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重庆市南开中学2016届高三下学期二诊模拟数学(理)试题 Word版含答案


重庆南开中学高 2016 级高三(下)二诊模拟考试 第 I 卷(选择题 共 60 分)

数学试题(理科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数

y ? lg x 的定义域为集合 A ,集合 B ? ?x 0 ? x ? 1? ,则 A ? B ? ( A、 ? 0, ?? ? B、 ?0,1? C、 ?0,1? D、 ? 0,1? ) D、 ) D、既不充分也不必要条件 ) )

3 ,则 tan ?? ? ? ? 的值是( 5 3 3 4 A、 ? B、 C、 ? 4 4 3 3、已知 a , b 为实数,则“ a ? b ? 2 ”是“ a ? 1且b ? 1 ”的(
2、已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 4、已知 f ? x ? ? e x ? sin x ? cos x ? ,则函数 f ? x ? 的图像 x ? A、 2 e B、 e 2
?

4 3

?
2

处的切线的斜率为( D、 2 e 2
?

C、 e

5、 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列,Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则 A、 ?2 A、3 开始 B、 ?3 B、4 C、2 ) D、6 C、5 D、3

S3 ? S 2 的值为 ( S5 ? S3



6、执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为(

m=1, i=1

m=m(2-i)+1

i=i+1

m=0?
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重庆名



是 输出 i

结束

?? ? ? 7、 将函数 f ? x ? ? 3 sin ? ? x ? ? 的图象分别向左和向右移动 之后的图象的对称中心重合, 则正实数 ? 的最小值 3? 3 ?
是( A、 ) B、

1 3 1 C、 D、 2 2 3 x ? y ? 4 ? 0 ? ? ?1 ? 8、设点 ? a, b ? 是区域 ? x ? 0 内的任意一点,则使函数 f ? x ? ? ax2 ? 2bx ? 3 在区间 ? , ?? ? 上是增函数的概率 ?2 ? ?y ? 0 ?

2 3

为( A、

) B、

1 3

2 3
B、6 ?

C、

1 2
C、12 ?

D、

1 4
) D、24 ?

9、某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球的表面积是( A、4 ?

10、已知点 A 是抛物线 C : x2 ? 2 py

? p ? 0? 上一点, O 为坐标原点,若以点 M ? 0,8? 为圆心, OA 的长为半径的圆
) D、 C、6

交抛物线 C 于 A, B 两点,且 ?ABO 为等边三角形,则 p 的值是( A、

3 8

B、2

2 3

11、已知 a ? 2b ? 1 且 b ? 1 ,则 A、 ?2,1 ? 2 2 ? ?

?

1 a ) ? 的取值范围( a b B、 ??,1 ? 2 2 ? C、 ? ? ?1 ? 2 2, ??

?

?

D、 ? ?1 ? 2 2, 4

?

12、如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E 、 F 分别在边 AD 、 BC 上,且 DE ? 2AE , CF ? 2 BF 。如果对于常 ??? ? ??? ? 数 ? ,在正方形 ABCD 的四条边上, 有且只有 6 个不同的点 P 使得 PE ? PF ? ? 成立,那么 ? 的取值范围是( ) A、 ? 0,7 ? B、 ? 4,7 ? C、 ? 0, 4 ? D、 ? ?5,16 ?

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相对应位置上。 13、若

z 1? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的值为 ? 1? i i



14、将甲乙等 5 名交警分配到三个不同的路口疏通交通,每个路口至少一人,且甲乙在同一路口的分配方案有 种。 15、已知 ?1 ? x ??1 ? 2x ? ? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? ? ?? a7 ? x ? 1? ,则 a3 ?
6 2 7


1

16 、已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且满足 2an ?1 ? 是 。

1 2 ? an ? an ?1 an

? n ? N ? ,则使得 a
*

? a2016 成立的 a1 的最大值

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 4sin Asin B ? 4cos2

A? B ? 2 ?2。 2

(1)求角 C 的大小; (2)已知

a sin B ? 4 , ?ABC 的面积为 8,求边长 c 的值。 sin A

18、 (本小题满分 12 分)在某高校的一次自主招生考试中,随机抽取了 100 名考生的成绩(单位:分) ,并把所得 数据列成了如下表所示的频数分布表: 组别 频数

? 40,50?
5

?50,60?
18

?60,70 ?
28
2

?70,80?
26

?80,90?
17

?90,100?
6

(1)求抽取的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;

(2)已知这次考试共有 2000 名考生参加,如果近似地认为这次成绩 z 服从正态分布 N ? ,? 2 (其中 ? 近似为样 本平均数 x ,? 2 近似为样本方差 s 2 ) ,且规定 82.7 分是复试分数线,那么在这 2000 名考生中,能进入复试的有多 少人?(结果取整数部分) (附: 161 ? 12.7 ,若 z ~ N ? ,? 2 ,则 P ? ? ? ? ? z ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 。 )

?

?

?

?

19、 (本小题满分 12 分)如图①,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ? 2 , AD ? 2 2 ,

E是AD 的中点, O是AC 与 BE 的交点。将 ?ABE 沿 BE 折起到 ?A1 BE 的位置,如图②。
(1)证明: CD ? 平面 A1OC ; (2)若平面 A1 BE ? 平面 BCDE ,求平面 A1 BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值。

20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上一点 P ?1, ? 与椭圆右焦点的连线垂直于 x 轴,直线 2 a b ? 2?

l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点(均不在坐标轴上) 。
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,若 ?AOB 的面积为 3 ,试判断直线 OA 与 OB 的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值; 若不是,说明理由。 21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? kx ? k ? R ? , g ? x ? ? ln x 。 (1)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象有公共点,求实数 k 的取值范围; (2)设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , ?a, b ? 0 ? a ? b ? ,若 ?c ? 0 ,使得 h ' ? c ? ?

h ? a ? ? h ?b ? a ?b

,求证: ab ? c ?

a?b 。 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于 ? O , AB 是 ? O 的直径, PA 是过点 A 的直线,且 ?PAC ? ?ABC 。 (1)求证: PA 是 ? O 的切线;

(2)如果弦 CD交AB 于点 E , AC ? 8 , CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 ,求 sin ?BCE 。

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,过点 P ?

? 3 3? 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 M , N 。 ? 2 ,2? ? ? ?

(1)写出直线 l 的参数方程; 1 1 ? (2)求 的取值范围。 PM PN 24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2 x ? 1 ? 1的解集为 M ,且 a ? M , b ? M 。 (1)试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小;

? 2 a?b 2 ? , , (2)设 max A 表示数集 A 中的最大数,且 h ? max ? ? ,求证: h ? 2 。 ? a ab b ?


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