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高中数学必修4教案


第三章 三角恒等变换 本章教材分析 本章知识框图

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些 公式进行简单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一. 在本册第一章,学生接触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导 两角差的余弦公式,由此出发导出其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单 的三角恒等变换.三

角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学 习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算 能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用. 本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学习变换;一条暗线就是 发展推理能力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中, 也体现在建立公式的过程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提 出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三 角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包 括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化运用数学思想方法指导设 计变换思路的意识. 突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进 行引导,本章不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中 体现的数学思想方法.例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了 数形结合思想以及向量方法的应用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正 弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,在这个过程中,始终引导学 生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗透了观察、类比、推广、 特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用, 对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习惯能起到 积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的 总结.例如,在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2α 是 α 的二倍,4α 是 2α 的 二倍,这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强思想方法而设置的. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点” 和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变 形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求 我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握 数学规律和通性通法上. 教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难 度降低,但教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度. 本章教学时间约需 8 课时,具体分配如下(仅供参考): 节 次 标 题 课 时 3.1.1 两角差的余弦公式 1 课时

3.1.2 3.1.3 3.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 简单的三角恒等变换 本章复习 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 整体设计

2 课时 1 课时 2 课时 2 课时

教学分析 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题. 在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个 问题:①实际问题中存在研究像 tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需 要;② 实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与 α、45° 单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际 问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数 学知识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对 cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行 猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发 展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利 用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出 α-β 角,利用学 过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量 知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:① 在回顾求角的余弦有哪些 方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;② 结合有关图形,完成运用向量方法 推导公式的必要准备;③ 探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓 住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运 用分类讨论的思想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:① 要 使学生了解公式的由来;② 使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③ 使学生掌握公 式的推导和证明;④ 通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关 问题. 三维目标 1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三 角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解, 培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想 在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来 分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用 辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学 生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结 合等数学思想方法. 重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 课时安排

1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程 的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:① 实 际问题中存在研究像 tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;② 实际问题 中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与 α、 单角的三 45° 角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课. 思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45° =
3 2 ,cos30° = ,由此我 2 2

们能否得到 cos15° =cos(45° )=?这里是不是等于 cos45° -30° -cos30° 呢?教师可让学 生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢?cos(α-β) 等于什么呢?这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差 的余弦公式”.这是全章公式的基础. 推进新课 新知探究 提出问题 ① 请学生猜想 cos(α-β)=? ② 利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 α、 的三角函数来表示 cos(α-β) β 呢? ③ 利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α-β)=? ④ 细心观察 C(α-β)公式的结构,它有哪些特征?其中 α、β 角的取值范围如何? ⑤ 如何正用、逆用、灵活运用 C(α-β)公式进行求值计算? 活动:问题① ,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想, 有的同学可能就首先想到 cos(α-β)=cosα-cosβ 的结论,此时教师适当的点拨,然后 让学生由特殊角来验证它的正确性.如 α=60°,β=30°,则 cos(α-β)=cos30°=
1? 3 ,这一反例足以说明 cos(α-β)≠cosα-cosβ. 2 3 ,而 2

cosα-cosβ=cos60°-cos30° =

让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需 一个反例即可. 问题② ,既然 cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么 cos(α-β)究竟等于什么呢?由于这里涉 及的是三角函数的问题,是 α-β 这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角 函数线来探究呢?

图1

如图 1,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠ POP1=β,则∠ POx=α-β.过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是角 α-β 的余弦线,即 OM=cos(α-β),这里就是要 用角 α、β 的正弦线、余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cosβ,AP 表 示 sinβ, 并 且 ∠ PAC=∠ 1Ox=α. P 于 是 ,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα, 所 以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角 α、β、α-β 是有条件限制的, 即 α、β、α-β 均为锐角,且 α>β,如果要说明此结果是否对任意角 α、β 都成立,还要 做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2 问题③ ,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2, 在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α、β,它们的终边与单位 圆 O 的交点分别为 A、B,则 OA =(cosα,sinα), OB =(cosβ,sinβ),∠ AOB=α-β. 由向量数量积的定义有 OA · =| OA || OB |·cos(α-β)=cos(α-β), OB 由向量数量积的坐标表示有

OA · =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, OB
于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概 念中,角 α-β 必须符合条件 0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于 α、β 都是任意角,α-β 也 是任意角,因此就是研究当 α-β 是任意角时,以上公式是否正确的问题.当 α-β 是任 意角时,由诱导公式,总可以找到一个角 θ∈ [0,2π),使 cosθ=cos(α-β),若 θ∈ [0,π], 则 OA · OB =cosθ=cos(α-β). 若 θ∈ [ π,2π ] , 则 2π-θ∈ [ 0,π ] , 且

OA · =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). OB
由此可知,对于任意角 α、β 都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β )) 此公式给出了任意角 α、β 的正弦、余弦值与其差角 α-β 的余弦值之间的关 系,称为差角的余弦公式,简记为 C(α-β).有了公式 C(α-β)以后,我们只要知道 cosα、 cosβ、sinα、sinβ 的值,就可以求得 cos(α-β)的值了. 问题④ ,教师引导学生细心观察公式 C(α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左 边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导

过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空, 如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值就可以求得 cos(α-β) 的值了. 问题⑤ ,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用 则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察 能力和熟练的运算技巧.如 cos75° cos45° +sin75° sin45° =cos(75° )=cos30° -45° =
3 , 2

cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ. 讨论结果:① —⑤ 略. 应用示例 思路 1 例 1 利用差角余弦公式求 cos15° 的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15° ,它可以拆分为哪些特殊角的差,如 15° =45° 或者 15° -30° =60° ,从而就可以直 -45° 接套用公式 C(α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具 体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法. 对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究. 解:方法一:cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

方法二:cos15° =cos(60° )=cos60° -45° cos45° +sin60° sin45°
1 2 2 3 6? 2 ? ? ? . = × 2 2 2 2 4

点评:本题是指定方法求 cos15° 的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把 注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特 殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上 不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会. 变式训练 1.不查表求 sin75° ,sin15° 的值.? 解:sin75° =cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 3 2 4

sin15° 1 ? cos2 15? = 1 ? ( =

6? 2 2 8?2 6? 2 6? 2 ) = ? . 4 16 4

点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的 诱导公式,不难得到上面的解答方法. 2.不查表求值:cos110° cos20° +sin110° sin20° . 解:原式=cos(110° )=cos90° -20° =0.

点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学 生细心观察,再结合公式 C(α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到 cos(110° ).这 -20° 就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性. 4 ? 5 例 2 已知 sinα= ,α∈ ,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. ( 5 2 13 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生 不难发现,欲求 cos(α-β)的值,必先知道 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值,然后利用公式 C(α-β)即可求解.从已知条件看,还少 cosα 与 sinβ 的值,根据诱导公式不难求出,但是 这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角 α、 所在的象限,准确判断它 β 们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成. 4 ? 解:由 sinα= ,α∈ ,π),得 ( 5 2

4 3 cosα= ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 5 5
又由 cosβ= ?
5 ,β 是第三象限角,得 13

sinβ= ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3 5 4 12 33 = (? ) ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65 点评:本题是直接运用公式 C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应 作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范 围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯. 变式训练 4 5 已知 sinα= ,α∈ (0,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 13 解:① α∈ 当 [ 又由 cosβ= ?
4 ? 4 3 ,π)时,且 sinα= ,得 cosα= ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 5 2 5 5

5 ,β 是第三象限角,得 13
12 5 2 ) =? . 13 13

sinβ= ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (?

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3 5 4 12 33 = (? ) ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65. 4 ? ② α∈ 当 (0, )时,且 sinα= ,得 5 2

4 3 cosα= 1 ? sin 2 a ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5

又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13

sinβ= ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3 5 4 12 63 = ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65 点评:本题与例 2 的显著的不同点就是角 α 的范围不同.由于 α∈ (0,π),这样 cosα 的符号可正、 可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角 α 进行分 类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不 漏. 思路 2 例 1 计算:(1)cos(-15° ); (2)cos15° cos105° +sin15° sin105° ; (3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15° ,思考它 可以拆分为哪些特殊角的差,如-15° =15° 或-15° -30° =45° ,然后套用公式求值即 -60° 可.也可化 cos(-15° )=cos15° 再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式 C(α-β) 的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

(2)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=cos90° =0. (3)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同 角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下 牢固的基础. 1 11 ? 例 2 已知 cosα= ,cos(α+β)= ? ,且 α、β∈ (0, ),求 cosβ 的值. 7 14 2 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究 α、α+β、β 之间的 关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,然后利用公式 C(α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由 α、β 的 取值范围求出 α+β 的取值范围,这是很关键的一点,从而判断 sin(α+β)的符号进而 求出 cosβ. ? 解:∵ α、β∈ (0, ),∴ α+β∈ (0,π). 2 1 11 又∵ cosα= ,cos(α+β)= ? , 7 14 ∴ sinα= 1 ? cos2 a ?
4 3 , 7

sin(α+β)= 1 ? cos2 (a ? ? ) ?

5 3 . 14

又∵ β=(α+β)-α, ∴ cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα = (?
11 1 5 3 4 3 1 )? ? ? ? . 14 7 14 7 2

点评:本题相对于例 1 难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是 α+β 的取值范围确定,也 是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题. 变式训练 1.求值:cos15° +sin15° . 解:原式= 2 (
2 2 cos15° + sin15° 2 (cos45° )= cos15° +sin45° sin15° ) 2 2

= 2 cos(45° )= -15°

= 2 cos30°

6 . 2

3 4 2.已知 sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,求 cos(α-β)的值. 5 5 3 2 4 解:∵ (sinα+sinβ)2=( ) ,(cosα+cosβ)2=( )2, 5 5 以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α-β)=1, 1 ∴ cos(α-β)= ? . 2 点评:本题又是公式 C(α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个 和式两边平方,从而得到公式 C(α-β)中 cosαcosβ 和 sinαsinβ 的值,即可求得 cos(α-β) 的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力. 4 1 3.已知锐角 α、β 满足 cosα= ,tan(α-β)= ? ,求 cosβ. 5 3 4 3 解:∵ 为锐角,且 cosα= ,得 sinα= . α 5 5 ? ? 又∵ 0<α< ,0<β< , 2 2 ? ? ∴ <α-β< . 2 2 1 又∵ tan(α-β)= ? <0, 3

∴ cos(α-β)=

3 10

.
1 10

从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)= ?

.

∴ cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
4 3 3 1 = × ? ? (? ). 5 10 5 10

=

9 10 . 50

知能训练 课本本节练习. 解答: ? ? ? 1.(1)cos( -α)=cos cosα+sin sinα=sinα. 2 2 2 (2)cos(2π-α)=cos2πcosα+sin2πsinα=cosα. 2.
2 . 10 15 3 ? 8 . 34 2 7 ?3 5 . 12

3.

4.

课堂小结 1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既 可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学 生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究?(2)利用差角 余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地 运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角 函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优 化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的. 作业 课本习题 3.1 A 组 2、3、4、5. 设计感想 1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探 索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数 学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推 导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学 生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性. 2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式 C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的 正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样 去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们 中学数学教育的最终目的. 3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推

理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公 式、 学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生 发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学 的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.


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