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微积分2习题答案


(本科) 《微积分》练习二答案
一、填空题
P( x) P( x) ? 6 x 3 ? 3 ,则 P(x) ? ? 2 , lim 1.设 P (x) 是 x 的多项式,且 lim 2 x ?0 x ?? x x ? 2 6 x 3 ? 2 x 2 ? 3x ↑ 2. lim (arcsin( x ? x ? x)) ? x ??? 6

? 2 ?3 3. lim?1 ? ? ? x ?? x? ? x 3 ? ax ? x ? 4 ? A ,则有 a ? 4.设 lim ,A? x ?1 x ?1 2 sin x 5.设 f ( x) ? x sin ? ,则 lim f ( x ) ? x?? x x 1 x 2 ? sin 3 x ? sin x ? 6. lim 2 x ?0 3x 1? x 7.函数 y ? 的间断点是 ( x ? 1)(x ? 2) 1 8.为使函数 f ? x ? ? ? tan x 在点 x ? 0 处连续,应补充定义 f ?0? ? x 3 ? ?(1 ? x) x x ? 0 9.设函数 y ? ? 在 x ? 0 处连续,则参数 K ? ? K x?0 ? ?x ? a x ? 0 10.函数 f ( x) ? ? x 在点 x ? 0 处连续,则 a ? ?e ? 1 x ? 0 二、单项选择题 1.设 xn ? 0 ,且 lim x n 存在,则 lim x n
n ?? n ??

x

e

?

2 3

4,-2 2

1 3
x ?1
1

e ?3

2



①? 0 2.极限 lim e
x?1
1 x ?1

②? 0

③? 0

④? 0 ③

?
③不存在
x ??

①? 3. lim(1 ? x)
x ?0

②1
1 ? x

④0 ④

? lim x sin
②e ;
?1

1 ? x
③ e ?1;
?1 ④ e ?1

①e; 4. y ?

x ?3 的连续区间是__________________ ?x ? 1??x ? 2? ① ?? ?,?2? ? ?? 2,?1? ? ?? 1,??? ② ?3,??? ③ ?? ?,?2? ? ?? 2,??? ④ ?? ?,?1? ? ?? 1,??? 1 1 ? 5.函数 y ? x x ?1 的不连续点有 1 2 x ?1 ? x ?1





①2 个 ②3 个 ③4 个 ④4 个以上 x ? 0 时,与无穷小量 x 相比是高阶无穷小量的是___________;是等 6.下列函数中,.当 价无穷小量的是__________________ ①,② ① 1 ? cos x ②x? x
2




x

④ sin 2 x

(本科) 《微积分》练习二答案
7.当 x ? 0 时, sin x 与 | x | 相比是 ①高阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量
?

② ②低阶无穷小量 ④等价无穷小量

8.当 x ? 0 时, 1 ? cos 2 x 与 x 2 相比是 ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量
③低阶无穷小量 9.设 f ? x ? ? ? ④等价无穷小量 为连续函数,则 k =_______________ ④ 3



? sin 3x ?? , x?0 x ? k x?0 ?



① 1 ② -3 ③ 0 10.函数 f ?x ? 在点 x0 处有定义是 f ?x ? 当 x ? x0 时极限存在的



①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件 11.当 x ? 0 时,下列函数中比 x 高阶的无穷小量是 ① x ? sin x ② x ? sin x ③ ln?1 ? x ? 12.当 x ? 0 时,下列函数中为无穷小量的是

④ ln?1 ? x ?

② ②

1 1 1 1 ① x ? sin ② x ? sin ③ ? sin x ④ ? sin x x x x x 13.当 x ? ? 时,下列函数中为无穷小量的是 ③ 1 1 1 1 ① x ? sin ② x ? sin ③ ? sin x ④ ? sin x x x x x 14.设在某个极限过程中函数 f ?x ? 与 g ?x ? 均是无穷大量,则下列函数中哪一个也必是无穷
大量 ① f ?x ? ? g ?x ?
x ? x0

② f ?x ? ? g ?x ?
x ? x0

③ f ?x ? ? g ?x ?



15.设 f ?x0 ? ? a , lim f ?x ? ? b , lim f ?x ? ? c ,则函数 f ?x ? 在点 x0 处连续的充分必要 ? ? 条件是 ①a ? b ④ ②a ? c ③b ? c ④a ? b ? c ④ ③可去间断点 ④无穷间断点

f ?x ? g ?x ?



? x 2 ? 1 x1 1 ? ? 16. x ? 1 是 f ( x) ? ? x ? 1 e ? 0 ?
①连续点

x ? 1的 x ?1

②跳跃间断点

三、求下列极限
1. lim ( x ? 1 ? x) ? lim
2 x ???

1 x ?1 ? x
2

x ???

?0

2. lim ( x ? 1 ? x) ? ??
2 x ???

3. lim ( x ? 2 x ? 2 ?
2 x ???

x 2 ? 2x ? 2 )
4x
2

? lim

x ? ??

x ? 2x ? 2 ? x ? 2x ? 2
2

? lim

4 2 2 2 2 1? ? 2 ? 1? ? 2 x x x x

x ???

?2

4. lim? arctanx ? arcsin ? ? 0

? x ?? ?

1? x?



(本科) 《微积分》练习二答案
7 ( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1) 2 ? (3x ? 1) 2 ? ? ? (10x ? 1) 2 (? ) x ?? 2 (10x ? 1)(11x ? 1) n n n ? 2 ??? 2 ) 6. lim( 2 n ?? n ? 1 n ?2 n ?n n n n ? 2 ??? 2 [解] 记 x n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?n n n n n n n ? 2 ??? 2 ? xn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 因为 2 n ?n n ?n n ?n n n n n n ? x n ? 1 ,由于 lim ? 1 ,所以由夹逼定理,得 lim x n ? 1 即 n?? n?? n ? 1 n ?1 ? n 7.设 lim ? ? 2006,求 ? , ? n?? n ? (n ? 1) ?
5. lim [解] 原式左端 ? lim
n ??

n?

? ? 1 ? ? ? n ?? ? ? 1 ? 1 ?? n ?1 ? 1 ? ? ? o? ?? n ? ?1 ? ?1 ? ? ? n ? n ?? ? ? ? n? ? ? ? n? 1 ? lim ? (? ? ? ?1 ) n ?? ? ?1? ? ? n ? ?1 ?? ? o? ? ? n? ?n? ? ? 由于极限存在,故 ? ? ? ? 1 。 1 2005 1 1 ?1 ? ? ,? ? ? ? 1 ? ? ? 2006 ? ? ? 2006 2006 2006 ? 四、分析题 | sin x | 1.讨论极限 lim x?0 x | sin x | | sin x | ? 1 , lim ? ?1 ,故原极限不存在。 [解] 因为 lim ? ? x ?0 x ?0 x x x2 ?1 2.求 y ? 2 的间断点,并判别间断点的类型。 x ? 3x ? 2 x2 ?1 x2 ?1 ? ?2 , lim 2 ?? [解] 因为 x 2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1)(x ? 2) ,而 lim 2 x ?1 x ? 3 x ? 2 x ?2 x ? 3 x ? 2 因此有间断点: x ? 1 为可去间断点, x ? 2 为无穷间断点。. 1 3.求函数 y ? 6 x ? 的连续区间,若有间断点,试指出间断点的类型。 x [解] 函数的连续区间为 (??,0) ? (0,??) ,点 x ? 0 为函数的第二类无穷间断点。
? x ? 1 ? x ?t 4.讨论函数 f ( x) ? lim? ? 的连续性。 t?x t ? 1 ? ?
x? y t ?1 x ? t ? x ?t ? x ? 1 ? x ?t ? [解] f ( x) ? lim? ? ? lim?1 ? ? ? lim?1 ? y ? y ( x?1) ? e x?1 t ?x t ? 1 t ?x y ?0 t ?1 ? ? ? ? 在点 x ? 1 处没有定义,是间断点,故 f (x) 的连续区间为 (??,1) ? (1,??) ,点 x ? 1 为 f (x) 的第二类无穷间断点。 x t t 令y ? x ?t
t

? lim

n?



(本科) 《微积分》练习二答案
?cos x x ? 0 在点 x ? 0 处的连续性。 ? x ?1 x ? 0 [解] ? lim f ( x) ? lim cos x ? 1 , lim f ( x) ? lim ( x ? 1) ? 1 ? ? ? ?
5.讨论函数 f ( x) ? ?
x ?0 x ?0 x ?0 x ?0

∴ f (x) 在点 x ? 0 处连续性。

? a ? a?x x?0 ? ? x 6.设函数 y ? f ? x ? ? ? (a ? 0) ? cos x x?0 ?x ? 2 ? (1)当 a 取何值时,点 x ? 0 是函数 f ?x ? 的间断点?是何种间断点? (2)当 a 取何值时,函数 f ?x ? 在 ?? ?, ?? 上连续?为什么? ? 1 cos x 1 ? , [解](1)在点 x ? 0 处, f (0) ? , lim f ( x) ? lim ? ? x ?0 x ? 2 2 x ?0 2 a ? a?x 1 1 lim f ( x) ? lim ? lim ? ? ? ? x ?0 x ?0 x ?0 x a ? a?x 2 a 当 a ? 0 且 a ? 1 时,由于 lim f ( x ) ? lim f ( x ) ,所以点 x ? 0 是 f ?x ? 的跳跃间 ? ?
x ?0 x ?0

断点。 (2)当 a ? 1 时,由于 lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? f (0) ,则 f ?x ? 在点 x ? 0 处连续。 ? ? 又因为在 (??, 0) 或 (0, ? ?) 上, f ?x ? 为初等函数,所以连续。 故当 a ? 1 时,函数 f ?x ? 在 ?? ?, ?? 上连续。 ?
x ?0 x ?0

? 1 ?x ?1 x ? 0 ? ? 0 ? x ?1 7.设函数 y ? f ? x ? ? ? x ? ?a 1? x ? 4 ? ? (1)求函数 f ?x ? 的定义域; (2)讨论函数 f ?x ? 在点 x ? 0 处的极限是否存在?为什么? (3) a 为何值时,函数 f ?x ? 在点 x ? 1 处连续?并求函数 f ?x ? 的连续区间; (4)画出函数 y ? f ?x ? 的图形。 [解](1) D f ? (??, ? 1) ? (?1, 4]
1 ? 1 , lim f ( x ) ? lim x ? 0 ,所以 lim f ( x ) 不存在 x? 0 x ?0 ? x ?0 ? x ?0 x ?0 x ? 1 (3)在点 x ? 1 处, f (1) ? a , lim f ( x) ? lim x ? 1 , lim f ( x ) ? lim a ? a , ? ? ? ?
(2)因为 lim f ( x) ? lim ? ? 所以, a ? 1 时,lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (1) , 当 即函数 f ?x ? 在点 x ? 1 处连续。 ? ? 此时, f ?x ? 的连续区间为: (??, ? 1) ? (?1, 4] (4)略
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

五、证明题
1.证明方程 x ? 7 x ? 4 在区间 (1 , 2) 内至少有一个实根。
5

5 [证] 设 f ( x) ? x ? 7 x ? 4 , f (x) 在 [1 , 2] 上连续,

又 f (1) ? ?10 ? 0 , f (2) ? 14 ? 0 ,由零点定理知,在 (1, 2) 内至少存在一点 ? ,



(本科) 《微积分》练习二答案
使得 f (? ) ? 0 ,即 ? 5 ? 7? ? 4 ? 0 ,故方程 x ? 7 x ? 4 在区间 (1 , 2) 内至少有一 个实根。 2.证明:方程 x ? 2 sin x ? k ( k ? 0 )至少有一个正根。 [证] 设 f ( x) ? x ? 2 sin x ? k ? C[0, ? ?)
5

因为 f (0) ? ?k ? 0 , f (k ? 3) ? 3 ? 2 sin(k ? 3) ? 0 故由零点定理知, ?? ? (0 , k ? 3) ,使得 f (? ) ? 0 ,所以方程 x ? 2 sin x ? k 至少有 一正根。 3.证明方程 x ? a sin x ? 2 ( a ? 0 )至少有一个正根,并且不超过 a ? 2 。 [证] 设 f ( x) ? x ? a sin x ? 2 ,下面分两种情形来讨论: 情形 1 若 sin(a ? 2) ? 1 ,则因为 a ? 0 ,故 a ? 2 是方程 x ? a sin x ? 2 ( a ? 0 ) 的正根,并且不超过 a ? 2 。 情形 2 若 sin(a ? 2) ? 1 ,则因 a ? 0 ,故 f (a ? 2) ? a[1 ? sin(a ? 2)] ? 0 ,

?? ? (0 , a ? 2) ,使得 f (? ) ? 0 ,因此 ? 是方程 x ? a sin x ? 2 ( a ? 0 ) 的正根,并且不超过 a ? 2 。 4. n 为正整数, 设 函数 f (x) 在 [0, n] 上连续, f (0) ? f (n) , 且 证明存在数 a, a ? 1 ? [0, n] , 使得 f (a) ? f (a ? 1) 。 [证] 若 n ? 1 ,即 f (0) ? f (1) ,取 a ? 0 , a ? 1 ? 1 ? [0,1] ,结论成立。 若 n ? 2 ,作辅助函数 F ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,易知 F (x) 在 [0, n ? 1] 上连续,因为 F (0) ? F (1) ? ? ? F (n ? 1)

f (0) ? ?2 ? 0 , 又 因 f (x) 在 [0 , a ? 2] 上 连 续 , 故 由 零 点 定 理 知 ,

? [ f (1) ? f (0)] ? [ f (2) ? f (1)] ? [ f (3) ? f (2)] ? ? ? [ f (n) ? f (n ? 1)] ? f (n) ? f (0) ? 0 则 n 个实数 F (0), F (1),?, F (n ? 1) 全部为零或同时有正数与负数, (1)若这些数全部为零,即 F (0) ? F (1) ? ? ? F (n ? 1) ? 0 ,则结论成立。 (2)若这些数中有正数与负数,即有某个 F (i) ? 0, F ( j ) ? 0, (i ? j,0 ? i, j ? n ? 1) 于 是 由 零 点 定 理 可 知 , 在 i 与 j 之 间 存 在 一 点 a ( 显 然 a, a ? 1 ? [0, n] ) 使 得 , F (a) ? 0 ,即 f (a) ? f (a ? 1) ###




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