数学人教A版必修4第二章教案：2.3.4《平面向量共线的坐标表示》

第 6 课时 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分

别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数 x 、 y ，使得 a ? xi ? yj 把 ( x , y ) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ? ( x , y ) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标， 特别地，
i ? (1, 0 ) ， j ? ( 0 ,1 ) ， 0 ? ( 0 , 0 ) .

2．平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) ， b ? ( x 2 , y 2 ) ， 则 a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ， a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ， ? a ? (? x , ? y ) . 若 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB ? ? x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 ? 二、讲解新课：
? ? a ∥b

( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
? ?

?

设 a =(x1， y1) ， b =(x2， y2) 其中 b ? a .
?
?

?

?

由 a =λ b 得， (x1， y1) =λ (x2， y2)

? x1 ? ? x 2 ? ? ? y1 ? ? y 2

消去λ ，x1y2-x2y1=0

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探究： （1）消去λ 时不能两式相除，∵y1， y2 有可能为 0， ∵ b ? 0 个不为 0 （2）充要条件不能写成
y1 x1 ? y2 x2

?

∴x2， y2 中至少有一

∵x1， x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式： a ∥ b

?

?

(b ?0 ) ?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

三、讲解范例： 例 1 已知 a =(4，2)， b =(6， y)，且 a ∥ b ，求 y. 例 2 已知 A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断 A，B，C 三点之间的位置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点， P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标； (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1，x)与 b =(-x， 2)共线且方向相同，求 x 解：∵ a =(-1，x)与 b =(-x， 2) 共线 ∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同
?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x= 2

例 5 已知 A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量 AB 与 CD 平行吗？直线 AB 与 平行于直线 CD 吗？ 解：∵ AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD

又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ， AB =(2， 4)，2×4-2×6?0 ∴ AC 与 AB 不平 行 ∴A，B，C 不共线 四、课堂练习： 1.若 a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且 a∥b，则 y=（ A.6 B.5 C.7 ） D.8 ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

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2.若 A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则 x 的值为（ A.-3 B.-1 C.1 D.3

）?

3.若 AB =i+2j， DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位向量).
AB 与 DC 共线，则 x、y 的值可能分别为（

） D.2，4 . . .

A.1，2

B.2，2

C.3，2

4.已知 a=(4，2)，b=(6，y)，且 a∥b，则 y=

5.已知 a=(1，2)，b=(x，1)，若 a+2b 与 2a-b 平行，则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则 x= 五、小结 （略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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