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对数与对数的运算


2.2.1 对数与对数运算

复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a

亿元,如果每年平均增长8%,那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍?

复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a

亿元,如果每年平均增长8%,那么经
过多少年国民生产

总值是2002年的2倍?

(1 ? 8%) ? 2 ? x ? ?
x

复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a

亿元,如果每年平均增长8%,那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍?

(1 ? 8%) ? 2 ? x ? ?
x

已知底数和幂的值,求指数.你能 看得出来吗?怎样求呢?

讲授新课
一般地,如果(a>0, a≠1)的b次幂 等于N,就是ab=N ,那么数b叫做以a 为底N的对数,记作logaN=b.

讲授新课
一般地,如果(a>0, a≠1)的b次幂 等于N,就是ab=N ,那么数b叫做以a 为底N的对数,记作logaN=b.

ab=N ? logaN=b.

a ? N ? log a N ? b
b

a ? N ? log a N ? b
b

底数

指数

a ? N ? log a N ? b
b

底数

指数

a ? N ? log a N ? b
b

底数



指数

a ? N ? log a N ? b
b

底数



底数

指数
b

真数

a ? N ? log a N ? b
底数 幂 底数

指数
b

真数

a ? N ? log a N ? b
底数 幂 底数 对数

探究:
1. 是不是所有的实数都有对数? logaN=b中的N可以取哪些值?

探究:
1. 是不是所有的实数都有对数? logaN=b中的N可以取哪些值? 负数与零没有对数

探究:
1. 是不是所有的实数都有对数? logaN=b中的N可以取哪些值? 负数与零没有对数 2. 根据对数的定义以及对数与指数的 关系, loga1=? logaa=?

探究:
1. 是不是所有的实数都有对数? logaN=b中的N可以取哪些值? 负数与零没有对数 2. 根据对数的定义以及对数与指数的 关系, loga1=? logaa=?

loga1=0,logaa=1

探究:
3. 对数恒等式 如果把ab=N 中的b写成logaN,则有

a

loga N

? N.

探究:
3. 对数恒等式 如果把ab=N 中的b写成logaN,则有

a

loga N

? N.

4. 常用对数:

我们通常将以10为底的对数叫做常 用对数. 为了简便,N的常用对数log10N 简记作lgN.

探究:
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以e为底 的对数叫自然对数,为了简便,N的自 然对数logeN简记作lnN.
log e N

探究:
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以e为底 的对数叫自然对数,为了简便,N的自 然对数logeN简记作lnN.
log e N

6. 底数的取值范围

探究:
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以e为底 的对数叫自然对数,为了简便,N的自 然对数logeN简记作lnN.
log e N

6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, +∞);

探究:
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以e为底 的对数叫自然对数,为了简便,N的自 然对数logeN简记作lnN.
log e N

6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, +∞); 真数的取值范围

探究:
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以e为底 的对数叫自然对数,为了简便,N的自 然对数logeN简记作lnN.
log e N

6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, +∞); 真数的取值范围(0, +∞).

例题与练习 例1 将下列指数式写成对数式

(1) 5 ? 625
4

( 2) 2

?6

1 ? 64

( 3) 3 ? 27
a

1 m (4) ( ) ? 5.73 3

例题与练习 例2 将下列对数式写成指数式

(1) log 1 16 ? ?4

( 2) log 2 128 ? 7 (4) ln 10 ? 2.303

(3) lg 0.01 ? ?2

2

例题与练习 例3 求下列各式中的x的值

2 (1) log 64 x ? ? 3

( 2) log x 8 ? 6

( 3) lg 100 ? x

(4) ? ln e ? x
2

例题与练习
例4 计算

(1) log 9 27

( 3) log ?2? 3 ? 2 ? 3

?

?

( 2) log 4 3 81
(4) log 3
5
4

625

例题与练习
例4 计算

(1) log 9 27

( 3) log ?2? 3 ? 2 ? 3

?

?

( 2) log 4 3 81
(4) log 3
5
4

625

练习 教材P.64练习第1、2、3、4题

课堂小结
1. 对数的定义;
2. 指数式与对数式互换; 3. 求对数式的值.


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