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文导数及应用单元综合练习题

时间:2013-01-28


导数及其应用复习题 一选择题 1.已知函数f (x ) = a x 2 +c,且 f ?(1) =2 , 则a的值为 A.1 B. 2 C.-1 D. 0 ( )

2. 已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为 A.(x - 1)3+3(x - 1) B.2(x - 1)2 C.2(x - 1) 3. 已知函数

f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 1,则
2 3 3 4.函数 y = (2x+1) 在 x = 0 处的导数是( A.0 B.1 C.3 D.6
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 3x

D.x - 1 (
3 2

lim
x ?0

)

A.3

B. ?

C. )

1 3

D. ?

? 5 函数 y ? cos 2 x在点( ,0) 处的切线方程是 ( 4
A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 6.曲线 y ? cos x(0 ? x ? A. 4 B.
5 2

) D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0

C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 )

3? ) 与坐标轴围成的面积是( 2

C. 3

D. 2 ( )

8 函数 y ? 1 ? 3x ? x3 有

A.极小值-1,极大值 1 B. 极小值-2,极大值 3 B.C.极小值-1,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2 3 11.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 (0,1) 内有极小值则( ) ? A? 0 ? b ? 1 ?B ? b ? 1 ?C ? b ? 0 ?D ? b ? 1 2 3 2 12函数 f ( x) ? 2x ? 3x ?12 x ? 5 在 ?0,3? 上最大值和最小值分别是(



(A)5 , -15 (B)5,-4 (C)-4,-15 (D)5,-16 2 13.若函数 f ( x) 的导数为 ?2 x ? 1 ,则 f ( x) 可以等于( ) 2 A. ?2 x3 ? 1 B x ?1 C. ?4x D ? x3 ? x 3 2 14 函数 y ? sin(2 x ? x) 导数是( ) A.. cos(2 x2 ? x) B. 2x sin(2 x2 ? x) C. (4 x ? 1)cos(2 x2 ? x) D. 4cos(2 x2 ? x) 15 函数 f ( x) ? 2x2 ? ln x 的递增区间是 ( ) 1 1 1 1 1 1 A. (0, ) B. ( ? , 0)及( , ??) C. ( , ??) D. (??, ? )及(0, ) 2 2 2 2 2 2 二填空题 11.函数 y ? x3 ? x2 ? x 的单调增区间为_________

1

12.设函数 f ?( x) ? 2x3 ? ax2 ? x , f ?(1) = 9,则 a ? ________ 14 把总长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地则矩形场地的最大面积是 3 s 16 已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? (t 秒, 米),则物体在时刻 t = 4 时的速度 v = 加 t 速度 a = 三解答题 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值。

2.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程.

3 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间;

x x ?1

(2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程;

4 设函数

f ( x) ?

1 4 x ? bx 2 ? cx ? d ,当 x ? t1 时, f ( x) 有极小值。 4
f ( x) 有极大值,求实数 c 的取值范围; f ( x) 在区间 [m ? 2, m ? 2]上单调递增,求实数

(1)若 b ? ?6 时,函数

(2)在(1)的条件下,若存在 c ,使

m 的取值范围;

5 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示.
2

(I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ? f (x) 与 y ?
1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三个不同的交点,求 3

m 的取值范围.

6 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f (x) 的单调区间;
3 1 m (II)函数 f (x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区 2 3 2 间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围.

7 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实 数 a 的取值范围; (II)若方程 f ( x) ? ?
( 2a ? 3) 2 恰好有两个不同的根,求 f (x) 9

8 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

9 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)e x 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x) 在 x ?[ ,3] 的最大值和最小值.
3 2

10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0)
3

(I)当 a=18 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)求函数 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值.

高考题 (07 年 22)设函数 f(x)=x +b ln(x+1),其中 b≠0.
2

(Ⅰ)当 b> 时,判断函数 f(x)在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值点;

1 2

1 1 1 (Ⅲ)证明对任意的正整数 n,不等式 ln ( ? 1) ? 2 ? 3 都成立. n n n

(08 山东) (21)已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n, 当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1.

(2010 年) (22)已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ?

1 时,讨论 f (x ) 的单调性; 2
1 时,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 4

2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4.当a ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

4

选修2-2第一章试卷答案 一、选择题(本大题共 16 小题,每小题 5 分,共 80 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知函数 f (x ) = a x 2 +c,且 f ?(1) =2 , 则 a 的值为 A.1 B. 2 C.-1 D. 0 ( A ) ( A )

2. 已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为 A.(x - 1)3+3(x - 1) B.2(x - 1)2 C.2(x - 1) 3. 已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 A.3 B. ?
f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 3x

D.x - 1 (B
3 2 (

lim
x ?0

)

2 1 C. 3 3 3 4. 函数 y = (2x+1) 在 x = 0 处的导数是 A.0 B.1 C.3

D. ? D.6 ( D )

D )

? 5.函数 y ? cos 2 x在点( ,0) 处的切线方程是 4
A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0
3? ) 与坐标轴围成的面积是 2

6.曲线 y ? cos x(0 ? x ?



C



5

A. 4

B.

5 2

C. 3

D. 2

7.一质点做直线运动,由始点起经过 t s 后的距离为 s = 则速度为零的时刻是 A.4s 末 B.8s 末 8.函数 y ? 1 ? 3x ? x3 有

1 4 t - 4t3 + 16t2, 4 ( D ) C.0s 与 8s 末 D.0s,4s,8s 末

( C



A.极小值-1,极大值 1 B. 极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2 9. 已知自由下落物体的速度为 V = g t ,则物体从 t = 0 到 t 0 所走过的路程为( A ) 1 1 1 A. gt0 2 B. gt0 2 C. gt0 2 D. gt0 2 2 3 4 10.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm,则力所做的 功为 ( D ) A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.18J 11、一物体在力 F ( x) ? 4 x ? 1 (单位:N)的的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1m 处运动 到 x=3m 处, 则力 F ( x) 所作的功为( C ) A. 10J B. 12J C. 14J D. 16J 3 12、若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 (0,1) 内有极小值 , 则( A ) ? A? 0 ? b ? 1 ?B ? b ? 1 ?C ? b ? 0 ?D ? b ? 1 2 3 2 13、函数 f ( x) ? 2x ? 3x ?12 x ? 5 在 ?0,3? 上最大值和最小值分别是( A (A)5 , -15 (B)5,-4 (C)-4,-15 2 14、若函数 f ( x) 的导数为 ?2 x ? 1 ,则 f ( x) 可以等于( D A. 、 ?2 x3 ? 1 B、 x ? 1 C.、 ?4x )



(D)5,-16

2 D、 ? x 3 ? x 3

15、函数 y ? sin(2 x2 ? x) 导数是( C ) 2 2 A.. cos(2 x ? x) B. 2x sin(2 x ? x) C. (4 x ? 1)cos(2 x2 ? x) 16、函数 f ( x) ? 2x2 ? ln x 的递增区间是 ( C ) 1 1 1 1 A. (0, ) B. ( ? , 0)及( , ??) C. ( , ??) 2 2 2 2 二、填空题: (每题 4 分共 24 分)

D. 4cos(2 x2 ? x)

1 1 D. (??, ? )及(0, ) 2 2

1? ? 11.函数 y ? x3 ? x2 ? x 的单调增区间为 ? ??, ? ? , ?1, ?? ? 。 3? ?

12.设函数 f ?( x) ? 2x3 ? ax2 ? x , f ?(1) = 9,则 a ?

6

.

6

13. 物体的运动方程是 s = - t +2t -5,则物体在 t = 3 时的瞬时速度为__3____. 14.把总长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__16__m2. 15. ? (3x2 ? k )dx ? 10, 则k ?
0 2

1 3

3

2

1

,

?

8

3

?1

xdx ?

45 . 4

125 3 s 16、已知物体的运动方程是 s ? t 2 ? (t 秒, 米),则物体在时刻 t = 4 时的速度 v = , 16 t 67 加速度 a = 。 32

三、解答题:(共 46 分) 17.计算下列定积分。 (12 分) (1) ? | x |dx
?4 3

(2) ?

e ?1

2

1 dx x ?1

= ? 04 (? x)dx ? ?3 xdx ? 0
1 1 = ? x 2 |0 4 ? x 2 |3 ? 0 2 2 25 = 2

= ln( x ?1) |e?1 2 = ln(e ? 1 ? 1) ? ln(2 ? 1) =1

18. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值。
解 : f ' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ? f ' (?2) ? 3(?2) 2 ? 2a(?2) ? b ? 0 ? ?12 ? 4a ? b ? 0 又f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3? a ? 1, b ? ?8 又f ( x)过(1, 0)点,?13 ? a ?12 ? b ?1 ? c ? 0 ?c ? 6

19.某厂生产产品 x 件的总成本 c( x) ? 1200 ? 数x满 足: P 2 ? 分)
解:由题意知有:502 ?

2 3 x (万元),已知产品单价 P(万元)与产品件 75

k ,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少件时总利润最大?(8 x

k 25 ?104 500 得k=25 ? 104 ,? P ? ? 100 x x

1 500 2 2 ?总利润L(x)=x? ? 1200 ? x3 ? L' ( x) ? 500 x 2 ? x 2 75 25 x ' 令L ( x) ? 0则有 : x ? 25(件) ?当x ? 25件时,总利润最大.

7

20.求由曲线 y ? x2 ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积。 y分) (8

解 :由题意知阴影部分的面积是:
2 S= ?1 ( x 2 ? 2 ? 3 x)dx ? ?1 (3x ? x 2 ? 2)dx 0

1 3 3 1 2 ? ( x3 ? 2 x ? x 2 ) |1 ?( x 2 ? x3 ? 2 x) |1 0 3 2 2 3 ?1

0

x

1

2

21.物体 A 以速度 v ? 3t 2 ? 1 在一直线上运动,在此直线上与物体 A 出发的同时,物体 B 在物体 A 的正前方 5m 处以 v ? 10t 的速度与 A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物 体 A 的走过的路程是多少?(时间单位为:s,速度单位为:m/s) 分) (8

解 : 设A追上B时, 所用的时间为t0 , 依题意有 S A ? S B ? 5即 ? t00 (3t 2 ? 1)dt ? ? t00 (10t )dt ? 5 ? (t 3 ? t ) |t00 ? 5t 2 |t00 ?5 ? t0 ? 5( s)
2 ? S A ? 5t0 ? 5 ? 5 ? 52 ? 5 ? 130(m)

8


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