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2016年湖北省高中预赛试题(高一年级)


准考证号____________________

2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 (高一年级)
(考试时间:5 月 15 日上午 8:00—10:00)
题号 得分 考生注意:1. 本试卷共两个大题(13 个小题) ,全卷满分 150 分。 2. 用圆珠笔或钢笔作答。 3. 不能使用计算器。 一、填空题(本题满分 90 分

,每小题 9 分。直接将答案写在横线 得分 评卷人 上。 ) 一 二 11 12 13 合计

性别

_____年级 姓名 (密封装订线内不要答题)

1.已知函数 f ( x) 满足: f (1) ? 2 , f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) 对定义域内任意 x 都成立.那么, 1 ? f ( x)

f (2016) =
2.不等式 3
| x ? 2|



? 3| x?1| ? 28 的解集为



3.从五个正整数 a, b, c, d , e 中任取四个求和,得到的和值构成集合 {44, 45, 46, 47},则

a?b?c?d ?e ?



3? 5? 7? 4.求值: cos ? cos ? cos ? cos ? 9 9 9 9

?



5. △ ABC 中, 角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c , 若 a ? 4 ,AD ? c ? b , D 是 BC 的中点, 则△ ABC 的面积的最大值为 . 6.如果存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 a cos x ? b cos 2 x ? 1 无实数解,则实数 b 的最 大值为_________. 7.已知质数 p, q 满足 q ? 2 p ? 1 ,则 p ? q ?
5 2

学校



2 8. 已知实数 x, y 满足:
市(区、县)

2 ?3 x

? 21?5 y ?

1 1 8x ? 32 y ? 8 .那么,xy ? , x ? ? 3, 2 y



9.已知 MN 是边长为 2 6 的等边△ ABC 的外接圆的一条动弦,MN =4, P 为△ ABC

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的边上的动点,则 MP ? PN 的最大值为

???? ??? ?



10.设 [a ] 表示不大于 a 的最大整数,则方程 [ ] ? [ ] ? 1 的最大正整数解为 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 ) 得分 评卷人

x 7

x 8



11.已知△ ABC 的三边长 a, b, c ( a ? b ? c )均为整数,且满足: (1) a, b, c 构成等比数列; (2) a, b, c 中至少有一个等于 100.

求符合要求的三元数组 (a, b, c) 的个数.

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得分

评卷人

12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足条件:
2

(1) ?4a ? b ? ?2a ; (2)当 | x |? 1 时, | f ( x) |? 1 . 证明:当 | x |? 2 时, f ( x) ? ?

5 . 4

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得分

评卷人

13.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (1) ?

10 ,且对任意实数 3


x, y ,恒有
f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y )
若数列 {an } 满足 an ? 3 f (n) ? f (n ? 1) , n ? N .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

24an * , n ? N , S n 是数列 {bn } 的前 n 项和,求证: Sn ? 1 . (3an ? 8) 2

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(密封装订线内不要答题)


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