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【数学】2.2 等差数列(人教A版必修5) 课件1


第二章 数列 2.2 等差数列

复习回顾
我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一 次,可以得到数列: 0,5,____,_____,…. ① 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的

生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂
鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位

降低2.5m,最

低降至5m,那么从开始放水算起,到
可以进行清理工作的那天,水库每天的水位而组成 数列(单位:m): 18,15.5,13,10.5,8,5.5. ②

上面两个数列有一个共同特点:

从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一常数 .

一、

等差数列定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一 项的差等于同一常数,那么这个数列就叫等差数列,这 个常数叫做等差数列的公差.
定义中的光键词是什么?

课堂练习:
判定题:下列数列是否是等差数列?

①. 9, 7, 5, 3, …, -2n+11, …;
②. -1, 11, 23, 35, …, 12n-13, …; ③. 1, 2, 1, 2, …;


√ ×

④. 1, 2, 4, 6, 8, 10, …;
⑤. a, a, a, a, …, a, … ;

×


注意公差d:一定是由后项减前项所得. 由等差数列的定义知an-an-1=d, 当d>0时,an>an-1,则为递增数列; 当d=0时,an=an-1,则为常数列; 当d<0时,an<an-1,则为递减数列.

二、等差中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后三个数 就会成为一个等差数列:
(1)2 , 3 , 4 (3)-12, -6 , 0 (2)-1, 2 , 5 (4)0, 0 , 0

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成 等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.

a?b 其中A ? . 2

三、等差数列通项公式
一般地,如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 公差 是 d ,我们根据等差数列的定义,可以得到
a2 ? a1 ? d,a3 ? a2 ? d,a4 ? a3 ? d, ...

所以 a2 ? a1 ? d,

a4 ? a3 ? d ? ? a1 ? 2d ? ? d, ? a1 ? 3d,


a3 ? a2 ? d ? ? a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d,

因此, an ? a1 ? (n ? 1 )d

还可以用累加法得到等差数列通项公式: 一般地,如果等差数列?an ? 的首项是 a1 公差是 d ,我们根据等差数列的定义,可以 得到

a2 ? a1 ? d, a3 ? a2 ? d, ... an ? an ?1 ? d .
an ? a1 ? (n ?1)d. 累加得:

? an ? a1 ? (n ?1)d.

四、等差数列的性质
等差数列中,若m ? n ? p ? q, 则 a m ? a n ? a p ? aq .

证明: am ? an ? a1 ? ?m ? 1? ? d ? a1 ? ?n ? 1?? d ? 2a1 ? ?m ? n ? 2? ? d ? 2a1 ? ? p ? q ? 2? ? d

a p ? aq ? a1 ? ? p ? 1? ? d ? a1 ? ?q ? 1? ? d ?m ? n ? p ? q ? a m ? a n ? a p ? aq

五、运用通项公式解题
1、求某一项或项数
例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项.

(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?
如果是,是第几项?

解:(1)由a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20, 得
a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49.

(2)由a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4,得这个数 列的通项公式为an ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1. 由题意知,本题是要回答是否存在正整数n, 使得-401=-4n ? 1成立.解这个关于n的方程, 得n ? 100,即 ? 401是这个数列的第100项.

六、实际应用举例
例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元, 即最初的4km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出

租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要
支付多少车费?

解:根据题意,该市出租车的行程大于或等于4km时, 每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立 一个等差数列 ?an 来计算车费. 令 a1 ? 11.2 ,表示4km处的车费,公差 d ? 1.2.那么, 11 , 当出租车行至14km时, ____

?

n?

此时需要支付车费 a11

? 11.2 ? (11 ?1) ?1.2 ? 23.2 (元).

答:需要支付车费23.2元.

七、等差数列的证明
例3 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q, 其 中 p, q 为常数,那么这个数列是等差数列吗?
分析:判定 ?an ? 是否为等差数列,可以利用等 差数列的定义,也就是说 an ? an?1 (n ? 1) 是不是一 个与 n 无关的常数. 解:取数列?an ? 中的任意相邻两项 an 与 an?1 (n ? 1) ,求差得

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ?1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ?p 它是个与 n 无关的常数,所以 ?an ? 是等差数列.

练习1 在等差数列{an}中, (1)已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20;
(2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8.

解: (1)由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15= 可得a1+a20=10. (2) a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10, ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15.

练习2:
(1)求等差数列 3 项. ,7 , 11 ,…的第4项和第10 ,9 ,16 ,…的项?

(2)100是不是等差数列 2

如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
(3) -20是不是等差数列 0 ,-3.5 ,-7 ,…的

项?如果是, 是第几项?如果不是,说明理由.

解: (1)∵ a1=3 , d=7-3= 4
∴ an=3+4(n-1) = 4n-1 ∴ a4=4×4-1=15 , a10=4×10 –1=39 (2)∵ a1=2 , d=9-2=7 ∴ an=2+7(n-1)

= 7n-5 ∵ 100=7n-5 ∴ n =15
∴ 100是该数列的第15项.

(3)∵ a1=0 , d= -3.5 -0 = -3.5 ∴ an=0-3.5(n-1)

= -3.5n+3.5
∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解,

∴ -20不是该数列的项.

练习3:
在等差数列{an}中, (1)已知 a4=10 , a7=19 ,求 a1与 d .

(2)已知 a3=9 , a9=3 ,求 a12 .

解: (1)由题意得

a1+3d= 10


② ① ②

a1+6d=19 解得: d=3 , a1=1 . (2)由题意得 a1+2d= 9 a1+8d=3

解得: d= -1 , a1=11 .
∴ an=11-1(n-1)=12-n. ∴ a12= 12-12 =0.

小结
1、掌握等差数列、等差数列的公差、等差中项等概念.
an ? a1 ? (n ?1) ? d. 2、掌握等差数列通项公式的一般形式:

3、已知等差数列通项公式中的任意三个量,能用通 项公式,求另外一个量. 4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项.
5、会用定义证明某个数列是等差数列.


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