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2015-2016学年高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用练习 苏教版必修5


1.3

正弦定理、余弦定理的应用

1.(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上方的角称为仰角, 视线在水平线下方的角称为俯角,如图 1. (2)方位角:从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角,如方位角是 45°, 指北偏东 45°,即东北方向. (3)方向角:从指定方向到目标方向线所成的水平角,如南偏西 60

°,即以正南方向为 始边,顺时针方向向西旋转 60°,如图 2 所示.

(4)李强出校门向东,前进 200 米,再向北走 200 米便回到家中,李强家在学校的哪个 方向? 答案:东偏北 45 度方向 200 2米处. 2.地面上三个点 A、B、C,若 B 在 A 正北方向上,C 在 A 北偏东 20°方向上 ,C 在 B 东偏北 25°方向上,则 C 在 A 东偏北 70°方向上,C 在 B 北偏东 65°方向上,A 在 C 西偏 南 70°方向上,B 在 C 西偏南 25 °方向上,B 在 C 南偏西 65°方向上. 3.(1)山下 B 点望山上 A 点仰角为 30°,则山上 A 点望山下 B 点俯角为 30°. (2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角.若水平面上点 A 处测得 点 B 的方位角是 120°,则点 B 在点 A 东偏南 30°方向上. 4.(1)A 点望 B、C 的视角是指∠BAC 的大小. (2)在△ABC 中,A=105°,B=30°,则 C 点望 A、B 的视角为 45°. 5.(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面的夹角. (2)沿坡度为 30°的斜坡直线向上行走 100 米,实际升高了 50 米. 6.东北方向是指东偏北 45°的方向. 1 7.(1)三角形面积:△ABC 中用 a 和 BC 边上的高 h 表示,三角形面积的公式为 S= ah 2 . (2)△ABC 中,已知 AB=AC=5,BC=6,则△ABC 的面积为 12.

1

(2)解析:由已知易得出 BC 边上的高为 4, 1 所以 S= ?6?4=12. 2 1 8.(1)△ABC 中用 a、b 和角 C 表示三角形面积的公式为 S= ab sin_C. 2 (2)△ABC 中,已知 A=30°,b=4,c=3,则△ABC 的面积为 3. 1 解析:(2)由三角形面积公式知 S= bcsin A=3. 2 A B+C 9.△ABC 中,A 与 B+C 互补, 与 互余,所以 2 2

sin(B+C)=sin_A,cos(B+C)=-cos_A, sin
B+C A B+C A =cos ,cos =sin . 2 2 2 2

1 2 2 10.设 Rt△ABC 的两直角边长为 a,b,则它的内切圆半径 r= (a+b- a +b ). 2 11.设△ABC 的周长为 2p,内切圆半径为 r,则△ABC 的面积=pr. 1 1 1 12.S= absin C= acsin_B= bcsin_ 2 2 2

?基础巩固 一、选择题 1.在某测量中,设点 A 在点 B 的南偏东 34°27′,则点 B 在点 A 的(A)

A.北偏西 34°27′

B.北偏东 55°33′

C.北偏西 55°33′ D.南偏西 55°33′
2.如图,为了测量某湖泊两侧 A,B 的距离,绘出下列数据,其中不能唯一确定 A,B 两点间的距离的是(D)

A.角 A,B 和边 b B.角 A,B 和边 a C.边 a,b 和角 C
2

D.边 a,b 和角 A
解析:根据正弦定理和余弦定理可知,当知道两边和其中一边的对角解三角形时,得出 的结果不一定唯一,故选 D. 3.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 6 km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏 东 20°,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为(A)

A.6 3 km B.3 3 km C.6 km D.2 3 km
解析: 如下图, 由余弦定理, 得 AB =AC +BC -2AC?BC?cos 120°=36+36+36=108, ∴AB=6 3 km.
2 2 2

4.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 AB=(B)

A.50 3 m B.50 2 m C.25 2 m D.
25 2 m 2

解析:∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠ABC=30°. 根据正弦定理得 50

sin 30° sin 45°



AB



解得 AB=50 2 m.

3

5.某人向正东方走了 3 km 后,突然向右转 150°,然后朝此方向前进了 3 km,此时, 他离出发点有(A)

A. 3 km B.2 3 km C.3 km D.3 3 km
解析:依题作出题图(如图所示),由余弦定理知

AC =AB +BC -2AB?BC?cos 30°=3+9-2? 3?3?

2

2

2

3 =3,∴AC= 3 km. 2

6.如图所示,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角 分别是 30°和 45°,则 A 点离地面的高 AB 等于(D)

A.10 m B.5 3 m C.5( 3-1) m D.5( 3+1) m
解析:AB= 二、填空题 7.某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 后,望见塔在正北,若测途测得 塔的最大仰角为 30°,则塔高为_______ _m. 2 2? DC ?sin 30°? AC= ? ?=5( 3+1) m. 2 2 ?sin 15° ?

4

解析:设塔高为 AB,某人由 C 前进到 D,依题意可得 CD=40 m,∠ACD=90°-60°= 30°,作 AE⊥CD 于点 E,则∠AEB=30°,则 AD=CDsin 30°=20,AE=ADsin 60°=10 3, ∴AB=AEtan 30°=10 3? 答案:10 8. 一树干被台风吹断, 折断部分与残存树干成 30°角, 树干底部与树尖着地处相距 5 m, 则树干原来的高度为________. 3 =10 m. 3

解析:如右图,AB=AC?tan 60°=5 3,BC= ∴AB+BC=(5 3+10)m. 答案:(10+5 3)m 三、解答题

AC

sin 30°

=10,

9.一船以每小时 15 km 的速 度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行 驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°,求此时船与灯塔的距离. 解析:如题图,

5

由正弦定理得, BC ∴BC=30 2 km. ∴此时船与灯塔的距离为 30 2 km. 10.如下图,在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45°,在它的南偏东 60°的 B 处测得塔顶的仰角为 30°,AB 的距离是 84 m,求塔高.

sin(90°-60°) sin 45°



15?4



解析:设塔高 CD=x m,则 AD=x m,DB= 3x m. 在△ABD 中 ,利用余弦定理得 84 =?
2

x x ? ? +? ? -2 3 ?x2cos(90°+ ? ? ? ?tan 45°? ?tan 30°?

2

2

60°),解得 x=±12 7(负值舍去),故塔高为 12 7 m. ?能力升级 一、选择题 11. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的(B)

6

A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10°
解析:如题图,结合题意得∠ACB=180°-60°-40°=80°. ∵AC=BC,∴∠ABC=50°,α =60°-50°=10°. 12.若水平面上,点 B 在点 A 南偏东 30°方向上,则点 A 处测得点 B 的方位角是(C)

A.60° B.120° C.150° D.210°
解析:根据方位角的意义,可得点 B 的方位角是 180°-30°=150°. 13.有一长 1 k m 的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸 长(A)

A.1 km B.sin 10° km C.cos 10° km D.cos 20° km
解析:如图,∠ABD=20°-10°=10°, ∴AD=AB=1 km .

7

二、填空题 14.(2014?新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测 量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠ CAB=45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,测山高 MN=________m.

解析:利用三角函数的定义及正弦定理求解. 根据图示,AC=100 2m. 在△MAC 中,∠CMA=180°-7 5°-60°=45°. 由正弦定理 得 AC

sin 45° sin 60°



AM

? AM=100 3 m.

MN 在△AMN 中, =sin 60°, AM ∴MN=100 3? 答案:150 15. 我舰在敌岛南偏西 50°相距 12 海里的 B 处, 发现敌舰正由岛 A 沿北偏西 10°的方 向以 10 海里/时的速度航行,我舰要用 2 小时追上敌舰,则需要的最小速度为________. 3 =150(m). 2

解析:如题图,∠BAC=180°-10°-50°=120°, AB=12,AC=2?10=20, ∴BC =12 +20 -2?12?20cos 120°=784,
2 2 2

8

28 BC=28,速度为 =14(海里/时). 2 答案:14 海里/时 三、解答题 16.如右图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇 险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处 的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1°)?

解析:连接 BC,由余弦定理得 BC =20 +10 -2?20?10cos 120°=700. 于是,BC=10 7. ∵
2 2 2

sin∠ACB sin 120°
20 = 10 7

,∴sin∠ACB=

3 21 = ,∵∠ACB<90°,∴∠ACB≈71°. 7 7

∴乙船应朝北偏东约 71°方向沿直线前往 B 处救援.

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