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2012广州二模文科数学试题及答案

时间:2014-04-14


试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(文科)
2012.4

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将 条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点, 再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 满足 A ? ?1, 2? ,则集合 A 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D.1

2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为 A. 2
2

B. ?2

C. 2 或 ?2

D. ? 2 或 0

y2 3.已知双曲线 x ? ? 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 m
A. 4 B.

1 4

C. ?

1 4

D. ?4

4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 1,其中甲班学生的 平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x ? y 的值为 A. 7 C. 9 B. 8 D. 10
8 5 x 6

甲 9 0 2 7 8 9 图1

乙 6 1 1 1 y 1 6

1

5.已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? , , OC ? ? m, m ? 1? ,若 AB / /OC ,则实数 m 的 值为 A. ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

3 2

B. ?

1 4

C.

1 2

D.

3 2

6.已知函数 f ? x ? ? e x ? e ? x ?1 (e 是自然对数的底数),若 f ? a ? ? 2 ,则 f ? ?a ? 的 值为 A. ?1 ? e B. ? e D. 1 ? e

C .e

7. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? l , l // ? , l // ? C. m // l , l ? ? , m ? ? 8.下列说法正确的是 A.函数 f ? x ? ? B. m ? l , ? ? ? ? l , m ? ? D. m // l , m ? ? , l ? ?

1 在其定义域上是减函数 x
2 2

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” D.给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 ?p 是假命题 9.阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知实数 a, b 满足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 ,
2 2

开始

k ? 1, S ? 0

S ? 50




函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ? 1 的最大值记为 ? ? a , b ? , 则 ? ? a , b ? 的最小值为 A. 1 C. 3 ? 1 B. 2 D. 3

输出 k

S ? S ?k k ? k ?1
结束

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

图2

.

1 2 A 3 4 图3 B

12.如图 3, A, B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过 的最大信息量分别为 1, 2,3, 4 .从中任取两条网线,则这两条 网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是
2

.

13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, OP ? 点 M ? ?1, 0 ? ,则 cos ?OPM 的取值范围是

2 (点 O 为坐标原点) ,
.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC ( 顶点 A , B, C 按顺时 针方向排列 ) 的顶点 A, B 的极坐标分别为 ? 2,

? ?

?? ?

7? ? , ? 2, 6? ? 6

? ? ,则顶点 C 的极坐标 ?

为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 是圆 O 的直径, 延长 AB 至 C ,使 BC ? 2OB , CD 是圆 O 的切线,切 点为 D ,连接 AD , BD ,则

D A
.

AD 的值为 BD

O 图4

B

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 f ?

?? ? 1 ? ? ? 2 ? ? , f ? ? ? ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ?2? 3 ?2? 3

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示: 食物类型 维生素 C (单位/kg) 维生素 D (单位/kg) 成本(元/kg) 甲 300 700 5 乙 500 100 4 丙 300 300 3

某工厂欲将这三种食物混合成 100 kg 的混合食物, 设所用食物甲、 乙、 丙的重量分别为 x kg、 y kg、 z kg. (1) 试以 x 、 y 表示混合食物的成本 P ; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D ,问 x 、 y 、 z 取什么 值时,混合食物的成本最少?

3

18. (本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN ? ABCD , 下半部分是长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 (如 图 5). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6, 其中正(主)视图由正方形和等 腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM ? 平面 CDMN ; (3)求该建筑物的体积.

M D A

N C B

2 1 1

4

4

D1 A1 B1

C1
2 正(主)视图 图6 侧(左)视图

图5

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x ? 4 y 有一个相同的焦点 F1 ,
2

直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方 程及点 P 的坐标.

4

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N * ,都有 an ? 0 且 S n ?

? an ? 1?? an ? 2 ? ,
2

令 bn ?

ln an ?1 . ln an

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)使乘积 b1 ? b2 ????? bk 为整数的 k (k ? N ) 叫“龙数” ,求区间 ?1, 2012 ? 内的所有
*

“龙数”之和; (3)判断 bn 与 bn ?1 的大小关系,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ?R. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

5

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.(-3,1) 12.

1 3

13. [

2 ,1] 2

14. (2 3,

2? ) 3

15. 2

说明:第 14 题答案可以是 (2 3,

2? ? 2k? )( k ? Z ) 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正 弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1)解:? f ( x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? cos x ? sin x ? cos2 x . ??4 分
2 2

2? ?????6 分 ?? . 2 ? 1 ? 2 (2)解:由(1)得 f ( x) ? cos 2 x .? f ( ) ? , f ( ) ? , 2 3 2 3
∴函数 f(x)的最小正周期为 T ?

2 2 1 2 ? ? , ? cos? ? , cos ? ? . ? 0 ? ? ? ,0 ? ? ? 。 ? sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 3 3 3 2 2 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 5 . ?sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 3

?

2 2 2 1 5 4 2? 5 ? ? ? ? 3 9 3 3 3

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查线性规划等知识,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解 : 依 题 意 得 ?

? x ? y ? z ? 100 , ? P ? 5 x ? 4 y ? 3 z.

由 x ? y ? z ? 100 , 得 z ? 100 ? x ? y , 代 入

P ? 5x ? 4 y ? 3z ,得 P ? 300 ? 2 x ? y .

6

? x ? 0, y ? 0, z ? 0, ? (2)解:依题意知 x、y、z 要满足的条件为 ?300 x ? 500 y ? 300 z ? 35000 . ?700 x ? 100 y ? 300 z ? 40000 . ?

? x ? 0, y ? 0, ?100 ? x ? y ? 0. ? 把 z ? 100 ? x ? y 代入方程组得 ? ??9 分 ?2 x ? y ? 50, ? ? y ? 25.
如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A(37.5,25).?10 分 让目标函数 2 x ? y ? 300 ? P 在可行域上移动, 由此可知 P ? 300 ? 2 x ? y 在 A(37.5,25)处取得最小值. ∴当 x ? 37.5(kg), y ? 25(kg), z ? 37.5(kg) 时,混合食物的成本最少. ???12 分 18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识,考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:作 MO ? 平面 ABCD,垂足为 O,连接 AO,由于 AB ? 平面 ABCD,故 MO ? AB . 作 MP ? AB ,垂足为 P,连接 PO,又 MO

?MP ? M ,且 MO ? 平面 MPO, MP ? 平面 MPO,
在 Rt△POM 中 ,

? AB ? 平 面 MPO.

由 题 意 知 MO=PO=AP=1 , AA1 ? 4 , AD=2,

PM ? PO 2 ? MO 2 ? 2 ,在 Rt△APM 中, AM ?
为 3. (2)解:延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ,

AP 2 ? PM 2 ? 3 ,∴线段 AM 的长

由(1)知 AB⊥平面 MPO.? MQ ? 平面 MPO,

? AB ? MQ .? MN // AB ,

? MN ? MQ .在△PMQ 中, MQ ? MP ? 2 ,PQ=2,
? MP2 ? MQ2 ? 4 ? PQ2 ,

? MP ? MQ .
? MP?MN ? M , MP ? 平面 ABNM, MN ? 平面 ABNM,

? MQ ? 平面 ABNM.

? MQ ? 平面 CDMN,∴平面 ABNM⊥平面 CDMN.

7

(3)解法 1:作 NP 1 // MP 交 AB 于点 P1,作 NQ1 // MQ 交 CD 于点 Q1, 由题意知多面体 MN-ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M-APQD 和

N-P1BCQ1 和一个直三棱柱 MPQ-NP1Q1.

1 1 2 ? AP ? AD ? MO ? ? 1 ? 2 ? 1 ? , 3 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ-NP1Q1 的体积为 V2 ? ? MP ? MQ ? MN ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2 2 2 10 ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 V ? 2V1 ? V2 ? 2 ? ? 2 ? . 3 3
四棱锥 M-APQD 的体积为 V1 ? 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 ? AB ? BC ? AA1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ∴建筑物的体积为 V ? V3 ?

106 . 3
2 ,MQ ? NQ1 ? 1, AD=2.

解法 2:如图将多面体 MN-ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ-BCQ1, 依题意知 AQ ? DQ ? BQ1 ? CQ1 ?

多面体 MN-ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M-ADQ 和 N-BCQ1 的体积.

? AQ 2 ? DQ 2 ? 4 ? AD 2 ,? ?AQD ? 90? .
直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积为 V1 ? 三棱锥 M-ADQ 的体积为 V2 ?

1 1 ? AQ ? DQ ? AB ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 , 2 2

1 1 1 1 1 ? ? AQ ? DQ ? MQ ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? . 3 3 2 3 2

∴多面体 MN-ABCD 的体积为 V ? V1 ? 2V2 ? 4 ?

2 10 ? . 3 3

长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 ? AB ? BC ? AA1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ∴建筑物的体积为 V ? r3 ? 19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程 的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ?

106 . 3

? y ? 2 x ? m, ?x ? 4 y
2

消去 y,得 x ? 8 x ? 4m ? 0 .
2

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,

? ? ? 82 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m=-4.∴直线 l 的方程为 y=2x-4.
解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) .
8

1 2 1 1 x ,得 y ' ? x ,∴直线 l 的斜率 k ? y'|x ? x0 ? x0 . 4 2 2 1 依题意得 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 4 . 把 x0 ? 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 ? 4 . 2
由y? ∵点 ( x0 , y0 ) 在直线 l 上,? 4 ? 2 ? 4 ? m ,解得 m=-4. (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) .设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 ∴直线 l 的方程为 y=2x-4.

F1 ' ( x0 , y0 ) ,

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1, ? ? x0 则? ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? 2 ? 2
∴点 F1 ' (4,?1) .

解得 ?

? x0 ? 4, ? y 0 ? ?1 .

∴直线 l 与直线 F1 ' F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ( ,?1) . 由椭圆的定义及平面几何知识得: 椭圆 C1 的长轴长 2a ?| PF 1 | ? | PF2 |?| PF 1 '| ? | PF2 |?| F 1 ' F2 |? 4 , 其中当点 P 与点 P0 重合 时,上面不等式取等号.∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. 此时椭圆 C1 的方程为

3 2

y2 x2 3 ? ? 1 ,点 P 的坐标为 ( ,?1) . 4 3 2

解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1) ,依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) . 设椭圆 C1 的方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? 1) , a 2 a 2 ?1

? y ? 2 x ? 4, ? 2 2 2 2 2 由? y2 消去 y,得 (5a ? 4) x ? 16(a ? 1) x ? (a ? 1)(16 ? a ) ? 0.(*) x2 ? ?1 ? ? a 2 a 2 ?1
由 ? ? [16(a ? 1)] ? 4(5a ? 4)( a ? 1)(16 ? a ) ? 0 , 得 5a ? 20a ? 0 .
2 2 2 2 2

4

2

解得 a ? 4 .? a ? 2 .∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4.此时椭圆 C1 的方
2

程为

3 y2 x2 3 ? ? 1 . 把 a=2 代入(*)方程,得 x ? , y ? ?1,∴点 P 的坐标为 ( ,?1) . 4 3 2 2

9

20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于 S n ?

(a n ? 1)( a n ? 2) 2

?

2 an ? an ? 2

2



a12 ? a1 ? 2 2 当 n=1 时, a1 ? S1 ? .整理得 a1 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1=2 或 a1=-1. 2
? an ? 0 ,? a1 ? 2 . 当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?
2 2

2 2 an ? an ? 2 an ? a n ?1 ? 2 , ? ?1 2 2

? (an ? an ?1 )( an ? an ?1 ? 1) ? 0 .? an ? 0 , ? a n ? a n ?1 ? 1 . 化简得 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ? 0 ,
∴数列 {an } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.? an ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 . (2)解:? bn ?

ln an ?1 ln(n ? 2) , ? ln an ln(n ? 1) ln 3 ln 4 ln(k ? 2) ln(k ? 2) ? log 2 (k ? 2) . ? ??? ? ln 2 ln 3 ln(k ? 1) ln 2
m

? b1 ? b2 ? ? ? bk ?

令 log 2 (k ? 2) ? m ,则 k ? 2 ? 2 (m 为整数) , 由 1 ? 2 ? 2 ? 2012 ,得 3 ? 2
m m

? 2014 ,? m ? 2,3,4,?,10 .
3 10

∴在区间[1,2012]内的 k 值为 2 ? 2,2 ? 2,?,2 ? 2 ,
2

其和为 (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? ? ? (2
2 3

10

? 2) ? (2 2 ? 23 ? ? ? 210 ) ? 2 ? 9 ?

22 ? (1 ? 29 ) ? 18 1? 2

=2026

ln(n ? 3) ln(n ? 2) ln(n ? 1) ln(n ? 3) ? ln(n ? 1) b ? ? 1 ,? n ?1 ? ln(n ? 2) ? (3)解法 1:? bn ? b ln( n ? 2 ) ln(n ? 1) ln(n ? 1) ln 2 (n ? 2) n ln(n ? 1)

ln(n ? 3) ? ln(n ? 1) 2 [ ] [ln(n ? 3)( n ? 1)]2 2 ? ? ? 4 ln 2 (n ? 2) ln 2 (n ? 2)
? bn?1 ? bn .
解法 2:? bn ?

? n ? 3 ? n ?1 2? ln( ) ? ? 2 ? ? 2 4 ln (n ? 2)

2

=1.

ln(n ? 2) ln(n ? 1) ? ? 1, ln(n ? 1) ln(n ? 1)
10

? bn ?1 ? bn ?

ln(n ? 3) ln(n ? 2) ln(n ? 3) ? ln(n ? 1) ? ln 2 (n ? 2) = ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 1)

ln(n ? 3) ? ln(n ? 1) 2 ln(n ? 3)( n ? 1) 2 ] ? ln 2 (n ? 2) [ ] ? ln 2 (n ? 2) 2 2 ? ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1) ln(n ? 2) ? ln(n ? 1) [ 1 n ? 3 ? n ?1 2 2 [ ln( ) ] ? ln 2 (n ? 2) 2 =0. ? bn?1 ? bn . ? 2 ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)

ln( x ? 1) ( x ? 2) , ln x 1 1 ? ln x ? ? ln( x ? 1) x 则 f ' ( x) ? x ? 1 .? x ? 2 , ln 2 x 1 1 1 1 ? ? ln x ? ? ln( x ? 1) ? ? ln x ? ? ln( x ? 1) ? 0 .? f ' ( x) ? 0 . x ?1 x x x
解法 3:设 f ( x) ?

∴函数 f(x)在 [2,??) 上单调递减.? n ? N * ,? 2 ? n ? 1 ? n ? 2 .

? f (n ? 2) ? f (n ? 1) .?

ln(n ? 3) ln(n ? 2) ? . ? bn?1 ? bn . ln(n ? 2) ln(n ? 1)

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识,考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1)解:函数 f(x)的定义域为 (0,??) . f ' ( x) ?
①当 a=0 时, f ' ( x) ?

1 ax2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? . x x

1? x ,? x ? 0,? f ' ( x) ? 0 x
.

∴函数 f(x)单调递增区间为 (0,??) ②当 a ? 令 f'(x)=0 得 ? ? 0 时, (i)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

ax 2 ? x ? 1 ? x ? 0,? ax2 ? x ? 1 ? 0 . ? 0, x

? ? ? 1 ? 4a .

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ? 0 ,故 f ' ( x) ? 0 , 4

∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ? ?) . (ii)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a . x1 ? , x2 ? 2a 2a
11

若?

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x ? (0,??) 时, f ' ( x) ? 0 . 4

∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0,??) ,若 a>0,则 x1 ? 0, x2 ? 0 , 此时,当 x ? (0, x2 ) 时, f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ( x2 ,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ) ,单调递减区间为 ( ,??) . 2a 2a 1 ? 1 ? 4a 综上所述,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0, ) ,单调递减区间 2a 1 ? 1 ? 4a 为( ,??) : 2a
∴函数 f(x)的单调递增区间为 (0, 当 a ? 0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0,??) ,无单调递减区间. (2)解:由(1)得当 a ? 0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数 f(x)无极值; ???9 分 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (0, 则 f(x)有极大值,其值为 f ( x2 ) ? ln x2 ?
2 2

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ) ,单调递减区间为 ( ,??) ; 2a 2a
1 2 1 ? 1 ? 4a . ax2 ? x2 ,其中 x 2 ? 2a 2

而 ax2 ? x 2 ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? x2 ? 1 ,? f ( x2 ) ? ln x2 ? 设函数 h( x) ? ln x ? 则 h( x) ? ln x ?

x ?1 在 (0,??) 上为增函数.又 h(1)=0,则 h(x)>0 等价于 x>1. 2 x ?1 ? f ( x2 ) ? ln x2 ? 2 ? 0 等价于 x2 ? 1 .即在 a>0 时,方程 ax2 ? x ? 1 ? 0 的大根大于 1, 2
2

x ?1 1 1 ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? ? ? 0 , x 2 2

x2 ? 1 . 2

设 ? ( x) ? ax ? x ? 1 ,由于 ? ( x ) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点(0,-1) ,对称 轴x?

1 ? 0 ,则只需 ? (1) ? 0 ,即 a-1-1<0 解得 a<2,而 a>0,故实数 a 的取值范围为(0,2). 2a
1 1 ? 4a 1 1 1 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? ? ? ? 在 (0,??) 是减函数, ? 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a

说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 1.由于



1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ? 1 时,a=2,故 ? 1 的解集为(0,2) 2a 2a 1 ? 1 ? 4a ? 1 ,而 a>0,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为(0,2). 2a

从而实数 a 的取值范围为(0,2). 2.解不等式

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