提出 以思考给出求一般曲边梯形的面积问题,建构问题情境, 然后根据从具体到抽象、从特殊到一般的原则,先研究 一个特殊的曲边梯形面积问题:如何计算y=x2在〔0,1〕 上的曲边梯形的面积呢?设计意图:心理学表明,思维 从疑问开始,问题的提出使学生的思维得以启动,同时 这个曲边梯形并不象正方形、长方形、圆、扇形等有现 成的公式可以利用,它没有现成的公式可用,问题本身 具有新鲜感和诱惑力,极大地引起了学生的兴趣,这样 引入符合教学论中的激发性原则。

? 2、历史介绍

介绍300年前,牛顿、卡瓦列利、瓦里士等著名学者对这 个问题的研究成果。同时介绍我国古代数学家刘徽早在三国时 代,就提出了著名的“割圆术”,以“直”代“曲”把圆的面 积近似看成多边形面积来计算,提出以直代曲,逼近思想。 给 学生介绍公元3世纪诞生的刘徽 “割圆术”:用圆内接正多边 形逼近圆周的方法。刘徽指出:“割之弥细,所失弥少。割之 又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。” 这就是说, 圆内接正多边形的边数无限增加的时候,它的面积的极限是圆 面积。今天带着学生应用这种思想解决定积分的问题。从数学 史角度体会最早的“直曲转化”思想。

3方法讲解 引导学生从感性上理解,再逐步上升到理性上的 认识,这符合人们认识事物的一般规律,即先由感 性认识再逐步上升到理性认识;同时计算机的直观 形象的演示,也符合教学论中的直观性原则;极限 理论与计算机的结合运用,使学生清楚地看到曲边 梯形的面积由量变到质变的变化过程,这也符合事 物的发展变化由量变到质变的哲学原理。

引导学生观察、分析、归纳得出曲边梯形的定义。把由直线 x=a、x=b(a≠b)y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形 ? 求曲边梯形面积,这是一个一般而又 抽象的问题,学生从未遇过类似的问 题,因此,直接解决这个问题超出了 学生的认知水平,为了使学生建立解 决它的基本经验,引导学生先考虑一 个特殊的曲边梯形面积问题。 ? 如何求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0 所围成的曲边梯形的面积?由刘徽 的“割圆术”中以“直”代“曲” 思想的启示,用正多边形逼近圆求圆 面积 ? “以直代曲,逼近”的思想启发学生 得到解决问题的思路:将求曲边梯形 面积的问题转化为求“直边图形”面 积的问题。接着提问怎样以“直”代 “曲”, ? (先让学生讨论,采用“以直代 曲”“逼近”的思想方法求曲边梯形
y f(b) f(a) y=f(x)

O

a

b

x

y

y=x 2 S
O
1

x

问题:具体怎样以直代曲? 引导学生思考能整体以“直” 代“曲”吗? 误差太大,为减小误差需要先将整个曲边梯 形分割,细分后再对小曲边梯形“以直代曲”。即在小范围 内“以直代曲”。 将上述 “以直代曲”和逼近的思想具体化为四个步骤;
第一步 分割(化整为零)教学中应引导学生体会:用“以 直代曲”的方法求曲边梯形的面积时,关键是减小误差.如 果将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形,在每个局部小范围 内实施“以直代曲”,那么就能有效地减小误差,而且分割 得越细,误差就会越小 于是我们可以在区间[0,1]上等间隔地插入分点,把区间[0,1] 等分割成个小区间,分别过上述个分点作轴的垂线,这些垂 线把曲边梯形分成若干个小曲边梯形。

y

第二步 近似代替 (以不变高代 替变高,以矩形代替曲边梯形, 给出“零”的近似值) 分割后得到个小曲边梯形, 提问:对每个曲边梯形面积 如何以直代曲? 引导学生用恰 当的方式做近似代替; 学生可能会提出多种“以直 代曲”的方法,教学中应分析各 种方法的利弊,引导学生用矩形 近似代替小曲边梯形-——数学最 讲究简洁。

y=x 2

O

1

x

第三步 求和(积零为整,给出“整”的近似值) 将所有这些小矩形之和加起来,对所有这些近似值 求和,得到原曲边梯形面积的近似值.

第四步 取极限 使近似值向精确值转化,当小区间无 限细分到 无限小时,通过图象动画演示可以看到区间分的越 细,那么就越接近近似值,为此我们把让区间无限接近与零直 到不能再分为止,这就是一个极限的过程: (强调极限思想) 图象动画

1 n (n ?1)n(2n ?1) 1 2 ? i ?1 ? 1 S ? lim ? ? ? ? lim 3 ? ? i ?1? ? lim ? ? 3 n|?? n|?? n n|?? 6n 3 i ?1 ? n ? n i ?1
n

2

这就促成了上述近似向精确的转化;显然,分割越细, 近似程度越好.采用几何直观和列表计算相结合的方法,引 导学生观察近似值的变化趋势,教学中,引导学生想象近似 值随分割的不断细化而趋向于曲边梯形面积的过程,利用信 息技术向学生展示逼近过程,以增强学生的直观感知.

? 4、链接生活(运用所学的思想及方法来解决生活中的 问题) A
B
C D 图1 长江三峡溢流坝断面

举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体 力学原理设计的,如图1所示,上端一段是是抛物线,中 间部分是直线,下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要 根据它的体积备料,计算它的体积就需要尽可能准确的计 算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面 积该怎样计算呢?显然这是一曲边梯形的面积,所以根据 刚刚学习过的思想和方法我们来计算长江三峡溢流坝上部 断面面积。

假设上部分抛物线方程为 y ? 1 ? x 2 , x ? [0 , 1] 将 [0, 1] 等分成n等份,抛物线下面部分分割 1 成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用长为 n ?i ? 1 ? ? 的矩形代替, 高为 ? n ? ?
2

i2 1 ΔS ? (1 ? )? i n n2

n i2 1 1 n 2 S n ? ? (1 ? )? ? 1? ?i 2 3 n i?1 n n i?1 2n 2 ? 3n ? 1 2 ? 1? ? 2 3 6n

? 模拟训练 ? 求y=1/x2在〔0,1〕上曲边梯形面积作为练 习题目的设置,主要是为了强化本节课的 重点,通过学生自己亲自尝试、体验,才 能深刻理解“分割、近似代替、求和、取 极限”的微积分思想方法

? 归纳总结

(教师引导,学生总结)

1、求曲边梯形面积的思想方法:以直代曲,逐渐逼近 2、“四步曲”步骤:分割 近似代替 求和 取极限

?

教学反思

? 1揭示解决问题的思想方法: 以直代曲和逼近的思想。事实上,这就是定积分概念中蕴 涵的最本质的思想。 2强调解决问题的四个步骤: 将思想转化为具体的方法步骤,上述“以只代曲”和逼 近的思想具体化为可以具体操作的四个步骤;

板书设计
曲边梯形面积 1思想方法:以直代曲,逼近 2四步曲步骤:分割 近似代替 求和 取极限

实例应用


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