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高二数学选修2-2精品测试题含答案


2013-2014 学年上学期高二数学期中复习试题
(选修 2-2) 班级 姓名

9、若直线 y=m 与 y=3x-x3 的图象有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围为( A.-2<m<2 m≥2 10、设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f ′(x),且函数 y=(1-x)f ′(x)的图象如 右下图所示,则下列结论中一定成立的是( A

.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) ) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 11、设 S 是至少含有两个元素的集合.在 S 上定义了一个二元运算 a,b∈ S,对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与 任意的 a,b∈ S,有 a*(b*a)=b,则对任意的 a,b∈ S,下列等式中不恒成立的是 ( A.(a*b)*a=a B.[a*(b*a)]*(a*b)=a C.b*(b*b)=b ) B.-2≤m≤2 C.m<-2 或 m>2 D.m≤-2 或

)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确. ) z1 z1 1、已知 a∈ R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为( ) z2 z2 2 2 A.1 B .i C. D. i 5 5 2、正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确

“*”(即对任意的 之对应).若对 )

a1 a2 3、设 xi,ai(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两位同学由命题:“若 x1+x2=1,则 + ≤( a1+ a2)2”分别推 x1 x2 理得出了新命题: 甲:若 x1+x2=1,则 + ≤(a1+a2)2; x1 x2 a1 a2 a3 乙:若 x1+x2+x3=1,则 + + ≤( a1+ a2+ a3)2. x1 x2 x3 他们所用的推理方法是( A.甲、乙都用演绎推理 ) B.甲、乙都用类比推理 a2 1 a2 2

D.(a*b)*[b*(a*b)]=b

12、 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? R) .若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2 ,f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? , 且函数 g ( x) ? x2 ? nx ? mf ?( x) (m , n ? R) 当且仅当在 x ? 1 处取得极值,则 m 的取值范围是( A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(—∞ ,0) D.(—∞ ,0]

1 2



二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中横线上.)
13、复数 z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为____________. 14、由抛物线 y2=8x(y>0 )与直线 x+y-6=0 及 y=0 所围成的图形的面积为__________. D.y=2x+1 15、已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.若 g(x) =x +m-lnx 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为_________.源:Z|xx|k.Com] n 16、自然数列按如图规律排列,若 2 013 在第 m 行第 n 个数,则 =__________. m 1 3 4 10 11 ( ) … D.由 a 的取值确定 ) 2 5 6 9 8 7 12 13 14 15

C.甲用演绎推理,乙用类比推理 D.甲用归纳推理,乙用类比推理 4、曲线 y=e2x 在点(0,1)处的切线方程为( A.y=x+1 B.y=-2x+1 ) C.y=2x-1

5、求由曲线 y=2x2 与直线 x=0,x=t(t>0),y=0 所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成 n 个 小区间,则第 i 个区间为( A.[ i-1 i , ] n n ) t(?i-1)? ti C.[ , ] n n t(?i-2)? t(?i-1)? D.[ , ] n n

i i+1 B.[ , ] n n

6、观察(x2)′=2x, (x4)′=4x3, (cosx)′=-si nx, 由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数, 则 g(-x)=( A. f(x) B. -f(x) ) C. g(x) D. -g(x)

7、若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是 A.P>Q B.P=Q C.P<Q

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
1 17、(10 分)已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间.

8、在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 x· f ′(x)<0 的解集为( A.( -∞,-1)∪ (0,1) C.(-2,-1)∪ (1,2) B.(-1,0)∪ (1,+∞) D.(-∞,-2)∪ (2,+∞)

21、 (12 分)一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 千米时 18、(12 分)设 f(x)= 2x ,x =1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*). x+2 1 的燃料费是每小时 6 元,而其他与速度 无关的费用是每小时 96 元,问此轮船以何种速度航行时,能使行 驶每千米的费用总和最小?

(1)求 x2,x3,x4 的值; (2)归纳并猜想{xn}的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想.

22、 (12 分)已知函数 1 19、(12 分)已知函数 f(x)= ax3+(a-2)x+c 的图象如图所示. 3 (1)求函数 y=f(x)的解析式; kf ′(?x)? (2)若 g(x)= -2ln x 在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范 x 围. 调递增. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 (3)若函数 y ? log 2

1 2 f ?x ? ? ? x 4 ? x 3 ? ax 2 ? 2 x ? 2 在区间 ?? 1,1? 上单 调递减,在区间 ?1,2? 上单 4 3

f ?2 x ? ? m 有三个不同的实数解,求实数 m 的取值范围;

? f ?x? ? p?的图象与 x 轴无交点,求实数 p 的取值范围.

20、(12 分)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,求实数 a 的取值范 围. 21、

参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1-5 ACBDC 6-10 DCAAD 11-12 AD z1 2+ai (2 ? ai)(1 ? 2i) 2-2a 4+a z1 1、 【解析】由 = = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 =i,其虚部为 1. z2 1-2i 5 5 z2 5 3、解析:由甲、乙都是特殊到特殊的猜想,故选 B. 4、 【解析】y=e2x 的导函数为 y? ? 2e2 x ,在点(0,1)处的切线斜率 k ? y?
y ? 1 ? 2 x ,即 y ? 2 x ? 1
x ?0

则 g ?( x) ?

x3 ? nx 2 ? 2m ( x ? 1)( x 2 ? 2mx ? 2m) ? ,又因为 g ( x) 仅在 x ? 1 处有极值, x2 x2

? ?) 上恒成立, 所以 x2 ? 2mx ? 2m≥0 在 (0 ,
当 m > 0 时,由 ?2m < 0 ,即 ?x0 ? (0 , ? ?) ,使得 x02 ? 2mx0 ? 2m < 0 ,

? 2e2?0 ? 2 ,所以切线方程为

所以 m > 0 不成立,故 m ≤ 0 ,

? ?) 时, x2 ? 2mx ? 2m≥0 恒成立, 又 m ≤ 0 且 x ? (0 ,
所以 m ≤ 0 ; (注:利用分离变量方法也可求出 m ≤ 0 )

t t t 5、解析:选 C.把区间[0,t]等分成 n 个小区间后,每个小区间的长度为 ,n 个小区间分别为[0, ],[ , n n n t?i-1? ti ?n-1?t 2t 2t 3t ],[ , ],…,[ , ],…,[ ,t](其中 i=1,2,3,…,n). n n n n n n 6、 【解析】通过观察所给的结论可知, 若 f(x)是偶函数, 则导函数 g(x)是奇函数, 故选 D. 7、 【解析】∵ P2=2a+7+2 a a+7=2a+7+2 a2+7a,Q2=2a+7+2 a+3 a+4=2a+7+ 2 a +7a+12,∴ P <Q ,∴ P<Q. 8、 【解析】 (1)当 x∈ (-∞,-1)和 x∈ (1,+∞)时,f(x)是增函数, ∴ f ′(x)>0,因此 x<0,∴ x· f ′(x)<0 的范围是(-∞,-1). (2)当-1<x<1 时,f(x)递减,∴ f ′(x)<0. 由 x· f ′(x)<0,得 x>0,∴ 0<x<1. 故 x· f ′(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪ (0,1). 9、 【解析】 y′=3(1-x)(1+x),由 y′=0,得 x=± 1,∴ y 极大=2,y 极小=-2,∴ -2<m<2. 10、解析:选 D.当 x<-2 时,y=(1 -x)f′(x)>0,得 f′(x)>0; 当-2<x<1 时,y=(1-x)f′(x)<0.得 f′(x)<0; 当 1<x<2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)<0; 当 x>2 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函 数, ∴函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2).源:学科网] 11、 【解析】此题只有一个已知条件:a*(b*a)=b.B 中 a*(b*a)=b 原式变为 b*(a*b)=a,成立. C 中相当于已知条件中 a 替换为 b,明显成立.D 中,b*(a*b)=a,原式变为(a*b)*a=b 成立. 12、解析:函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2 ,f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? , 则 f ?(2) ? 1 ,即 a ? ?2 ;
2 2 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 5 分,共 20 分.)
13、解析:|z1-z2|=|(cos θ-sin θ)+2i|= ?cos θ-sin θ?2+4 = 5-2sin θcos θ = 5-sin 2θ≤ 6. 14、 【解析】由题意,作出图形(如图所示), 解方程组 ? 答案: 6

18, ? x=2, ? x= ,得 ? 或? (舍去), y = 4 y =- 12 x + y - 6 = 0 ? ? ? ? y 2=8x,
2 6

所以 y2=8x(y>0)与直线 x+y-6=0 的 交点为(2,4),所以所求面积为 S= ? 0 8xdx ? ? 2 ? 6 ? x ? dx

2 3 2 1 ? 8 ? x2 0 ?(6x ? x 2 ) [ 3 2 2
? 16 1 1 16 40 ? [(6 ? 6 ? ? 62 ) ? (6 ? 2 ? ? 2 2 )] ? ?8 ? . 3 2 2 3 3

6

1 x-1 15、答案:ln2 解析:g′(x)=1- = ,当 x≥2 时,函数 g (x)为 x x 增函数,因此 g(x)的值域为[2+m-ln2,+∞),因此 2+m-ln2= 2,故 m=ln2.[来源:Z|xx|k.Com] 20 16、答案: 解析:观察图中数字的排列规律,可知自然数的排列个数呈等差数列,所以其总个数之和 21 m?m+1? 62× 63 63× 64 62× 63 与行数 m 有关,为 . 而 <2 013< ,∴ m=63.而 2 013- =60,∴ n=60. 2 2 2 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) b 1 17、解:(1)∵ f′(x)=2ax+ .又 f(x)在 x=1 处有极值 . x 2 1 ? 1 ? 1 ? f (1) ? , ?a=2, ∴? 解得 a= ,b=-1. 2 即? 2 ? ?2a+b=0. ? f ?(1) ? 0, ?

2m x 3 ? nx 2 ? 2m 1 2 2 , x ? nx ? m(2 ? ) ,所以 g ?( x) ? x ? n ? 2 ? x x2 2 x 因为 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,故 g ?(1) ? 0 ,从而可得 n ? ?1 ? 2 m ,
所以 g ( x) ?

1 (2)由(1)可知 f(x)= x2-ln x,其定义域是(0,+∞), 2 1 ( x ? 1)( x ? 1) 且 f′(x)=x- = . x x 由 f′(x)<0,得 0<x<1; 由 f′(x)>0,得 x>1. 所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). 2 1 2× 2× 3 1 2 2 2 2 18、 【解析】(1)x2=f(x1)= ,x3=f(x2)= = = ,x4=f(x3)= = . 3 2 2 4 1 5 +2 +2 3 2 2 (2)根据计算结果,可以归纳猜想出 xn= . n+1 2 (3)① 当 n=1 时,x1= =1,与已知相符,归纳出的公式成立. 1+1 2 2× k + 1 2 2xk 4 2 ② 假设当 n=k(k∈ N*)时,公式成立,即 xk= ,那么,xk+1= = = = , 2 k+1 xk+2 2k+4 (k ? 1) ? 1 +2 k+1 所以,当 n=k+1 时公式也成立. 2 由① ② 知,n∈ N*时,有 xn= 成立. n+1 19、 【解】 (1)∵f′(x)=ax2+a-2, 由图可知函数 f(x)的图象过点(0,3),且 f′(1)=0.
? ? ?c=3, ?c=3, 得? 即? ?2a-2=0, ?a=1. ? ? 1 3 ∴f(x)= x -x+3. 3 kf′?x? k (2)∵g(x)= -2ln x=kx- -2ln x, x x 2 k 2 kx +k-2x ∴g′(x)=k+ 2- = . x x x2 ∵函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞), ∴若函数 y=g(x)在其定义域内为单调增函数,则函数 g′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 kx2+k-2x≥0 在区间(0,+∞)上恒成立. 2x 即 k≥ 2 在区间(0,+∞)上恒成立. x +1 2x 令 h(x)= 2 ,x∈(0,+∞), x +1 2x 2 则 h(x)= 2 = ≤1(当且仅当 x=1 时取等号). 1 x +1 x+ x ∴k≥1. ∴实数 k 的取值范围是[1,+∞). 20、解:若 a=0,则 f′(x)=0,函数 f(x)不存在极值;

若-1<a<0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,故函数 f(x)在 x=a 处取得极大 值; 若 a<-1,当 x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,-1)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小 值, 综上,a 的取值范围是(-1,0). 21、解:设轮船速度为 x 千米/时(x>0),每小时的燃料费用为 Q 元,则 Q=kx3. 由 6=k× 103 可得错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。, ∴轮船行驶中每千米的总费用错误!未找到引用源。, .令 y′=0 得 x=20. 当 x∈(0,20)时,y′<0, 此时函数单调递减; 当 x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增, ∴当 x=20 时,y 取得最小值, 因此当轮船以 20 千米/时的速 度航行时,行驶每千米的费用总和最小,为错误!未找到引用源。元. 22、解:(1)由 f ' ?1? ? 0 ? a ?

1 经检验符合 ;(不写检验扣 1 分) 2,

(2) f ' ?x? ? ??x ? 1??x ? 1??x ? 2? 易知函数在 ?? ?,?1? ?, ?? 1,1? ? ?1,2? ? ?2,?? ? ? 所以,函数有极大值 f ?? 1? ? ?

5 8 37 , f ?2? ? ? ,有极小值 f ?1? ? ? , 12 3 12

? 37 8 ? x ,? ? ; 注意到 2 ? 0 ,而 f (0) ? ?2 ,结合图象可知: m ? ? ? ? 12 3 ?
(3)若函数 y ? log 2

? f ?x? ? p?的图像与 x 轴无交点,则必须有

?? f ?x ? ? p?max ? 0 ? f ?x ? ? p ? 0有解 ,即 ? ? ? f ?x ? ? p ? 1无解 ?1不在y ? f ?x ? ? p的值域内
而 ? f ?x? ? p?max ? ?

5 5 ? ? p ,函数 y ? f ?x ? ? p 的值域为 ? ? ?,? ? 12 12 ?

? p ? [来源:学*科*网] ?

? 5 ? ? p?0 ? 5 17 ? 12 所以有: ? , 解之得: ? p ? 5 12 12 ?1 ? ? ? p ? 12 ?

若 a=-1,则 f′(x)=-(x+1)2≤0,函数 f(x)不存在极值; 若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值;


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