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空间两条直线之间的位置关系


1.异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面

相交

只有一个 没有

共面 共面

平行
异面

没有

不共面

2.异面直线的画法

r />说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)

a

?

b
(2)

思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b
a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线

在如图所示的正方体中,指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线?
D1 A1 B1 C1

D A

C

B

平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a//b ? 即:a、b、c为直线,则 ? ? a // c c//b ? 注:
1.直线a,b,c 两两平行,可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质,叫做空间平行线的传递性.

例2 如图,空间四边行ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边 A 形EFGH是平行四边形.
证明: 连结BD

∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理,FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形 EFGH是什么图形?

H

等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.

4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点 任选 O, 如图所示,a,b是两条异面直线,
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, b a′ ? O P a 则这两条线所成 b′ θ a′ 的锐角θ (或直角), 称为异面直线a,b所成的角.

平 移
O

为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上。

b

a ?b
a
?

a'

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。 异面直线a和b所成的角的范围 0 ? ? ? 90
o

注1:异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关, 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.

注2:异面直线所成角的取值范围: 0? ? ? ? 90? 注3:求异面直线所所成角的步骤: 一作、二证、三求解
O a’ a b

α

典例剖析
例1 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直?

D1 A1 D B1

C1

C
B

A

小结:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解


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