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2.1.2指数函数及其性质


§2.1.2指数函数及其性质(1)

问题 引入
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂成4个,??以此类推,1个这样的细 胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关 系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y ? 2 (x ?

N )
x *

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x * y ? ( ) (x ? N ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 ( )x 尺 2

提炼

1 x y?( ) y?2 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

我们把这种自变 (2)底数是一个正的常数 ; 量在指数位置上而底 数是一个大于0且不等 (3) 自变量x在指数位置 . 于1的常量的函数叫做 指数函数.

(1)均为幂的形式 ;

定义 :

一般地,函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义 域是 R。

小结 指数函数的特征:

【提示】依据指数函数y=ax(a>0且a≠1)解析
式的结构特征: ①底数:大于零且不等于1的常数; ②指数:自变量x; ③系数:1; ④只有一项ax .

①底数:大于零且不等于1的常数;

练习
√ ×
x
x

②指数:自变量x; ③系数:1. ④只有一项ax

下列函数中,哪些是指数函数?

(1) y ? 2x
(2) y ? x2
(3) y ? ?2

(6) y ? 22 x
(7) y ? x x

√ × ×

×
×

(8) y ? 2x ? 4
(9) y ? (2a ? 1) x
1 (a ? 且a ? 1) 2

(4) y ? ? ?2 ?

(5) y ? ? x





练习:

1.下列函数是指数函数的是
A. y=(-3)x



D



B. y=3x+1 C. y=-3x+1 D. y=3-x

2.函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数,求 a的值.
解:由指数函数 的定义有

a2 - 3a + 3=1
a> 0

a =1或a = 2

解得

a> 0 a≠1

a≠1 ∴a=2

完成固学案P18题2

探究1:为什么要规定

a ? 0且a ? 1 x 探讨:若不满足上述条件 y ? a 会怎么样? (1)若 a ? 0
则当x > 0时, a
x

当x≤0时, a 无意义. (2)若 a ? 0 则对于x的某些数值,可使 x a 无意义. 如 (?2) x ,这时对于
1 x?1 , x ? 2 4 ……等等,

x

?0

在实数范围内函数值不存在. (3)若

a ? 1 则对于任何 x ? R x a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性

探究2:函数 指数函数的解析式

是指数函数吗?

y?a

x

中,a 的系数是1.

x

有些函数貌似指数函数,实际上却不是.

如:y ? a x ? k (a ? 0且a ? 1, k ? Z )
有些函数看起来不像指数函数,实际上却是.

如:y ? a (a ? 0且a ? 1)
1 x 1 1 因为它可以转化为: y ? ( ) ( ? 0且 ? 1) a a a

?x

设问2:已知函数的解析式,怎么得到函

数的图象,一般用什么方法?
列表、描点、连线作图 在同一直角坐标系画出 y ? 2 的图象。 并观察:两个函数的图象有什么关系?
x

?1? y?? ? , ?2?

x

y

1 x y?( ) 2

y=2x

4 3 2 1

-3

-2

-1 -1

0

1

2

3

x

观察:两个函数的图象有什么关系? 两个函数图像关于y轴对称

归纳

指数函数在底数 0 ? a ? 1 及 情况下的图象和性质:

a ? 1 这两种 a ?1
y y=ax
(a>1)

0 ? a ?1
y

y=ax
(0<a<1)

图 象
0

(0,1)

y=1 y=1

(0,1)

x

0

x

定义域:

R

(0,+∞) 性 值域: 质 (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1

(2)在R上是减函数

(3)在R上是增函数

1.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

例.求下列函数的定义域、值域:

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

(1) y ? 3

1 x

(2) y ? (0.25)

2 x ?1

图 象

解 (1) 函数的定义域为{x|x ? 0},
x

x

0

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

值域为{y |y>0 ,且y?1}. 1 (2) 由2 x ? 1 ? 0, 得x ? 2 1 函数的定义域为 [ ,?? )

2

? 2x ?1 ? 0,
?0 ? 0.25
2 x ?1

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

?1

?函数的值域为 (0,1].

5.既不是奇函数也不是偶函数.

完成课本P58题2、P59题5

2.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

练习: 1 y=ax(a>0且 a≠1)图象必过
(0,1) 点_______ 2 y=ax-2(a>0且 a≠1)图象必 (2,1) 过点_______

y
(0,1)

图 象

x

0

x

3 y=ax+3-1(a>0且 a≠1)图象
(-3,0) 必过点________

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

求定点,先令指数为0,再 计算x,y的值
4 某种细菌在培养过程中,每 20分钟分裂一次(一个分裂成 两个),经过3小时这种细菌 512 个 由一个分裂成______

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

5.既不是奇函数也不是偶函数.

y ? 2 (x ? N )
x *

例6

已知指数函数 f ? x ? ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3? 的值.
x

待定系数法求a

2.指数函数的图象和性质
a>1 y y=1
(0,1)
0

例7.比较下列各题中两个值的大小: (1)1.52.5 ,1.5 3.2 ; (2)0.5 – 1.2 ,0.5 – 1.5 (3)1.50.3 ,0.8 1.2 解: (1)指数函数 考察指数函数 y=1.5 yx =1.5 在Rx 上是增 . 函数 由于底数 . 1.5>1 ,所以指数函数 x 在R上是增函数. y∵ =1.5 2.5<3.2 ∴1.52.5<1.53.2 (2)指数函数y=0.5x 在R上是减 函数. ∵-1.2>-1.5 ∴0.5-1.2<0.5-1.5 (3)由指数函数的性质知 利用函数的单调性比较大小 1.50.3>1.5 0=1 , 1.2<0.8 0=1 , 0.8 完成课本P59题7(1)(2) ∴1.5 0.3>0.8 1.2 . 搭桥法,与中间变量0,±1比较大小

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

图 象

x

0

x

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

5.既不是奇函数也不是偶函数.

方法总结: 1、对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函 数值; 2、对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比 较.

b<a<1

c>1

1.已知 a= 0.80.7 , b= 0.80.9 ,c= 1.20.8 , 按大小顺序排列 a,b,c

即b<a<1<c 答案:c>a>b

对不同底数幂 的大小的比较 可以与中间值 进行比较

2.比较a3 与 a4 的大小
答案:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论: 当 a>1 时 a3 < a4 当 0<a<1 时 a3 > a4 对同底数幂大小 的比较用的是指 数函数的单调性

a >b >c
如图:试确定a, b, c的大小关系:


y?a y?b y?c

x x x

y







a

b
c 1 0 1


对同指数幂比较 底数的大小可设 指数为1

x

b >a >c
(变式)如图:试确定a, b, c的大小关系:
① ② ③

y?a y?b y?c

x x x

y

② ①

b a c 1 0 1



x

比较a、b、c、d的大小.

0<c<d<1<a<b.

当指数函数底数大于1时,图象上升

,且底数越大时图象向上越靠近于y轴;
当底数大于0小于1时,图象下降,底数 越小图象向右越靠近于x轴.

★指数函数图象及性质

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象
的相对位置与底数大小的关系如图所示, 则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数 由大变小;(指数函数在第一象限底大图高)

在y轴左侧,图象从下到上相应的底数
由大变小; 既无论在y轴的左侧还是右侧,底数按 逆时针方向变大.

变式 比较下列各题中两个值的大小:
(1)4 ,0.25
?4

5

?4

1 ?4 解: (1) 0.25 ? ( ) 4 x ?指数函数y ? 4 在R上是增函数 5 4 5 ?4 ?4 ? 4 即4 ? 0.25 又5 ? 4 21 2.13.4 21 3.4 ?0 ? ?1 (2) 3.4 ? ( ) 31 3.1 31 21 x ? 指数函数y ? ( ) 在R上是减函数 31 21 3.4 3.4 3.4 ? 2 . 1 ? 3 . 1 又3.4 ? 0 ? 0 ? ( ) ? 1 31

对同指数幂 3.4 3.4 (2)2.1 ,3.1 不同底数的 大小比较可 4 用作商法. ?4

2.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

练习:
1.当a ?(1,+?) 时, 函数y ? a x ( a ? 0且a ? 1)为增函数.这时, 当x ? (0, +?)时, y ? 1.
x

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

图 象

x

0

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

1 函数, 则a的取值范围是 ( ? ,.0) 2 1 x ?1 3.函数y ? ( ) 的定义域是[1, +?)
2 值域是(0,1] . 4.比较下列各题中两个值的大小:
? 1 3 ? 1 2

2.若函数f ( x) ? (2a ? 1) x 是减

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

(1) ( 3)
3 1 5 (2) ( ) 4

>,

( 3) 4 5 ( )6 3

;

5.既不是奇函数也不是偶函数.

<,

.

完成课本P60 B组题4
解:由已知 (1)当y1 ? y2时 a3 x?1 ? a ?2 x 1 ? 3x ? 1 ? ?2 x ? x ? ? 5 3 x ?1 ?2 x ?a (2)当y1 ? y2时 a
1 当0 ? a ? 1时 3x ? 1 ? ?2 x ? x ? ? 1 5 当a ? 1时 3x ? 1 ? ?2 x ? x ? ? 5 1 综上所述,当0 ? a ? 1时, x的取值范围是 {x | x ? ? } 5 1 当a ? 1时, x的取值范围是{x | x ? ? } 5

解:由已知 ,当0 ? a ? 1时 x ? 5x ? x ? 7
2

即x ? 6 x ? 7 ? 0 解得 ? 1 ? x ? 7
2

当a ? 1时 x 2 ? 5x ? x ? 7

即x ? 6 x ? 7 ? 0 解得x ? 7或x ? ?1
2

综上所述,当0 ? a ? 1时, x的取值范围是 {x | ?1 ? x ? 7}

当a ? 1时, x的取值范围是 {x | x ? 7或x ? ?1}

高一数学测试(5)题14

1 2 ?2 已知x ? ? 5, 求(1) x ? x ; (2) x ? x 的值. x 1 ?1 解: x ? ? 5即x ? x ? 5 x ?1 2 2 ?2 (1) ? ( x ? x ) ? x ? x ? 2 ? 25 2 ?2 ? x ? x ? 27
?

1 2

1 2

(2) ? ( x ? x ) ? x ? x ? 2 即x ? x?1 ? 2 ? 0
由( x ? x ?1 )2 ? ( x ? x ?1 )2 ? 4 ? 29 得x ? x ?1 ? 29
1 2 ? 1 2

1 2

1 ? 2 2

?1

?x ? x

?

29 ? 2

高一数学测试(5)题15
已知函数f ( x) ? x 2 ? ax ? 3的最小值是2.(1)求a的值.(a ? 0); (2)求证:f ( x)在(??,0)上是减函数 .
2

a 2 a 2 (1)解: f ( x) ? x ? ax ? 3 ? ( x ? ) ? 3 ? ( ) 2 2 a 易知其图象顶点的横坐标为 ? 2 a a 2 所以函数的最小值为 f (? ) ? 3 ? ( ) ? 2 2 2 2 ? a ? 4 又a ? 0 ? a ? ?2

高一数学测试(5)题15
已知函数f ( x) ? x 2 ? ax ? 3的最小值是2.(1)求a的值.(a ? 0); (2)求证:f ( x)在(??,0)上是减函数 .
2 ? f ( x ) ? x ? 2x ? 3 (2)证明: ? a ? ?2 任取x1 , x2 ? (??,0),且x1 ? x2 , 则
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ? 2 x1 ? 3) ? ( x2 ? 2 x2 ? 3) 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2)

? x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? 0

? f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 在 ?? ?,0? 上是减函数;

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 )

问题1:
1 x 2 ?2 x 讨论函数 f ( x) ? ( ) 的单调性 . 3 1 x2 ?2 x 解:函数 f ( x) ? ( ) 的定义域为 R. 3 任取x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 1 x12 ? 2 x1 1 x2 2 ? 2 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ) ?( ) 3 3

要利用复合函数的单调性来求解.
什么是复合函数?

复合函数:
如果y是u的函数,而u又是x的函数,即 y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)] 叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量. 1 x 2 ?2 x 1 u 2 如:函数 f ( x) ? ( ) 由y ? ( ) 和 u ? x ? 2 x 3 3 复合而成. 1 u 我们把 y ? ( ) 叫外函数; u ? x 2 ? 2 x叫内函数。 3

注意:若y=f(u)定义域为A,u=g(x)值域 为B,则必须满足B ? A

复合函数的单调性
内u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
外y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数

规律:

复 增函数 增函数 y=f[g(x)]

当内外函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;
当内外函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数

“同增异减”“异”“同” 指内外函数单调性的 异同

问题2
1 x2 ?2 x 1 u 2 u ? x ? 2x 解:函数 f ( x) ? ( ) 由y ? ( ) 和 3 3 复合而成. 1 u 2 u ? x ? 2 x 的定义域均为R y?( ) 和 3 ?u( x)在(??,1]上是减函数 , 在[1,??)是增函数 1 u 又y ? ( ) 在R上是减函数 . 3 ? f ( x)在(??,1]上是增函数 , 在[1,??)是减函数

完成固学案P18题5, P19题6、7

1 x 2 ?3 x ? 2 例:求函数 f ( x) ? ( ) 的单调性. 2 3 1
2 2

1 u 解:设 u ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? ) ? , 则f (u ) ? ( ) 2 2 4

f(u)和u(x)的定义域均为R

因为,u(x)在 增.

3? ? ? ? ?, ? 2? ?

上递减,在

?3 ? , ?? ? ? ?2 ?

上递

1 u 而 f (u ) ? ( ) 在R上是减函数, 21 2 x ?3 x ? 2 3? ? f ( x ) ? ( ) ? ? , ? 所以, 在 上是增函数, 2? ? ? 2



?3 ? , ?? ? ? ?2 ?

上是减函数.

问题3
?1? 1? ?x ?x 求函数 y= 4? +? ? ? +1 的值域. ? ?2 ? ? ? ? ?

1? x 2 【错解】 令 t= 2? ? ,则原函数可化为 y=t ?
? ? ? ?

1? 3 3 1 3 ?2 +t+1= t+2? +4≥4,当 t=-2时,ymin=4,即 ?
? ? ? ?

3 函数的值域是[4,+∞). 【错因】
? ? ? ?

原函数的自变量 x 的取值范围是

1? x R,换元后 t= 2? ? >0,而不是 t∈R,错解中,把 ? t 的取值范围错当成了 R.

1? x 【正解】 令 t= 2? ? ,t∈(0,+∞),则原函 ?
? ? ? ? ? 1 3 2 ?2 数可化为 y=t +t+1= t+2? +4. ? ? ? ? ?

1? 3 ?2 因为函数 y= t+2? + 在(0,+∞)上是增函 4 ?
? ? ? ?

1? 3 ?2 数, 所以 y> 0+2? + =1, 即原函数的值域是(1, 4 ?
? ? ? ?

+∞).

点滴收获:

本节课学习了那些知识?
? 指数函数的定义

一般地,函数 y ? a (a ? 0, a ? 1)叫做指数
x

函数,其中x是自变量,函数的定义 域是 R。

指数函数的图象及性质!

问题一: 图象分别在哪几个象限?

1x y ? ( ) 1x 观察右边图象,回答下列问题: 3 y?( ) 2

y=3x

y

y = 2x y=1 x

Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第____象限。

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗?

0

a > 1 时图象上升;当底数____时图象下降 0< a<1 答:当底数__ .
问题三: 图象中有哪些特殊的点?

(0,1) 答:四个图象都经过点____.

观察右边图象,回答下列问题:1 x y?( ) 2 问题四: 1 x y ? ( ) 指数函数 2 图像是否具有 对称性?

1x y?( ) 3

y=3x

y

y = 2x

答:

不关于y轴对称不关于 原点中心对称

问题五: 1x x y ? 3 y ? ( 函数 与 3) 图象有 什么关系 ? 答: 关于y轴对称。

0

y=1 x


2.1.2_指数函数及其性质练习题1

2.1.2 指数函数及其性质练习题 1 1.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=(2)-1.5,则( A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2. ) 2....

2.1.2指数函数及其性质(含解析、答案)

A 基础练习 2.1.2 指数函数(1 时) 1.下列函数是指数函数的是( A.y=-2x B.y=2x C.y=2 -x +1 必经过点( ) ) A.(0,1) B.(1,1) C....

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