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高二数学(必修5和选修2-1)练习题

时间:2012-12-09


高二数学练习题
一、选择题:

? 1. 已知命题 p: x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是 ? A. ?p: x ? R,使 tan x ? 1 ? C. ?p: x ? R,使 tan x ? 1
2. 对抛物线 y ? 4x2 ,下列描述正确的是( A.开口向上,焦点为 (0,1) C.开口向右,焦点为 (1, 0) 3

.已知数列{an},如果 a1 , a2 数列,那么 an=( A.2n+1-1 )B



)C

? B. ?p: x ? R,使 tan x ? 1 ? D. ?p: x ? R,使 tan x ? 1

B.开口向上,焦点为 (0,

1 ) 16 1 D.开口向右,焦点为 (0, ) 16

? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an?1 ,? 是首项为 1,公比为 2 的等比

)B B.2n-1 C.2n
-1

D.2n +1

?y ? 0 ? 4.已知实数 x,y 满足条件 ? y ? x ,则 z = x + 3y 的最小值是( ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
A.

)B

16 3

B. ?

16 3
)C

C.12

D.-12

5.下列函数中,最小值为 4 的是( A. y ? x ?

4 x

B. y ? sin x ?

4 sin x

(0 ? x ? ? )

C.

y ? e x ? 4e ? x

D. y ?

x2 ?1 ?

2 x2 ?1
)B

6.若△ABC的三边为a,b,c,它的面积为 A.30° B.45°

a2 ? b2 ? c2 ,那么内角C等于( 4
C.60° D.90°

7. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是 ( )B x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) A. B. 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) C. D. 6 20 20 6 8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6,

1

那么 AB = A.6

( B.8

)B C.9 D.10 )

9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是 D ( A.( ?

15 15 15 ) B.( 0, ) , 3 3 3

C.( ?

15 ,0 ) 3

D.( ?

15 ,?1 ) 3

10.试在抛物线 y 2 ? ?4 x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小,则该 点坐标为 A. ? ? ( )A B. ? ,1?

? 1 ? ,1? ? 4 ?

?1 ? ?4 ?

C. ? 2,?2 2

?

?

D. ? 2,2 2

?

?

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点, F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、 过 a2 b2 B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为 ( )D 2 3 1 1 A. B. C. D. 2 3 2 3 二、填空题:
11. 已知点 F1、 2 分别是椭圆 F 12.对于任意实数 x,不等式 ax ? 2 x ? 4 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

.

12. a ? ?

1 4

13.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 36 9
x ? 2y ? 8 ? 0

13、

14. 若 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2,则

2a2 ? a3 = 2a4 ? a5

。14、1/4

15. 若双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是_________. 4 m 2

15、(± 7 ,0 ) 16. 点 P 是抛物线 y = 4x 上一动点,则点 P 到点(0,-1)的距离与到抛物线准线的距离 之和的最小值是 .16、 2
2

17. 下列判断:(1)命题“若 q 则 p ”与“若 ?p 则 ?q ”互为逆否命题; (2)“ am ? bm ”是“ a ? b ”的充要条件;(3)“矩形的两条对角线相等”的否命题是
2 2

假命题;(4)命题“ ? ? ?1, 2? ”为真命题,其中正确的序号是

。(1)(3)(4)

18. 方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4 ? k k ?1

①若 1 ? k ? 4 ,则曲线 C 为椭圆;②若曲线 C 为双曲线,则 k ? 1 或 k ? 4 ;

2

③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? k ?

5 ; 2
.② ③

④曲线 C 不可能表示圆的方程. 其中正确命题的序号是

三、解答题: 19. 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a=2csin A. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2 ∵ A≠0,∴ C= sin sin 3 . 2

a 2sin A sin A 19.(1)由 3a=2csin A 及正弦定理得, = = . c sin C 3 π ∵ ABC 是锐角三角形,∴ △ C= . 3 π (2)∵ c= 7,C= ,由面积公式得 3

1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.① 2 3 2

π 由余弦定理得 a2+b2-2abcos =7, 即 a2+b2-ab=7, 3 ∴ (a+b)2=7+3ab.②
2

由① 得(a+b)2=25,故 a+b=5. ②

20.设 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根, q :方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根, 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

20、解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ?
2

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0



所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 . 若方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 , 即1 ? m ? 3 , 所以 p :1 ? m ? 3 .

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”. 所以 ?

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 .

故实数 m 的取值范围为 (1, 2] ? [3, ??) . 21. 如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、B 为两个顶点, a2 b2

已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标;
3

(2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

2 1 (3) 3 2 21、解:(1)由题设知:2a = 4,即 a = 2, 将点 (1, ) 代入椭圆方程得 2 ? 2 ? 1 , 2 2 b

解得 b2 = 3

2 2 ∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 x ? y ? 1 , 4 3

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) (2)由(Ⅰ)知 A(?2,0), B(0, 3) ,? k PQ ? k AB ? ∴PQ 所在直线方程为 y ? 3 ( x ? 1) , 2
? 3 ( x ? 1) ?y ? ? 2 由 得 ? 2 x y2 ? ? ?1 ?4 3 ?

3 , 2

8 y 2 ? 4 3 y ? 9 ? 0 设 P (x1 , y1) , Q (x2 , y2) , 则

y1 ? y 2 ? ?
? S ?F1PQ ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? , 2 8

? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2 22.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn (Sn ? an ) ? 2an ? 0
(Ⅰ)证明数列 ? (Ⅲ)设 bn ?

?1? ? 是等差数列;(Ⅱ)求 Sn 和数列 ?an ? 的通项公式 an ; ? Sn ?

Sn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n 22.解:(Ⅰ)∵ an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2), 且 Sn (Sn ? an ) ? 2an ? 0 1 1 1 ∴ Sn Sn?1 ? (Sn ? Sn?1) 0 即 ? ? 2 ? Sn Sn-1 2

?1? 1 ? 是以 1 为首项, 为公差的等差数列。 2 ? Sn ? 2 ?2 1 n+1 ? (Ⅱ)∵ ∴ Sn ? ∴当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n-1 ? n+1 n(n+1) Sn 2 因为 a1 ? 1 不满足上式
所以数列 ? 所以 ∴ an ?

1,

n =1

?2 ,n ? 2 n(n+1)

4

(Ⅲ) b n ?

Sn 2 2n , bn ? , T n? ∴ ∴ n n(n +1) n ?1

2 23.过点 (0, 4) ,斜率为 ?1 的直线与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 交于两点 A、B,如果弦 AB 的长

度为 4 10 。 ⑴求 p 的值; ⑵求证: OA ? OB (O 为原点)。

23、 解:⑴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 4 , 联立方程 ?

? y ? ?x ? 4 2 ,消去 y 得, x ? 2( p ? 4) x ? 16 ? 0 . 2 ? y ? 2 px

设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),得 x1 ? x2 ? 2( p ? 4), x1x2 ? 16, ? ? 4( p ? 4)2 ? 64 ? 0

AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
? 2 4( p ? 4) 2 ? 4 ? 16 ? 4 10
⑵ x1 ? x2 ? 2( p ? 4) ? 12, x1 x2 ? 16 解得 p ? 2

? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (? x1 ? 4)(? x2 ? 4) ? 2x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? 2 ?16 ? 4 ?12 ? 16 ? 0 ? OA ? OB
24.已知椭圆的两焦点为 F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求此椭圆的方程。 (Ⅱ)设直线 y ?

3 。 2

x ? m 与椭圆交于 P,Q 两点,且 PQ 的长等于椭圆的短轴长,求 m 的值。 2

24.解:(1) c ?

c 3 , ? a ? 2, c ? 3 ,所以 b ? 1 ? a 2 x2 ? y 2 ? 1。 所以,椭圆的方程为: 4 2 x ? y2 ? 1 2 2 4 (2)由题联立方程 消去 y,得到关于 x 的方程: x ? 2mx ? 2m ? 2 ? 0 1 y ? x?m 2 2 2 2 由△ ? 4m ? 4(2m ? 2) ? 0 解得: m ? 2 3,
设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 )

x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 2
5 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2
所以: m ? ?

PQ ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?
? 5 8 ? 4m2 ? 5 2 ? m2 ? 2 2

30 5

25.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原

5

点 O,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10。 a2 9 (1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点

F 的距离等于线段 OF 的长,若存在求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。
x2 y 2 ? ? 1 ,∴F(4,0), 25 9 若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上,又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;直线 CF

25.解: (1)圆 C:( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ; (2)由条件可知 a=5,椭圆

4 ? ?y ?x ? 5 ?x ?3 1 ? ? 的方程为 y-1= ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,设 Q(x,y),则 ? ,解得 ? 所以存 3 ? x ? 3y ? 4 ? 0 ? y ? 12 ?2 2 ? 5 ? ?

在,Q 的坐标为 ( ,

4 12 )。 5 5

6


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