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第四课时向量数乘运算及其几何意义


2.2.3向量数乘运算及其几何意义

问题情境: 已知非零向量a,作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a a O A a B a C -a -a -a

N

M

Q

P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作

3a

PN ? PQ ? QM ? MN ? (?a) ? (?a) ? (?a) 记作 ? 3a

3a与a的方向相同 3a ? 3 a

? 3a与a的方向相反 ? 3a ? 3 a

建构新知:

1、向量的数乘运算的定义: ??? ?? 实数?与向量 a 的积是一个确定的向量,记为? a,
其方向和长度规定如下 : ( 1 ) ?a ? ? a ;

? ?? ? (2) 当? ? 0, ? a 与 a 的方向相同;当? ? 0, ? ?? ? ? ? ? a 的方向与 a 的方向相反;当? ? 0,? a ? 0.

2、向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,
(1)?(? a ) ? (?? ) a; ( 2)(? ? ? ) a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b) ? ? a ? ? b.

巩固运用:

例1:计算: ? ? ? ? ? ? () 1( 2 2a ? 6b ? 3c) ? 3(?3a ? 4b ? 2c); ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知3( x ? a) ? 2( x ? 2a) ? 4( x ? a ? b) ? 0,求 x.

解:( 1 )原式 ? 4a ?12b ? 6c ? 9a ?12b ? 6c
? 13a

(2) 3x ? 3a ? 2 x ? 4a ? 4 x ? 4a ? 4b ? 0 x ? 3a ? 4b ? 0

? x ? ?3a ? 4b

再探新知:

? ? 对于向量 a 和 b ,以及实数?,? ? ? ? ? ? ? 问题1:如果 b ? ? a,那么,向量 a 与 b 是否共线?
? ? 问题2:如果向量 a 与 b 共线,那么是否存在一个, ? ? 实数,使b ? ? a ?

★★★★★向量共线定理:
? ? ? 向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个 ? ? 实数 ? ,使 b ? ? a.

?

?

创新运用:

? ? 例2 如图,已知任意两个非零向量 a、b , ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 试作OA ? a ? b , OB ? a ? 2b , OC ? a ? 3 b , 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗? 为什么?
C

? a

? b

B

? 3b ? 2b

A

★★★★★ A,B,C三点共线 <=> AB=λBC

? b
O

? a

技能巩固: 1、如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中
1 点,点N在线段BD上,且有BN= BD,求证: 3

M、N、C三点共线。
提示:设AB = a

D

C

BC = b
N A M B

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2

小结回顾
一、知识:

? ②向量共线定理 ( ≠0) a ? ? ? ? b ? ? a<=> 向量 a 与 b 共线
二、技能: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD A,B,C三点共线

①向量数乘的定义及运算律

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

例3 如图,平行四边形ABCD两对角线 ??? ? ? ??? ? ? 相交于点M,且 AB ? a, AD ? b,你能用 ? ? ??? ? ???? ???? ? ???? ? a 、 b 表示 MA 、 MB、 MC和MD吗?
D M C

? b
A

? a

B


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