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高中数学必修5常考题型:二元一次不等式(组)与平面区域


二元一次不等式(组)与平面区域
【知识梳理】
1.二元一次不等式 含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为二元一次不等式. 2.二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 3.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x、y),叫做二元一次不等式(组) 的解,所有这样的

有序数对(x、y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 4.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. 5.二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号都相同. (2)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号可以断定 Ax +By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域.

【常考题型】 题型一、二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例 1】 画出下列不等式(组)表示的平面区域. (1)2x-y-6≥0; x-y+5≥0, ? ? (2)?x+y≥0, ? ?x≤3. [解] (1)如图,先画出直线 2x-y-6=0,

取原点 O(0,0)代入 2x-y-6 中, ∵2×0-1×0-6=-6<0, ∴与点 O 在直线 2x-y-6=0 同一侧的所有点(x, y)都满足 2x-y-6<0, 因此 2x-y-6≥0 表示直线下方的区域(包含边界). (2)先画出直线 x-y+5=0(画成实线),如图,取原点 O(0,0)代入 x -y+5,∵0-0+5=5>0,

∴原点在 x-y+5>0 表示的平面区域内,即 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下 方的点的集合.同理可得,x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示直 线 x=3 上及其左方的点的集合.右上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域. 【类题通法】 1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它们 的公共部分即可.其步骤为:①画线;②定侧;③求“交”;④表示. 2. 要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域, 只需在它所对应的直线的某一侧取一个 特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负判定. 【对点训练】 x+y≤5, ? ? 1.画出不等式组?x-2y>3, ? ?x+2y≥0

表示的平面区域.

解: 不等式 x+y≤5 表示直线 x+y-5=0 上及左下方的区域. 不等式 x-2y>3 表示直线 x-2y-3=0 右下方的区域. 不等式 x+2y≥0 表示直线 x+2y=0 上及右上方的区域. 所以不等式组表示的平面区域如图所示.

题型二、二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
2x+y-6≤0, ? ? 【例 2】 不等式组?x+y-3≥0, ? ?y≤2, A.4 C.5 [解析] 不等式组 2x+y-6≤0, ? ? ?x+y-3≥0, ? ?y≤2,

表示的平面区域的面积为(

)

B .1 D.无穷大

表示的平面区域如图所示(阴影部分), △ABC 的面

积即为所求.求出点 A,B,C 的坐标分别为 A(1,2),B(2,2),C(3,0),则 1 △ABC 的面积为 S= ×(2-1)×2=1. 2 [答案] B 【类题通法】 求平面区域面积的方法

求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积.若图 形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方法,将平面区 域分为几个规则图形求解. 【对点训练】 x+y≤5, ? ? 2.求由不等式组?2x+y≤6, ? ?x≥0,y≥0

确定的平面区域的面积 S 阴影部分.

解:由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分),其四个顶点 为 O(0,0),B(3,0),A(0,5),P(1,4).过 P 点作 y 轴的垂线,垂足为 C. 则 AC=|5-4|=1, PC=|1-0|=1, OC=4,OB=3, 1 1 得 S△ACP= AC· PC= , 2 2 1 S 梯形 COBP= (CP+OB)· OC=8. 2 所以 S 阴影部分=S△ACP+S 梯形 COBP= 17 . 2

题型三、用二元一次不等式组表示实际问题
【例 3】 投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方米; 投资生产 B 产品时,每生产 100 米需要资金 300 万元,需场地 100 平方米.现某单位可使用 资金 1 400 万元,场地 900 平方米,用数学关系式和图形表示上述要求. [解] 设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米, 2x+3y≤14, ? ?2x+y≤9, 则? x≥0, ? ?y≥0. 用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所示(阴影部分).

【类题通法】 用二元一次不等式组表示实际问题的方法 用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时, (1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示, (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来, (3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式, (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来. 【对点训练】 3.有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运 输量如下表: 货物 粮食/t 石油/t 轮船运输量 300 250 飞机运输量 150 100

现在要在一天之内运输 2 000 t 粮食和 1 500 t 石油,试用代数和几何两种方法表示运输工 具和运输数量满足的关系. 解:设需要 x 艘轮船,y 架飞机,代数关系式和几何描述(如右图)分 6x+3y≥40, ? ? 别为?5x+2y≥30, ? ?x,y∈N.

【练习反馈】
1.在直角坐标系中,不等式 y2-x2≤0 表示的平面区域是( )

解析:选 C 原不等式等价于(x+y)(x-y)≥0,因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包 括边界),故选 C. x≥0, ? ? 2.不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 3 A. 2

所表示的平面区域的面积等于(

)

2 B. 3

4 C. 3

3 D. 4

解析:选 C 作出平面区域如图所示为△ABC,
?x+3y-4=0, ? 由? 可得 A(1,1), ?3x+y-4=0, ?

4 1 1 ? 4? 4 0, ?,∴S△ABC= · 4- ×1= , 又 B(0,4),C? | BC |· | x | = × A 3? ? 3? 2 2 ? 3 故选 C. 3.用不等式表示直线 y=3x-1 左上方的平面区域为________. 答案:y>3x-1 4.已知点 P(1,-2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式 2x-by+1>0 表示的 平面区域内,则 b 的取值范围是________. 解析:设 P(1,-2)关于原点的对称点为 P′(-1,2),因为点 P 与点 P′有且只有一个适合 不等式,
?2+2b+1>0, ? 所以? ? ?-2-2b+1≤0, ?2+2b+1≤0, ? 或? ? ?-2-2b+1>0,

1 3 得 b≥- 或 b≤- . 2 2 3? ? 1 ? 答案:? ?-∞,-2?∪?-2,+∞? 5.如图,请写出表示阴影部分区域的不等式组. 解:由于直线 BC 的方程为 y=-1, 直线 AC 的方程为 x=0,直线 AB 的方程为 2x-y+2=0, 因此表示该区域的不等式组是 2x-y+2≥0, ? ? ?x≤0, ? ?y≥-1.


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