nbhkdz.com冰点文库

高一数学必修3《概率》公式总结以及例题


§3.
? ?
可能事件( impossible event )

概率

事件:随机事件( random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不

随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,

实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常 数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个 常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是 一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率 的近似值

?

概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

② 用?和?分别表示必然事件和不 可能事件, 则有P??? ? 1, P??? ? 0 ③如果事件

A和B互斥, 则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

?

古典概率(Classical probability model) :① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事 件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n , 则每一个基本事件发生的概率都是

1 ,如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 n m P ? A? ? n

?

几何概型 (geomegtric probability model) : 一般地, 一个几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ? A? ?

d的 侧 度 D的 侧 度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度的意义由 D 确定, 一般地,

线段的侧度为该线段的长度; 平面多变形的侧度为该图形的面积; 立体图像的侧度为其 体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界, 在区域 D 内随机地取点,指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的,落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A

?独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件 , 则 P?AB? ? P? A?P?B? ,
若 A1 , A2 , ..., An 为两两独立的事件 , 则 P?A1A 2 ...An ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ? 颜老师说明: ① 若 A , B 为互斥事件 , 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生, 但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空 集 ② 对立事件是指的两个事件, 而且必须有一个发生, 而互斥事件可能指的很多事 件, 但最多只有一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来 看: 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集, 但两个对立事件的并集是全集 , 而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 , 而两个 互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 则 有

P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦

一般地,如果

A1 , A2 ,..., An 两 两 互 斥 , 则 有


P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在

??

本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,...,An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题 中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型 的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课 标试验教科书-苏教版)的例题

?例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率? 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球,2 个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路 有不同的解法 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”

?PA ?

? ?

1 (6 ? 5)

? 2

1 1 14 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - ? 15 15 15

? ?

14 . 15 6?5 ? 15 种情况,设事件 A 为“选 解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 2 4?3 ? 14 取 2 个球至少有 1 个是红球”, 而事件 A 所含有的基本事件数有 4 ? 2 ? 2
答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

所以 P ? A ? ?

14 15 14 . 15

答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

解法 3: (独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 A 为“选取 2 个球至 少有 1 个是红球” ,事件 A 有三种可能的情况:1 红 1 白;1 白 1 红;2 红,对应的概率分 别为:

4 2 2 4 4 3 14 ? ? ? ? ? ? 6 5 6 5 6 5 15 14 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15 P ? A? ?

4 2 2 4 4 3 ? , ? , ? , 则有 6 5 6 5 6 5

评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解用 不同的方法,但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,求 至少有 1 个是红球的概率? 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A , 意义为“选取 3 个球都是白球”

4 ? 3? 2 3 C4 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - 1 ? 4 ?PA ? 3 ? 6 5 4 5 5 5 C 6 (6 ? 5 ? 4) 3 ? 2 ?1

? ?

? ?

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

4 . 5
3

6?5? 4 ? 20 种情况,设事件 A 3 ? 2 ?1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 16 4 4?3 2 ? 2 ? C4 ? 1? 4 ? 2 ? ? 16 , 所以 P? A? ? 20 5 2 4 答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 5 解法 3: (独立事件概率)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则事件 A 的情
解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C 6 ? 况如下: 红 白 白 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红 白 红 红

2 4 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 3 2 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 2 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 2 1 4 1 ? ? ? 6 5 4 15 2 4 1 1 ? ? ? 6 5 4 15 4 2 1 1 ? ? ? 6 5 4 15

所以

1 1 4 P ? A? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 15 5
4 . 5

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次 抽取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次 解:设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” , 事件 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次”

4? 2 ? 2? 4 4 2 4 4 2 4 ? (或者 P?B ? ? ? ? ? ? ) 6?6 9 6 6 6 6 9 1 4 答:第 1 次抽到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为 3 9
则 P ? A? ?

2 1 ? 6 3

, P ?B ? ?

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, 求 (1) 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? (2) 求至少 1 人抽到选择题的概率? 【分析】 (1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的, 所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来 解:设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ,事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ,则 B 为“两人都抽到填空题” (1) P ? A? ?

3 3 3 ? ? 6 5 10

? P31 P31 3 ? 3 3 ? ? ? ? 或者 P A ? ? ? ? ? 6 ? 5 10 ? P62 ? ? ? P32 1 ? ? ? 或者 P B ? P 2 ? 5 ? ? 6 ? ?

3 2 1 (2) P B ? ? ? 6 5 5

??

??

则 P ?B ? ? 1 ? P B ? 1 ?

??

1 4 ? 5 5

答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

3 4 ,少 1 人抽到选择题的概率为 . 5 10

变式训练 4:一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球,其中 3 个红球,2 个黄球,从中不放 回摸出 2 个球,球两个球颜色不同的概率? 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球,要么是 1 黄 1 球 略解: P ? A? ?

3 2 2 3 3 ? 6 3? ? ? ? ? ? 或者 P ? A? ? 2 ? ? ? 5 4 5 4 5 ? C5 5 ? ?

变式训练 5:设盒子中有 6 个球,其中 4 个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回, 若连续抽两次,则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少? 略解: P? A? ?

4 2 2 4 4? 2 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6?6 6?6 9

例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品,在该区域内有一个长 宽分别为 80 米和 50 米的水池,当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时,物品会 失效, 假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 (不考虑落在正方形区域范围之 外的) ,求发放急救物品无效的概率? 【分析】为题属于几何概型,切是平面图形,其测度用面积来衡量 解:如图,设急救物品投放的所有可能的区域,即边长为 1 千米的正方形为区域 D ,事件

“发放急救物品无效”为 A ,距离水池 10 米范围为区域 d ,即为图中的阴影部分, 则 有 P? A? ?

d 测度 D测度

?

80 ? 50 ? 2 ? 80 ? 10 ? 2 ? 50 ? 10 ? 4 ? 1000? 1000

? ?10?2
4

答:略 颜老师说明:这种题目要看清题目意思,为了利用 几何概率,题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件,但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件,因为超出一个网格,就会进入 另外一个网格,分析是同样的 变式训练 1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚 硬币的直径的 2 倍, 向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计, 求硬币完全落在正 方形内的概率? 略解: P? A? ?

d 测度 D测度

?

22 4 ? 2 2 32 ? ? 4 ? 4 ? 1? 4 ? ? 1

变式训练 2:如图,设有一个正方形网格,其中每个小正三角形的边长都是 a , 现有一直径 等于 a 的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率?

2

【分析】因为圆的位置由圆心确定,所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解:如图,正三角形 ABC 内有一正三角形 A1 B1C1 ,其中

AB ? a , A1 D ? B1 E ? A1 F ?

A1 D 1 a , AD ? BE ? 6 tan30 ?

?

? 3 3? 3 ?a a?? 1? a ,? A 1 B1 ? AB ? 2 AD ? a ? ? 3 3 ? 6 ? ?

C

当圆心落在三角形 A1 B1C1 之外时,硬币与网格有公共点

C1

? 有公共点的概率 P ?

S?ABC - S?A1B1C1 S ?A1B1C1
2
A

F

A1 D a

3 2 3? 3? 2 ?1 ? ? a a ? ? 4 4 ? 3 ? ? ? ? 0.82 3 2 a 4

a/6

B1 E B

答:硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 . 变 式 训 练 3 : 如 图 , 已 知 矩 形 ABCD 中 , AB ? 5 , AC ? 7 , 在正方形内

任取一点 P , 求 ?APB ? 90? 的概率?
1 ?5? ?? ? 5? 2 ?2? 略解: P? A? ? ? 5? 7 56
变式训练 4:平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r < a 的 硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率? 解:设事件 A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置,有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 OM ,垂足 为 M , 线段 OM 的长度的取值范围为 ? 0 , a
2
A B

P

D

C

?

,其长度就是

M

几何概型所有的可能性构成的区域 D 的几何测度,只有当 0 ? OM ? a 时,硬币不与平行线相碰,其长度就是满足 事件 A 的区域 d 的几何测度,所以

2a

r

P ? A? ?

?r, a?的长度 ? a ? r ?0, a?的长度 a
a?r a

答:硬币不与任何一条平行线相碰的概率为

【评价与链接】该题是几何概型的典型题目,要求我们正确确认区域 D 和区域 d ,理解它 们的关系以及它们的测度如何来刻画。 蒲丰投针问题:平面上画有等距离的一系列的平行线,平行线间距离为 2 a ( a ? 0 ) , 向平面内任意的投掷一枚长为 l

?l

? 2a ? 的针,求针与平行线相交的概率?

解:以 x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离,又以 ? 表示针与此直线的交角,如图 易知 0 ? x ? a , 0 ? ? ? ? ,有这两式可以确定 x - ? 平面上的一个矩形 ? ,这是 为了针与平行线相交,其充要条件为 x ?

l Sin? ,有这个不等式表示的区域 A 为图中的 2

阴影部分,由等可能性知

S P ? A? ? A ? S?

?

?

0

l Sin ? d? l 2 ? ? ?a ?a

2a

如果 l , a 已知, 则以?值代入上式即可计算 P? A?的值 , 反过来, 如果已知P? A?的值,

则也可以利用上式来求 ? ,而关于 P? A? 的值,则可以用实验的方法,用频率去近似它,
既: 如果 投针 N 次,其中平行线相交的次数为 n 次,则频率为

n N

,于是,

P ? A? ?

l

?a

?

n lN 于是 , ? ? N a n

注释: 这也是历史上有名的问题之一, 用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出 概率,再用频率近似概率来建立等式,进而求出 ? . 在历史上有好多的数学家用不同的方法 来计算 ? ,如中国的祖冲之父子俩,还有撒豆试验,也是可以用来求 ? 的. 会面问题:甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时 即可离去,求两人能会面的概率? 解:设“两人能会面”为事件 A ,以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充 要条件为: x ? y ? 15 在平面上建立如图所示的 坐标系,则 ? x, y ? 的所有可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示, 由几何概型知, P? A? ?

S A 602 ? 452 7 ? ? 2 S? 16 60

答:两人能会面的概率

7 . 16

◆ 课本上一道例题的变式训练:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一 点 M ,求 AM ? AC 的概率? 【分析】点 M 随机的落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域

D ,当点 M 位于如图的 AC ' 内时 AM ? AC ,故线段

AC ' 即为区域 d
解: 在 AB 上截取 AC ? AC ,于是
'

P( AM ? AC) ? P AM ? AC ' ? 2 2

?

?

AC ' AC 2 ? ? AB AB 2

答: AM ? AC 的概率为

【变式训练】如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在 ?ACB 内部任意作一条射线 CM ,与 线段 AB 交于点 M ,求 AM ? AC 的概率?

CB 内部任意作一条射线 CM ,满足条件的 M 看 错解: 在 AB 上截取 AC ? AC , 在 ?A
'

作是在线段 AC 上任取一点 M ,则有

'

P( AM ? AC) ? P AM ? AC ' ?

?

?

AC ' AC 2 ? ? AB AB 2

【分析】这种解法看似很有道理,但仔细一看值得深思,我们再看看题目的条件已经发生了 改变,虽然在线段上取点是等可能的,但过和任取得一点所作的射线是均匀的,所以不能把 等可能的取点看作是等可能的取射线,在确定基本事件时一定要注意观察角度, 注意基本 事件的等可能性. 正解: 在 ?ACB 内的射线是均匀分布的, 所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的, 在 AB

67 .5 ? 0.75 90 评价:这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度,确定区域 D 和 d ,求出其测度,
上截取 AC ? AC ,则 ?ACC ? 67.5? ,故满足条件的概率为
' '

再利用几何概型来求概率. 例3. 利用随机模拟法计算曲线 y ? x 2 , y ? 0, 和x ? 2 所围成的图形的面积.

【分析】在直角坐标系中作出长方形( y ? x 2 , y ? 0, y ? 4, x ? 2 所围成的部分,用随机 模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值) 解: (1)利用计算机或者计算器生成两组 0 到 1 区间上 的随机数, a0 ? rand, b0 ? rand (2)进行平移变换: a ? 2a0 , b ? 4b0 ,其中 a , b 分 别随机点的横坐标和纵坐标 (3)假如作 N 次试验,数处落在阴影部分的点数 N1 , 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由

S N1 ? 8 N

得出

S ?8

N1 ? 2.7 N

评价:这是一种用计算机模拟试验的方法,结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积,其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验,只是用随机数来代替豆子而已,另外要求我们理解用试 验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分,还可以有下面的解法:

S ? ? x 2 dx ?
0

2

x3 3

2 0

? 2.7


高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练教师版

高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练教师版_数学_高中教育_教育专区。概率...概率部分知识点总结事件:___,确定性事件: ___和___ 随机事件的概率(统计定义...

高中数学必修3知识点总结:第三章_概率

高中数学必修 3 概率知识点总结第三章 第一部分 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫...

高中数学必修三《概率综合》名师讲义(含答案)

高中数学必修三《概率综合》名师讲义(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学...的概率部分进行小结.首先我们把基础知识和基本方法进行梳理,然后借助典型 例题再次...

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析_数学_高中教育_教育专区。必修 3 概率部分知识点总结 新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 ? ? 事件:随机事件...

高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练学生版

高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练学生版_数学_高中教育_教育专区。/*概率例题选讲:例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个...

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析_数学_高中教育_教育专区。必修 3 概率部分知识点总结 新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 ? 事件:随机事件,确...

数学必修三概率的知识点及练习

数学必修三概率知识点及练习_数学_高中教育_教育专区。高中数学第...【典型例题】 1、指出下列事件是必然事件,不可能时间,还是随机事件: (1) “...

高中数学必修3概率部分例题

高中数学必修3概率部分例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学必修3概率部分例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...

高中数学必修3知识点总结:第三章_概率

高中数学必修3知识点总结:第三章_概率_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修3第三章 一、随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: 概率 (1)必然事件:在条件...

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析[整理]

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析[整理]_数学_高中教育_教育专区。新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 3 概率部分知识点总 结及典型例题 解析...