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高中数学必修5新教学案:第一章解三角形小结与复习


第一章

解三角形小结与复习(学案)

【知识归类】 1.正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

注意: (1)R 表示△ABC 外接圆的半径; (2)正弦定理可以变形成各种形式来使用; (3)应用正弦定理解决的题型:①已知两角和一边,求其它②

已知两边和一边的对角, 求其它. (4)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,具体后 面例题再进一步分析. 2.余弦定理:在△ABC 中,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
变形为:

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? 2bc 2ac 2ab

注意: (1)应用余弦定理解决的题型:①已知三边,求各角②已知两边和一边的对角, 求其它③已知两边和夹角,求其它; (2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解, 反之亦然;只是方便程度有别; (3)正、余弦定理可以结合使用; 3.△ABC 的面积公式, S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2

4.三角形形状的判定方法 常用两种途径: (1)由正余弦定理将边转化为角; (2)由正余弦定理将角转化为边;注:化 简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合 起来. 5.解三角形的应用可大体上把它分成以下三类: (1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达; (2)高度问题(最后都转化为解直角三角形) ; (3)角度问题; (4)面积问题. 【题型归类】 题型一:正弦定理的应用 例 1 (1)在△ABC 中, A= 30 ,B= 45 ,a=6,求 c; (2)在△ABC 中,A= 30 ,b=4,a=3,则 cosB; (3)在Δ ABC 中,B= 30 ,b= 50 3 ,c=150,求 a.
0 0 0 0

题型二:余弦定理的应用 例 2(1)在△ABC 中, a=2,B= 600 ,c=4,求 b; (2)在△ABC 中, a=7,b=3,c=5, 求最大角和 sinC;

1

(3)在△ABC 中, a= 3 ,b= 2 , B ? 450 ,求 c.

题型三:判定下列三角形的形状 例 3(1)在△ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状;
2 2 2

1 2 , a ? bc ,判断△ABC 的形状; 2 (3)在△ABC 中,若 B ? 600 ,2b ? a ? c ,试判断△ABC 的形状.
(2)在△ABC 中,已知 cos A ?

变式练习: 设 2a ? 1, a,2a ? 1 为钝角三角形的三边,求实数 a 的取值范围?

题型四:三角形的面积 例 4 (1)在△ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0, a ?
2 2

6 , cos A ?

7 ,求△ABC 的面积; 8

(2)在△ABC 中, B ? 300 , AB ? 2 3, 面积 S ? 3, 求 AC; 2 (3) 在△ABC 中,边 a, b 的长是方程 x ? 5x ? 2 ? 0 的两个根, C ? 600 , 求边 C 的长.

题型五:三角形恒等式 例 5 在 ?ABC 中,求证

a ? c cos B sin B ? . b ? c cos A sin A
0

例 6 如图,港口 A 北偏东 30 方向的 C 处有一观测站,港口正东方向的 B 处有一轮船,测 得 BC 为 31nmile , 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 nmile 后到 D 处, 测得 CD 为 21nmile , 问此时轮船离港口 A 还有多远?

【思想方法】 1.数学思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论的数学思想. 2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化与化归的方法、建模法等.

一.选择题 1.在△ABC 中,若 sin A : sin B ? 2 : 3 ,则边 b : a ? (

).

3 4 (A) 3 : 2或9: (B) 2:(C)

9:(D) 3: . 4 2
2

2.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= 8 3 则三角形的面积为( (A) 32 3 (B)16 (C) 32 3 或 16

) . (D)32 3 或 16 3 .

3.在△ABC 中,A、B、C 所对边分别为 a,b,c 且 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则 A 等于 ( (A) ) .

? 6

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

2? 3
) .

4.在△ABC 中,三边长 AB=7,BC=5,AC=6,则 AB ? BC 的值为( (A)19 5.若 (B)-14 (C)-18 (D)-19 ).

sin A cos B cos C ? ? ,则△ABC 的形状为( a b c

(A)等边三角形 (B)等腰直角三角形 (C)有一个角为 30°的直角三角形 (D)有一个角为 30°的等腰三角形. 6. 在直角三角形中,A、B 为两锐角,则 sin Asin B 中( ) (A)有最大值

1 和最小值 0 2

(B)有最大值

1 和无最小值 2

(C)无最大值也无最小值 二、真空题:

(D)有最大值 1,但无最小值.

7.在△ABC 中,若 B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积为

.

8. 已知三角形的三边成公差为 2 的等差数列,且它的最大角的正弦值为,则这个三角形的 面积为 . 9.若以 2,3, x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的取值范围是 . 10.△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 . 三、解答题: 11.已知 a, b, c 是 ?ABC 中角 A, B, C 的对边,且 a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,
2

求这个三角形的最大内角. 12.在△ABC 中, BC=a, AC=b, 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, cos( A ? B ) ? a,b 且
2

1 . 2

求(1)角 C 的度数; (2)AB 的长; (3)△ABC 的面积.

3

第一章

解三角形小结与复习(教案)

【知识归类】 1.正弦定理:在△ABC 中,

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

注意: (1)R 表示△ABC 外接圆的半径; (2)正弦定理可以变形成各种形式来使用; (3)应用正弦定理解决的题型:①已知两角和一边,求其它②已知两边和一边的对角, 求其它. (4)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,具体后 面例题再进一步分析. 2.余弦定理:在△ABC 中,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
变形为:

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? 2bc 2ac 2ab

注意: (1)应用余弦定理解决的题型:①已知三边,求各角②已知两边和一边的对角, 求其它③已知两边和夹角,求其它; (2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解, 反之亦然;只是方便程度有别; (3)正、余弦定理可以结合使用; 3.△ABC 的面积公式, S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2

4.三角形形状的判定方法 常用两种途径: (1)由正余弦定理将边转化为角; (2)由正余弦定理将角转化为边;注:化 简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合 起来. 5.解三角形的应用可大体上把它分成以下三类: (1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达; (2)高度问题(最后都转化为解直角三角形) ; (3)角度问题; (4)面积问题. 【题型归类】 题型一:正弦定理的应用 例 1 (1)在△ABC 中, A= 30 ,B= 45 ,a=6,求 c; (2)在△ABC 中,A= 30 ,b=4,a=3,则 cosB; (3)在Δ ABC 中,B= 30 ,b= 50 3 ,c=150,求 a. 【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角,适合正弦定理解决的类型. 解: (1)? A ? 30 , B ? 45 ?C ? 1800 ? 30 ? 45 ? 105 .
0 0 0 0 0
0 0 0 0

由正弦定理得

c a 6sin1050 ? ?c ? ?3 sin C sin A sin 300

?

6? 2 .

?

4

(2)由正弦定理得

sin B sin A 4sin 300 2 ? ? sin B ? ? . b a 3 3
2

又由三角函数同角基本关系得 cos B ? ? 1 ? sin B ? ?

5 . 3

(3) 由正弦定理得

c b 150sin 300 3 ? ?sin C ? ? . sin C sin B 2 50 3

? 00 ? C ? 1500 ,?C ? 600 或 C ? 1200.
当 C ? 60 时, A ? 1800 ? B ? C ? 900 ,? a ? b2 ? c 2 ? 100 3;
0

当 C ? 120 时, A ? 1800 ? B ? C ? 300 ,? a ? b2 ? c 2 ? 50 3.
0

故 a ? 100 3 或 a ? 50 3. 【方法总结】当已知两边和一对角,求其它时,可能有无解、一解或两解,注意讨论. 题型二:余弦定理的应用 例 2(1)在△ABC 中, a=2,B= 600 ,c=4,求 b; (2)在△ABC 中, a=7,b=3,c=5, 求最大角和 sinC; (3)在△ABC 中, a= 3 ,b= 2 , B ? 450 ,求 c. 【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它,适合余弦定理解决的类型;当已知两 边和一对角,求其它时也可使用余弦定理. 解: (1)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 16 ? 2 ? 2 ? 4 ? cos 60 ? 12 ,
2 2 2 0

?b ? 2 3.
(2)? a ? c ? b ??A 为最大角. 由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ?a 2 1 ? ? ,? A ? 1200 , 2bc 2

又由正弦定理得 sin C ?
2

c sin A 5 3 5 3 ? ? ? . a 7 2 14
2 2 2 0

(3)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 3 ? c ? 2 ? 3 ? c ? cos 45 ? 2 , 解得 c ?

6? 2 6? 2 . 或c ? 2 2

【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定 能解,注意难易方法的选择. 题型三:判定下列三角形的形状

5

例 3(1)在△ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状;
2 2 2

1 2 , a ? bc ,判断△ABC 的形状; 2 (3)在△ABC 中,若 B ? 600 ,2b ? a ? c ,试判断△ABC 的形状.
(2)在△ABC 中,已知 cos A ? 【审题要津】这里已知边和角判断△ABC 的形状,正确选择正、余弦定理进行解决.

? a ? ? b ? ? c ? 2 2 2 2 2 2 解: (1)由正弦定理得 ? ? ?? ? ?? ? ,?a ? b ? c ,?a ? b ? c ? 0. ? 2R ? ? 2R ? ? 2R ?
由余弦定理得 cos C ? (2)? cos A ? 又? cos A ?
2

2

2

2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ??C ,故△ABC 为钝角三角形. 2ab

1 ,? A ? 60 0 , 2

1 2 b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? bc 1 , a ? bc,? cos A ? ? ? . 2 2bc 2bc 2

??b ? c? ? 0,?b ? c.
故△ABC 为等边三角形. (3)解法 1 由正弦定理得 2 sin B ? sin A ? sin C.

? B ? 600 ,? A ? C ? 1200 , A ? 1200 ? C, ? 2 sin 600 ? sin 1200 ? C ? sin C.
展开得

?

?

3 1 sin C ? cosC ? 1. ?sin(C ? 300 ) ? 1,?C ? 300 ? 900 ?C ? 600. 2 2

? A ? 600 , 故△ABC 为等边三角形.
解法 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B.
2 2 2

a?c ?a?c? 2 2 0 ? B ? 60 , b ? ,? ? ? ? a ? c ? 2ac cos60 , 2 ? 2 ?
2 0

整理得 ? a ? c ? ? 0,? a ? c ? b.
2

故△ABC 为等边三角形. 【方法总结】常用两种途径: (1)由正余弦定理将边转化为角; (2)由正余弦定理将角转化 为边;注:化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公 式等综合结合起来. 变式练习: 设 2a ? 1, a,2a ? 1 为钝角三角形的三边,求实数 a 的取值范围?

6

?2 a ? 1 ? 0 1 ? 解:? 2a ? 1, a,2a ? 1 为钝角三角形的三边,? ?a ? 0 解得 a ? , 2 ?2 a ? 1 ? 0 ?
此时 2a ? 1 最大,? 要使 2a ? 1, a,2a ? 1 是三角形的三边,还需 2a ? 1 ? a ? 2a ? 1, 得 a ? 2. 设最长边 2a ? 1 所对的角为 ? ,则 cos? ? 故 a 的取值范围为 8 ? a ? 2. 题型四:三角形的面积 例 4 (1)在△ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0, a ?
2 2

1 a?a ? 8? ? 0 ,解得 8 ? a ? , 2 2a?a ? 1?

6 , cos A ?

7 ,求△ABC 的面积; 8

(2)在△ABC 中, B ? 300 , AB ? 2 3, 面积 S ? 3, 求 AC; 2 (3) 在△ABC 中,边 a, b 的长是方程 x ? 5x ? 2 ? 0 的两个根, C ? 600 , 求边 C 的长.
【审题要津】这里已知边和角求△ABC 的面积或变形应用面积公式求解. 解: (1)? cos A ?

7 7 b2 ? c2 ? 6 ,? ? . 8 8 2bc

?b 2 ? bc ? 2c 2 ? ?b ? 2c??b ? c? ? 0,? b ? 2c ? 4.
7 15 15 ?7? ? cos A ? ,? sin A ? 1 ? ? ? ? ,? S ?ABC ? . 8 8 2 ?8?
(2) ? B ? 300 , AB ? 2 3, S ? 3,
2

?S ? 3 ?

1 1 ac sin B ? ? a ? 2 3 ? sin 30 0 ,? a ? AC ? 2. 2 2
2

(3) ? 边 a, b 的长是方程 x ? 5x ? 2 ? 0 的两个根,? a ? b ? 5, ab ? 2.

? C ? 60 0 ,? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? ?a ? b ? ? 2ab ? 2ab ?
2

1 ? 19,? c ? 19 . 2

【方法总结】 根据三角形的面积 S ?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 知关键在于两邻边 2 2 2

的乘积与夹角的正弦值的积,结合条件直接应用或整体求解. 题型五:三角形恒等式 例 5 在 ?ABC 中,求证

a ? c cos B sin B ? . b ? c cos A sin A

【审题要津】由左边看出含有角和边,可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值,再 由正弦定理化变为角的正弦; 左边中分子、 分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求 的.

7

证明: 解法 1 化角为边得: 左边 ?

a ? c a2 ? c2 ? b2 b 2 R sin B sin B ? ? ? ? 右边. 2 2 2 a 2 R sin A sin A c b ?c ?a b? 2bc

? ?

? ?

故原等式成立. 解法 2 化边为角得:左边 ?

sin A ? sin C ? cos B sin(B ? C ) ? sin C cos B ? sin B ? sin C ? cos A sin( A ? C ) ? sin C cos A

?

sin B ? 右边. sin A

故原等式成立. 【方法总结】解决此类题时,既要用到三角形有关的恒等式,又要用到任意角的三角函数的 恒等式;证明时注意分析等式两边的形式是边还是角,便于从正余弦定理转化证得. 题型六:应用题 例 6 如图,港口 A 北偏东 30 方向的 C 处有一观测站,港口正东方向的 B 处有一轮船,测 得 BC 为 31nmile , 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 nmile 后到 D 处, 测得 CD 为 21nmile , 问此时轮船离港口 A 还有多远? 【审题要津】要求 AD 的长,在 ?ACD 中,只要求出 ?ACD 即可,可由正弦定理求解;要 求 ?ACD ,可在 ?CDB 中,由余弦定理求解 ?CDB . 解:易知 ?A ? 60 ,设 ?ACD ? ? , ?CDB ? ? ,
0 0

在 ?BCD 中,由余弦定理得: cos ? ?

CD 2 ? BD2 ? BC 2 1 ?? , 2CD ? BD 7

1 4 3 ? sin ? ? 1 ? (? ) 2 ? . 7 7
? sin ? ? sin(? ? 600 ) ? sin ? cos600 ? cos ? sin 600 ?
在 ?ACD 中,由正弦定理得:

5 3 . 14

CD AD CD sin ? ? , ? AD ? ? 15(nmile ). sin A sin ? sin A 故此时轮船离港口 A 还有 15nmile .
【方法总结】正余弦定理在实际应用中很广泛,常见题有:距离、高度、角度等问题;解决 时,首先要认真分析题意,找出各量间的关系,根据题意画出示意图,将问题抽象为三角形 模型(数学建模) ,然后利用正余弦定理求解,最后将结果转化为实际问题. 【思想方法】 1.数学思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论的数学思想. 2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化与化归的方法、建模法等.

8

一.选择题: 1.在△ABC 中,若 sin A : sin B ? 2 : 3 ,则边 b : a ? (

D ).

3 4 (A) 3 : 2或9: (B) 2:(C)

9:(D) 3: . 4 2
) (D) 32 3 或 16 3

2.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= 8 3 则三角形的面积为(D (A) 32 3 (B)16 (C) 32 3 或 16

3.在△ABC 中,A、B、C 所对边分别为 a,b,c 且 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则 A 等于 ( B ) (B)

? (A) 6

? 3

(C)

? 4

(D)

2? 3

4.在△ABC 中,三边长 AB=7,BC=5,AC=6,则 AB ? BC 的值为( D ) (A)19 5.若 (B)-14 (C)-18 (D)-19 ).

sin A cos B cos C ? ? ,则△ABC 的形状为( B a b c

(A)等边三角形 (B)等腰直角三角形 (C)有一个角为 30°的直角三角形 (D)有一个角为 30°的等腰三角形. sin Asin B 中( B ) 6. 在直角三角形中,A、B 为两锐角,则 (A)有最大值

1 和最小值 0 2

(B)有最大值

1 和无最小值 2

(C)无最大值也无最小值 二、真空题:

(D)有最大值 1,但无最小值.

7.在△ABC 中,若 B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积为

2 3或 3

.

8. 已知三角形的三边成公差为 2 的等差数列,且它的最大角的正弦值为,则这个三角形的 面积为

15 3 4

.

9.若以 2,3, x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的取值范围是

? 5, 13?
.

.

10.△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 三、解答题:

? ?? ? 0, ? ? 6?

11.已知 a, b, c 是 ?ABC 中角 A, B, C 的对边,且 a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,
2

求这个三角形的最大内角. 解:? a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,? a ? a ? 2b ? (a ? 2b ? 3) ? 0.
2 2

?b ?

1 2 1 1 a ? 2a ? 3 ? ?a ? 3??a ? 1?, c ? a 2 ? 3 . 4 4 4

?

?

?

?

9

1 ? b ? 0,? a 2 ? 2a ? 3 ? 0. ? a ? 3,. ? b ? c ? ? .?a ? 3? ? 0. 2 1 ? b ? c. 又 c ? a ? ?a ? 3??a ? 1? ? 0, ?c ? a. 故是△ABC 中最大的边. 4
由余弦定理得 cosC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? (b ? c)(b ? c) 1 ? ?? . 2ab 2ab 2

?C ? 1200
12.在△ABC 中, BC=a, AC=b, 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, cos( A ? B ) ? a,b 且
2

1 . 2

求(1)角 C 的度数; (2)AB 的长; (3)△ABC 的面积. (1)C=120°(2)AB= 10 (3) S ?ABC ?

3 2

10


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