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1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

时间:2014-03-07


第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

早在十七世纪,欧洲资本主义发展初期,由于工场 的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了

科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研
究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。

背景介绍 微

积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨,他们分别 从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助,成为十七世纪最伟大的数学发现, 此后,微积分得到了广泛应用。 例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程 问题,天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问 题等等,甚至连历法、农业都与微积分密切相关, 更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。

你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间已知起跳 . ts后, 运动员相对于水面的高 度 h ? 单位 : m ? 可用函数 h ? t ? ? ?4.9t ? 6.5t ? 10表
2

示.如何求他在某时刻的 速 度 ? 他 距水面的最大 高度是多少 ?

1.了解导数概念的实际背景,体会导数的

思想及其内涵.
2.导数概念的实际背景,导数的思想及其 内涵.(重点)

探究点1 变化率问题
问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发 现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越 来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数 4 3 关系是 V (r ) ? ? r 3 3V 3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ?
4?

3V 我们来分析一下: r (V ) ? 4?
3

当V从0增加到1L时,气球半径增加了r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)
r (1) ? r (0) 气球的平均膨胀率为 ? 0.62(dm / L) 1? 0

当V从1L增加到2L时,气球半径增加了r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)
r ( 2) ? r (1) 气球的平均膨胀率为 ? 0.16(dm / L) 2 ?1
显然 0.62>0.16

思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均

膨胀率是多少? 解析: r(V2 ) ? r(V1 )
V2 ? V1

问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位: 秒)存在函数关系
h

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间 段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
o t

请计算0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时间里的平均速度v :

解析:h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

o

t

思考:

并思考下面的问题:

65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t (1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有

什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在 这段时间里的运动状态.

平均变化率定义:

f ( x ) ? f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 x ? x 2 1 表示.
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1)
这里Δ x看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δ x代替 x2同样Δ y=f(x2)-f(x1)

?y f (x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

观察函数f(x)的图象
?y f(x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 ? ?x x2 ? x1

y=f(x)
y f(x2) B

表示什么?

f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O A

x2-x1=△x
x x1 x2

直线AB的斜率

探究点2 导数的概念
在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员
在这段时间里的运动状态,需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度. 又如何求 瞬时速度呢?

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h (t ) ? ? 4 .9t 2 ? 6 .5t ? 10
求:从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h 解: v ? ?t h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ? ?13.1 ? 4.9 ?t ?t

当Δ t趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势? △t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ] 这段时间内

v ? ? 4 .9 ? t ? 13 .1
当△t=–0.01时, 当△t=–0.001时,

v ? ? 4 .9 ? t ? 13 .1
当△t=0.01时, 当△t=0.001时,

v ? ? 13.051

v ? ? 13.149

v ? ? 13 .0951
v ? ?13.099 51

v ? ?13.104 9

当△t=–0.000 1时,

当△t=0.000 1时, v

? ?13.100 49

当△t=–0.000 01时, v ? ?13.099 951 当△t=–0.000 001时,v ??

当△t=0.000 01时, v ? ?13.100 049

? ?13.099 995 1 v ? ?13.100 004 9
……

当△t=0.000 001时,

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

?h v? ? ? 13.1 ? 4.9 ?t ?t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于

一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,
平均速度

v

就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因

此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.

为了表述方便,我们用

h ( 2 ? ?t ) ? h ( 2) lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度
趋近于确定值– 13.1”.

v

局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度, 然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时 速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 t的瞬时速 0

h ( t ? ? t ) ? h ( t ) 0 0 度为 lim ?t ?0 ?t

探究:
运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ? 0 ?t 2 ? 4.9(?t ) ? (9.8t0 ? 6.5) ?t ? lim ?t ? 0 ?t ? lim (?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ? 0

? ?9.8t0 ? 6.5

导数的概念: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x 0 ?Δ x ) ? f ( x 0 ) ?y lim ? lim , ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ? x

称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数,

记作 f ?( x0 ) 或

y ? | x ? x0 , 即

f (x0 ? Δx ) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim = lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

总结提升

1.f ?(x0 )与x0的值有关,不同的x0 ,其导数值一般也不相同.

2.f ?(x0 )与?x的具体取值无关.
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称 .

求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:
1.求函数的改变量

? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 );

2. 求平均变化率 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ; ?x ?x ?y 3. 求值 f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x

一差、二比、三极限

例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油 的温度(单位: ? C )为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤ 8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率,并 说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 f ? (2)和f ? (6).
?y f ( 2 ? ?x ) ? f ( 2) = 根据导数的定义, ?x ?x

2 (2 ? ?x ) ? 7( 2 ? ?x ) ? 15 ? (22 -7 ? 2 ? 15 ) ? ? ?x ? 3 ?x

所以,

?y f ?(2) ? lim ? lim ( ? x ? 3) ? ?3. ?x ? 0 ? x ?x ? 0

同理可得 f ?( 6 ) ? 5 . 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度 大约以3 ? C /h的速率下降; 在第6h附近,原油温 度大约以5 ? C/h的速率上升.

1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及 临近一点B(-1+Δ x,-2+Δ y),则 ?y =( D )
?x

A.3
C.3-(Δ x)2

B.3Δ x-(Δ x)2
D.3-Δ x

2.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为 ( A ) A.6+?t C.3+?t 9 B.6+ ?t+ ?t D.9+ ?t

3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.
?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ? 2 x0 ? ?x 【解析】 ?x ?x

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δ x,

1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1时割线的斜
率. 【解析】

(1 ? ?x) ? 1 2 2 k? ? 3 ? 3?x ? (?x) ? 3 ? 3 ? 0.1 ? 0.1 ? 3.31 (1 ? ?x) ? 1
3 3

. 5、求函数 y?

4 的导数. 2 x

4 4 4 4 ? ? 2 2 2 2 2 ( x ? ? x ) x x 【解 析】 lim ? lim x ? 2 x ? ?x ? ?x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x 4 x 2 ? 4 x 2 ? 8 x ? ?x ? 4? x 2 4 x 2 ? 4 x 2 ? 8 x ? ?x ? 4? x 2 ? lim 2 2 ? lim ?x ? 0 x ( x ? 2 x ? ? x ? ? x 2 )? x ?x ? 0 x 2 ( x 2 ? 2 x ? ? x ? ? x 2 )? x ?8 x ? ?x ? 4?x 2 ?8 x ? 4?x ? lim 2 2 ? lim 2 2 ?x ? 0 x ( x ? 2 x ? ? x ? ? x 2 ) ? x ?x ? 0 x ( x ? 2 x ? ? x ? ? x 2 ) ?8 x ? 4 ? ? 8 x ?3 x

1.函数的平均变化率
f( x 2 ) ? f ( x1 ) ?f ( x ) ? ?x x2 ? x1

2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δ y=f(x2)-f(x1)
?f ( x ) f (x 2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率 ? ?x x2 ? x1

3.求物体运动的瞬时速度: (1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t) (2)求平均速度 (3)求极限
?s v? ?t

?s s ( t ? ?t ) ? s ( t ) ? . lim lim ?t ?t ? 0 ? t ?t ? 0

4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤:

(1)求函数的增量Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)
?y (2)求平均变化率 ?x
?y ?x

(3)求极限

f ' ( x0 ) ? lim
?x ? 0

追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时 间的人,生活就会冷落他.


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