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新课标人教A版数学必修五(B)


第一章

解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理? 1.1.1 正弦定理?? 从容说课 本章内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密 切的联系,与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系.教科书 在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题 ―在任意三角形 中有大边对大角,

小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表 示呢?‖在引入余弦定理内容时,提出探究性问题―如果已知三角形的两条边及其所夹的角, 根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化 的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一 边和两个角的问题‖.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去 的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结 构.? 教学重点 1.正弦定理的概念;? 2.正弦定理的证明及其基本应用. 教学难点 1.正弦定理的探索和证明;? 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.? 教具准备直角三角板一个?? 三维目标 一、知识与技能? 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;? 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.?? 二、过程与方法? 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系;? 2.引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理;? 3.进行定理基本应用的实践操作.?? 三、情感态度与价值观? 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;? 2.培养学生探索数学规律的思维能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.?? 教学过程 导入新课?

师如右图,固定△ABC 的边 CB 及∠B,使边 AC 绕着顶点 C 转动.? 师思考:∠C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系??
1

生显然,边 AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大.? 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来??

师在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系.如右图,在 Rt△ABC 中,设 BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数 的定义,有

a b c a b c ? ? ? c .从而在直角 =sinA, =sinB,又 sinC=1= ,则 c c c sin A sin B simC

三角形 ABC 中,

a b c ? ? . sin A sin B simC
推进新课 [合作探究]? 师那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)? 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:?

如右图,当△ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, 有 CD=AsinB=BsinA, 则

a b c b ? ? , 同 理 , 可 得 . 从 而 sin A sin B sin C sin B

a b c ? ? . s iA n s iB n s iC n
(当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成)? 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即?

a b c ? ? .? sin A sin B sin C
师是否可以用其他方法证明这一等式?? 生可以作△ABC 的外接圆,在△ABC 中,令 BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直 角以及同弧所对的圆周角相等,来证明

a b c ? ? 这一关系.? sin A sin B sin C

师很好!这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来看下面的证 法. 在△ABC 中,已知 BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B′,
2

设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90° ,∠C =∠B′,

∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ? ∴

c .? 2R

c ? 2 R .? sin C a b ? 2 R, ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B a b c ? ? ? 2 R .? ∴ sin A sin B sin C
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式?

a b c ? ? .? sin A sin B sin C
点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角 三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学 生所持的―向量方法证明正弦定理是唯一途径‖这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下 一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.? [知识拓展]? 师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理 反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?? 生向量的数量积的定义式 A· B=|A||B|Cosθ,其中 θ 为两向量的夹角.? 师回答得很好 , 但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系 , 这两者之间能否转化 呢?? 生 可以通过三角函数的诱导公式 sinθ=Cos(90° -θ)进行转化.? 师这一转化产生了新角 90° -θ,这就为辅助向量 j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅 助向量选取了单位向量 j,而 j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了 90° -θ 这一形式,这是 作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因.? 师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得?

AC ? CB ? AB
而添加垂直于

AC 的单位向量 j 是关键,为了产生 j 与 AB ?、 AC 、CB 的数量积,

而在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算,也就在情理之中了.? 师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中
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所用到的向量知识点.? 点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以 及两向量垂直的充要条件的运用.? (2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.? 向量法证明过程:? (1)△ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 与

AC ,则 j 与 AB 的夹角为 90° ?-A,j

CB 的夹角为 90° -C.?

由向量的加法原则可得?

AC ? CB ? AB ,?
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积 运算,得到

j ? ( AC ? CB) ? j ? AB
由分配律可得

AC ? j ? CB ? j ? AB .?
∴|j|

AC Cos90° +|j| CB Cos(90° -C)=|j| AB Cos(90° -A).?

∴AsinC=CsinA.? ∴

a c ? .? sin A sin C

另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 90° +B,可得

AC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 的夹角为

c b ? .? sin C sin B

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 与 ∴

AC 的夹角为 90° -C,j

AB 的夹角为 90° -B)?
a b c ? ? .? sin A sin B sin C

(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设 A>90° ,过点 A 作与 的夹角为 A-90° ,j 与

AC 垂直的单位向量 j,则 j 与 AB ?

CB 的夹角为 90° -C.?
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CB =j·AB ,? 由 AC ? CB ? AB ,得 j·AC ?+j·
即 A· Cos(90° -C)=C· Cos(A-90° ),? ∴AsinC=CsinA.? ∴

a c ? sin A sin C

另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 ?90° + B.

AC 的夹角为

90° +C,j 与

AB 夹角为

b c ? .? sin B sin C a b c ? ? ∴ (形式 1).? simA sin B sin C
同理,可得 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.? 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.? [教师精讲]? (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使 A=ksinA,B=ksinB,C=ksinC;?

a b c ? ? sin A sin B sin C a b c b a c ? , ? , ? 等价于 (形式 2).? sin A sin B sin C sin B sin A sin C
(2) 我们通过观察正弦定理的形式 2 不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问 题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边,如 a ?

b sin A .这类问题由于两角已 sin B a sin B . 此 b

知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本 P4 的例 1 就属于此类问题.? ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如 sin A ?

类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件.? 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形.? 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.? [例题剖析]? 【例 1】在△ABC 中,已知 A=32.0° ,B=81.8° ,A=42.9 cm,解三角形.? 分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边 B,若求边 C, 再利用正弦定理即可.? 解:根据三角形内角和定理,? C=180° -(A+B)=180° -(32.0° +81.8° )=66.2° ;? 根据正弦定理,?
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a sin B 42.9 sin 81.8o ? b= ≈80.1(cm);? sin A sin 32.0 o
c=

a sin C 42.9 sin 66.2 o ? ≈74.1(cm).? sin A sin32.0o

[方法引导]? (1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角 和 180° 求出第三角,再利用正弦定理.? (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.? 【例 2】在△ABC 中,已知 A=20cm,B=28cm,A=40° ,解三角形(角度精确到 1° ,边长 精确到 1 cm) .? 分析:此例题属于 BsinA<a<b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验, 使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.? 解:根据正弦定理,? sinB =

b sin A 28sin 40o ? ≈0.899 9.? a 20

因为 0° <B<180° ,所以 B≈64°或 B≈116°.? (1)当 B≈64°时,? C =180° -(A+B)=180° -(40° +64° )=76° ,?

a sin C 20sin 76o ? C= ≈30(cm).? sin A sin 40o
(2)当 B≈116°时,? C=180° -(A+B)=180° -(40° +116° )=24° ,? C=

a sin C 20sin 24o ? ≈13(cm).? sin A sin 40o

[方法引导]?通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意, 可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形 . 当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过 下面的例题来体会.? 变式一:在△ABC 中,已知 A=60,B=50,A=38° ,求 B(精确到 1° )和 C(保留两个有效数字). 分析:此题属于 A≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性 质来排除 B 为钝角的情形.? 解:已知 B<A,所以 B<A,因此 B 也是锐角.? ∵sinB=

b sin A 50sin 38o ? ≈0.513 1,? a 60
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∴B≈31°.? ∴C=180° -(A+B)=180° -(38° +31° )=111° .? ∴C=

a sin C 60sin 111o ? ≈91.? sin A sin 38o

[方法引导]? 同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于 本题,如果没有考虑角 B 所受限制而求出角 B 的两个解,进而求出边 C 的两个解,也可利用三 角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题 意的解.? 变式二:在△ABC 中,已知 A=28,B=20,A=120° ,求 B(精确到 1° )和 C(保留两个有效数字). 分析:此题属于 A 为钝角且 A>B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角 B 后,利用三角形内 角和为 180° 排除角 B 为钝角的情形.? 解:∵sinB=

b sin A 20sin 120o ? ≈0.618 6,? a 28

∴B≈38°或 B≈142°(舍去).? ∴C =180° -(A+B)=22° .? ∴ C=

a sin C 28 sin 22 ? ? ≈12. sin A sin 120 ?

[方法引导]?(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角 B 为钝角的排除也可以结合 三角形小角对小边性质而得到.? (2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围 ,已知两角一边或两边与其中一边 的对角解三角形.? (3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.? 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习:? 1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字),? (1)已知 C = 3 ,A =45° ,B=60° ,求 B;? (2)已知 B=12,A=30° ,B=120° ,求 A.? 解:(1)∵C=180° -(A+B)=180° -(45° +60° )=75° ,?

b c ? ,? sin B sin C
∴B = (2)∵

c sin B 3 sin 60? ? ≈1.6.? sin C sin 75?

a b ? ,? sin A sin B
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∴A =

b sin A 12 sin 30? ? ≈6.9.? sin B sin 120 ?

点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的 学生进行在黑板上解答,以增强其自信心.? 2.根据下列条件解三角形(角度精确到 1° ,边长精确到 1):? (1)B=11,A=20,B=30° ;(2)A=28,B=20,A=45° ;? (3)C =54,B=39,C=115° ;(4)A=20,B=28,A=120° .?

a b ? .? sin A sin B a sin B 20 sin 30 ? ? ∴sinA = ≈0.909 1.? b 11
解: (1) ∵ ∴A1≈65°,A2≈115°.? 当 A1≈65°时,C1=180° -(B+A1)=180° -(30° +65° )=85° ,? ∴C1=

b sin C1 11sin 85? ? ≈22.? sin sin B sin 30?

当 A2≈115°时,C2=180° -(B+A2)=180° -(30° +115° )=35° ,?

b sin C2 11sin 35? ? ≈13.? sin B sin 30? b sin A 20 sin 45 ? ? (2)∵sinB= ≈0.505 1,? a 28
∴C2= ∴B1≈30°,B2≈150°.? 由于 A+B2=45° +150° >180° ,故 B2≈150°应舍去(或者由 B<A 知 B<A,故 B 应为锐角).? ∴C=180° -(45° +30° )=105° .?

a sin C 28 sin 105 ? ? ≈38.? sin A sin 45? b c ? (3)∵ ,? sin B sin C b sin C 39 sin 115 ? ? ∴sinB= ≈0.654 6.? c 54
∴C= ∴B1≈41°,B2≈139°.? 由于 B<C,故 B<C,∴B2≈139°应舍去.? ∴当 B=41° 时,A=180° -(41° +115° )=24° ,?

c sin A 54 sin 24 ? ? ≈24.? sin C sin 115 ? b sin A 28 sin 120 ? ? (4) sinB= =1.212>1.? a 20
A= ∴本题无解.? 点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知 角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.??
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课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并 且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两 边和其中一边的对角解三角形.?? 布置作业 (一)课本第 10 页习题 1.1 第 1、2 题.? (二)预习内容:课本 P5~P 8 余弦定理 [预习提纲]? (1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.? (2)余弦定理如何与向量产生联系.? (3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.?? 板书设计 1.正弦定理:? 正弦定理? 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题: (1)平面几何法? (2)向量法 (1)已知两角和一边? (2)已知两边和其中一边的对角

a b c ? ? sin A sin B sin C

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1.1.2 余弦定理? 从容说课 课本在引入余弦定理内容时,首先提出探究性问题―如果已知三角形的两条边及其所 夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍 然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角 形的另一边和两个角的问题‖.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生 对过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,使学生能够形 成良好的知识结构.设置这样的问题,是为了更好地加强数学思想方法的教学.比如对于 余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对三角形进行讨论,方法不够简 洁,通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定 理的简便之处.教科书就是用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力.? 在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一 个思考问题―勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般 三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?‖并进而指出,―从余弦定 理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三 边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三 边的平方,那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广‖.还要启 发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确 选用余弦定理达到求解、求证目的.? 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时, 注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.? 教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. ? 教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;? 2.余弦定理在解三角形时的应用思路;? 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.? 教具准备 投影仪、幻灯片两张? 第一张:课题引入图片(记作 1.1.2?A?)?

如图(1),在 Rt△ABC 中,有 A2+B2=C2? 问题:在图(2)、(3)中,能否用 b、c、A 求解 a?? 第二张:余弦定理(记作 1.1.2B)? 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.? 形式一: a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,?

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b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 形式二:cosA= ,cosB= ,cosC= .?? 2bc 2ca 2ab
三维目标 一、知识与技能? 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;? 2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;? 3.能利用计算器进行运算.?? 二、过程与方法? 1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;? 2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.?? 三、情感态度与价值观? 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;? 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系 与辩证统一.?? 教学过程 导入新课 师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用 ,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已 知两角、 一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第 三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片 1.1.2A,如图(1),在直角三角形中,根据两直角边及 直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边 呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.?

在△ABC 中,设 BC=A,AC=B,AB=C,试根据 B、C、A 来表示 A.? 师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题,所以应添加辅助线构成直角三角形, 在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作 CD 垂直于 AB 于 D,那么在 Rt △BDC 中,边 A 可利用勾股定理用 CD、DB 表示,而 CD 可在 Rt△ADC 中利用边角关系表 示,DB 可利用 AB-AD 转化为 AD,进而在 Rt△ADC 内求解.? 解:过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则在 Rt△CDB 中,根据勾股定理可得? A2=CD2+BD2.? ∵在 Rt△ADC 中,CD2=B2-AD2,? 又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C· AD+AD2,? ∴A2=B2-AD2+C2-2C· AD+AD2=B2+C2-2C· AD.? 又∵在 Rt△ADC 中,AD=B· COsA,? 2 2 2 ∴a =b +c -2abcosA.? 类似地可以证明 b2=c2+a2-2cacosB.?
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c2=a2+b2-2abcosC.? 另外,当 A 为钝角时也可证得上述结论,当 A 为直角时,a2+b2=c2 也符合上述结论,这也正是 我 们 这 一 节 将 要 研 究 的 余 弦 定 理 , 下 面 我 们 给 出 余 弦 定 理 的 具 体 内 容 .( 给 出 幻 灯 片 1.1.2B)? 推进新课? 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.? 在幻灯片 1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式:? 形式一:? a2=b2+c2-2bccosA,? b2=c+a2-2cacosB,? c2=a2+b2-2abcosC.? 形式二:?

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ,? 2bc c2 ? a2 ? b2 ,? 2ca a2 ? b2 ? c2 .? 2ab

cos B ?

cosC ?

师 在余弦定理中,令 C =90° 时,这时 cosC=0,所以 c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的 推广.另外,对于余弦定理的证明 ,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明 , 以进一步体会向量知识的工具性作用.? [合作探究]? 2.向量法证明余弦定理? (1)证明思路分析? 师 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 C.由于余弦定理中涉及到的角是 以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题.由于涉及边长问题,那么可以与哪 些向量知识产生联系呢??

生 向量数量积的定义式 a· b=|a||b|cosθ,其中 θ 为 A、B 的夹角.? 师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处 ,但又有所区别.首先因为无须进行 正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通
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过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含 有角 C,则构造 CB ? CA 这一数量积以使出现 COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角 是以同起点为前提.?

(2)向量法证明余弦定理过程:? 如图,在△ABC 中,设 AB、BC、CA 的长分别是 c、a、b.? 由向量加法的三角形法则,可得 AC ? AB ? BC ,? ∴
2

AC ? AC ? ( AB ? BC) ? ( AB ? BC) ? AB2 ? 2 AB ? BC ? BC 2 ? AB ? 2 AB BC cos(180? ? B) ? ? c 2 ? 2accos B ? a 2 ,
即 B2=C2+A2-2AC?COs?B.? 由向量减法的三角形法则,可得 BC ? ∴

AC ? AB ,?
2

BC ? BC ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? AC 2 ? 2 AC ? AB ? AB2 ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB ? b 2 ? 2bccos A ? c 2
即 a2=b2+c2-2bccosA.? 由向量加法的三角形法则,可得 ∴

AB ? AC ? CB ? AC ? BC ,?

AB ? AB ? ( AC ? BC) ? ( AC ? BC) ? AC 2 ? 2 AC ? BC ? BC 2 ? AC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? BC ? b 2 ? 2bacosC ? a 2 ,
即 c2=a2+b2-2abcosC.? [方法引导]? (1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.? (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,

AC 与 AB 属于同起点向量,则
AC 与 BC 是同终点,则

夹角为 A; AB 与 BC 是首尾相接,则夹角为角 B 的补角 180° -B; 夹角仍是角 C.?
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[合作探究]? 师 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量, 能否由三边求出一角?? 生(留点时间让学生自己动手推出)从余弦定理,又可得到以下推论:?

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 b2 ? a2 ? c2 , cos B ? , cosC ? .? 2bc 2ac 2ba

师 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?? 生(学生思考片刻后会总结出)若△ABC 中,C =90° ,则 cosC=0,这时 c2=a2+b2.由此可 知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.? 师 从余弦定理和余弦函数的性质可知,在一个三角形中,如果两边的平方和等于第三边 的平方,那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边 所对的角是钝角,如果两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从 上可知,余弦定理可以看作是勾股定理的推广.现在,三角函数把几何中关于三角形的定 性结果都变成可定量计算的公式了.? 师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片 1.1.2B)? 通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有 关三角形的问题:? (1)已知三边,求三个角.? 这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本 P8 例 4 属这类情况.? (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.? 这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形 所产生的判断取舍等问题.? 接下来,我们通过例题来进一步体会一下.? [例题剖析]? 【例 1】在△ABC 中,已知 B=60 cm,C=34 cm,A=41° ,解三角形(角度精确到 1° ,边长 精确到 1 cm).? 解:根据余弦定理,? a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2· 60· 34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82?,所以 A≈41 cm.? 由正弦定理得 sinC=

c sin A 34 ? sin 41? 34 ? 0.656 ? ≈ ≈0.544 0,? a 41 41

因为 C 不是三角形中最大的边,所以 C 是锐角.利用计数器可得 C≈33°,? B=180° -A-C=180° -41° -33° =106° .? 【例 2】在△ABC 中,已知 a =134.6 cm,b=87.8 cm,c =161.7 cm,解三角形.? 解:由余弦定理的推论,得? cosA=

b 2 ? c 2 ? a 2 87.82 ? 161.7 2 ? 134.6 2 ? ≈0.554 3,A≈56°20′;? 2bc 2 ? 87.8 ?161.7
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c 2 ? a 2 ? b 2 134.6 2 ? 161.7 2 ? 87.82 ? cosB= ≈0.839 8,B≈32°53′;? 2ca 2 ?134.6 ?161.7
C =180° -(A+B)=180° -(56°20′+32°53′)=90°47′.? [知识拓展]? 补充例题:? 【例 1】在△ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C.(精确到 1° )? 分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的 形式二.? 解:∵ cos A ? ∴A≈44°.? ∵cosC=

b 2 ? c 2 ? a 2 102 ? 6 2 ? 7 2 ? ? 0.725 ,? 2bc 2 ?10? 6

a 2 ? b 2 ? c 2 7 2 ? 102 ? 6 2 113 ? ? ≈0.807 1,? 2ab 2 ? 7 ?10 140

∴C≈36°.? ∴B=180° -(A+C)=180° -(44° +36° )=100° .? [教师精讲]? (1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为 180° ,可用余弦定理求出两 角,第三角用三角形内角和定理求出.? (2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.? 【例 2】在△ABC 中,已知 a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字, 角度精确到 1′).? 分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在 第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是 利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据 1.1.1 斜三角形求解经验,若用正弦定理需对 两种结果进行判断取舍,而在 0° ~180° 之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.? 2 2 2 2 解:由 c =a +b -2abcosC=2.730 +3.6962-2× 2.730× 3.696× cos82°28′, 得 c≈4.297.?

b 2 ? c 2 ? a 2 3.6962 ? 4.2972 ? 2.7302 ? ∵cosA= ≈0.776 7,? 2bc 2 ? 3.696? 4.297
∴A≈39°2′.? ∴B=180° -(A+C)=180° -(39°2′+82°28′)=58°30′.? [教师精讲]? 通过例 2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边 用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.? 【例 3】在△ABC 中,已知 A=8,B=7,B=60° ,求 C 及 S△ABC.?
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分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A,再结合三角形内角和定理求出角 C,再利用 正弦定理求出边 C,而三角形面积由公式 S△ABC=

1 acsinB 可以求出.? 2

若用余弦定理求 C,表面上缺少 C,但可利用余弦定理 b2=c2+a2-2cacosB 建立关于 C 的方程, 亦能达到求 C 的目的.? 下面给出两种解法.? 解法一:由正弦定理得

8 7 ? ,? sin A sin 60?

∴A1=81.8° ,A2=98.2° ,? ∴C1=38.2° ,C2=21.8° .?

7 c ? ,得 c1=3,c2=5,? sin 60? sin C 1 1 ∴S△ABC= ac1 sin B ? 6 3 或 S△ABC= ac 2 sin B ? 10 3 .? 2 2
由 解法二:由余弦定理得 b2=c+a2-2cacosB,? ∴72=c+82-2× 8× ccos60° ,? 2 整理得 c -8c+15=0,? 解之,得 c1=3,c2=5.∴S△ABC=

1 1 ac1 sin B ? 6 3 或 S△ABC= ac 2 sin B ? 10 3 .? 2 2

[教师精讲]? 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味 之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程 的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.? 综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已 知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程 的解法,即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.?? 课堂练习? 1.在△ABC 中:? (1)已知 c=8,b=3,b=60° ,求 A;? (2)已知 a=20,bB=29,c=21,求 B;? (3)已知 a=33,c=2,b=150° ,求 B;? (4)已知 a=2,b=2,c=3+1,求 A.? 解: (1)由 a2=b2+c2-2bccosA,得 a2=82+32-2× 8× 3cos60° =49.∴A=7.? (2)由 cos B ?

c2 ? a2 ? b2 202 ? 212 ? 292 ? 0 .∴B=90° ,得 cos B ? .? 2ca 2 ? 20? 21

(3)由 b2=c2+a2-2cacosB,得 b2=(33)2+22-2× 33× 2cos150° =49.∴b=7.?

b2 ? c2 ? a2 ( 2 ) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 22 2 (4)由 cos A ? ,得 cos A ? .∴A=45° .? ? 2bc 2 2 2 ( 3 ? 1)
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评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题 效率.? 2.根据下列条件解三角形(角度精确到 1° ).? (1)a=31,b=42,c=27;? (2)a=9,b=10,c=15.? 解:(1)由 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 422 ? 272 ? 312 ,得 cos A ? ≈0.675 5,∴A≈48°.? 2bc 2 ? 42? 27

由 cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 312 ? 272 ? 422 ? ≈-0.044 2,∴B≈93°.? 2ca 2 ? 31? 27

∴C=180° -(A+B)=180° -(48°+93°)≈39°.? (2)由

b2 ? c2 ? a2 102 ? 152 ? 9 2 , 得 cos A ? ≈0.813 3,? 2bc 2 ?10?15

∴A≈36°.? 由 cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 152 ? 9 2 ? 102 ? ≈0.763 0, 2ca 2 ? 9 ?15

∴B≈40°.? ∴C=180° -(A+B)=180° -(36°+40°)≈104°.? 评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行 较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.?? 课堂小结 通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具 性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:? (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; ? (2)余弦定理的应用范围:①已知三边求三角;②已知两边、一角解三角形.?? 布置作业 课本第 8 页练习第 1(1) 、2(1)题.?? 板书设计 1.余弦定理 余弦定理 2.证明方法:? (1)平面几何法;? (2)向量法 3.余弦定理所能解决的两类问题: (1)已知三边求任意角; (2)已知两边、一角解三角形 4. 学生练习

?

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1.1.3 解三角形的进一步讨论? 从容说课 本节课中,应先通过分析典型例题,帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理;应指 出正弦定理和余弦定理是相通的,凡是能用正弦定理解的三角形,用余弦定理也可以解, 反之亦然.但解题的时候,应有最佳选择.教学过程中,我们应指导学生对利用正弦定理 和余弦定理解斜三角形的问题进行归类,列表如下:? 解斜三角形时可用的定理和 公式 余弦定理? a2=b2+c2-2bccosA? b2=a2+c2-2accosB? c2=b2+a2-2bacosC 正弦定理 适用类型 (1)已知三边? (2)已知两边及其夹角 备注 类型(1) (2)有解时只有一 解

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
三角形面积公式

(3)已知两角和一边? (4) 已知两边及其中一边的 对角 (5)已知两边及其夹角

类型 (3 ) 在有解时只有一解, 类型(4)可有两解、一解或 无解

1 S ? bc sin A ? 2 1 ac sin B ? 2 1 ab sin C 2
同时应指出,在解斜三角形问题时,经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换,转化 的主要途径有两条: (1)化边为角,然后通过三角变换找出角与角之间的关系,进而解决 问题; (2)化角为边,将三角问题转化为代数问题加以解决.一般地,当已知三角形三边 或三边数量关系时,常用余弦定理;若既有角的条件,又有边的条件,通常利用正弦定理 或余弦定理,将边化为角的关系,利用三角函数公式求解较为简便.总之,关键在于灵活 运用定理及公式.? 教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形;? 2.三角形各种形状的判定方法;? 3.三角形面积定理的应用.? 教学难点 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;? 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求;? 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用.? 教具准备 投影仪、幻灯片? 第一张:课题引入图片(记作 1.1.3A)? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ;? sin A sin B sin C
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余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 cos A ? , cos B ? , cosC ? .? 2bc 2ca 2ab

第二张:例 3、例 4(记作 1.1.3?B?)? [例 3]已知△ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB∶BC=AD∶DC.? [例 4]在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.? 第三张:例 5(记作 1.1.3C)? [例 5]在△ABC 中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.?? 三维目标 一、知识与技能? 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形; 2.三角形各种形状的判定方法;? 3.三角形面积定理的应用.?? 二、过程与方法? 通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函 数公式及三角形有关性质求解三角形问题.?? 三、情感态度与价值观? 通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系, 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间 的内在联系.?? 教学过程 导入新课 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理 解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A).从 幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系 ,运用定理可 以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功 能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.?? 推进新课 思考:在△ABC 中,已知 A=22cm,B=25cm,A=133° ,解三角形. (由学生阅读课本第 9 页解答过程)? 从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些 条件下会出现无解的情形.下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题.? 【例 1】在△ABC 中,已知 A,B,A,讨论三角形解的情况.?
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师 分析:先由 sin B ?

b sin A a sin C 可进一步求出 B;则 C =180° -(A+B),从而 c ? .? a sin A

一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.? 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解;否则无解.? 2.当 A 为锐角时, 如果 a≥b,那么只有一解;? 如果 a<b,那么可以分下面三种情况来讨论:? (1)若 a>bsinA,则有两解;? (2)若 a=bsinA,则只有一解;? (3)若 a<bsinA,则无解.? (以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页)? 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsinA<a <b 时,有两解;其他情况时则只有一解或无解.? (1)A 为直角或钝角?

(2)A 为锐角?

【例 2】在△ABC 中,已知 a =7,b=5,c =3,判断△ABC 的类型.? 分析:由余弦定理可知? a2=b2+c2 ? A 是直角 ? △ABC 是直角三角形,? a2>b2+c2 ? A 是钝角 ? △ABC 是钝角三角形,? a2<b2+c ? A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形。? (注意:A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形 )? 2 2 2 2 解:∵7 >5 +3 ,即 a >b2+c2,? ∴△ABC 是钝角三角形.?
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[教师精讲]? 1.利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题.? ①已知两角和任一边,求其他两边和一角.? ②已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角) . ? 2.正弦定理,可以用来判断三角形的形状,其主要功能是实现三角形中边角关系转 化. 例如: 在判断三角形形状时, 经常把 a、 b、 c 分别用 2RsinA、 2RsinB、 2RsinC 来代替. ? 3.余弦定理的主要作用一是解三角形,二是判断三角形的形状,它的主要功能是实现 边角之间的转化.? (1)已知三边,求三个角.? (2)已知两边和夹角,求第三边和其他两角.? 4.用方程的思想理解和运用余弦定理,当等式 a2=b2+c2-2bccosA 中含有未知数时,这 便成为方程,式中有四个量,知道三个,便可以解出另一个,运用此式可以求 A 或 B 或 C 或?cosA.? 师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片 1.1.3B)? [例题剖析]?

【例 3】分析:前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角 B 的平分线 BD 将△ABC 分成了两个三角形: △ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶ BC=AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值 的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为 相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.?

BC DC ? ,再根据相等角正弦值 sin ?BDC sin ?DBC

AB AD AB sin ?ADB ? ? ,即 ,? sin ?ADB sin ?ABD AD sin ?ABD BC DC BC sin ?BDC ? ? 在△BCD 内,利用正弦定理得 ,即 ,? sin ?BDC sin ?DBC DC sin ?DBC
证明:在△ABD 内,利用正弦定理得 ∵BD 是角 B 的平分线,∴∠ABD=∠DBC? ∴sin∠ABD=sin∠DBC.? ∵∠ADB+∠BDC=180° ,? ∴sin∠ADB=sin(180° -∠BDC)=sin∠BDC.?

AB sin ?ADB sin ?BDC BC ? ? ? .? AD sin ?ABD sin ?DBC DC AB AD ? ∴ .? BC DC
∴ 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦 值相等这一特殊关系式的应用.?
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[例题剖析]? 【例 4】分析:此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把 角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转 化为角的关系,一般是通过正弦定理.? 另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinbcosB 等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.? 证明一: (化为三角函数)? a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2· 2sinB· COsB+(2RsinB)2· 2sinA· cosA=8R2sinA· sinB(sinA?cosB+co 2 sAsinB)=8R sinasinbsinC =2· 2RsinA· 2RsinB· sinC=2absinC.? 所以原式得证.? 证明二: (化为边的等式)?

2b a 2 ? c 2 ? b 2 2a b 2 ? c 2 ? a 2 2 ? ?b ? ? 左边=A · 2sinBcosB+B · 2sinAcosA= a ? = 2R 2ac 2R 2bc
2 2

2

ab 2 ab c (a ? c 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? 2c 2 ? 2ab ? ? 2ab sin C = 2 Rc 2 Rc 2R
[教师精讲]? 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角 的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A=2sinA· cosA, 正弦两角和公式 sin(A+B)=sinA· cosB+cosA· sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及 余弦定理形式二.? 三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看, 这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.? 【例 5】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的 运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析. 解法一:利用余弦定理将角化为边.? ∵bcosA=acosB,∴ b ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? a? .∴b2+c2-a2=a2+c2-b2.∴a2=b2. 2bc 2ac

∴a=b.? 故此三角形是等腰三角形.? 解法二:利用正弦定理将边转化为角.? ∵bcosA=acosB,又 B=2RsinB,A=2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB.? ∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π.? ∴A-B=0,即 A=B.? 故此三角形是等腰三角形.? 评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路, 通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学 生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.?
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(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定 要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB 两 端同除以 sinAsinB,得 cotA=cotB,再由 0<A,B<π,而得 A=B.?? 课堂小结? 通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、 余弦定理的边角转换功能.? (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形; (2)三角形形状的判定方法.?? 布置作业 1.在△ABC 中,已知

sin A sin( A ? B) ,求证: a2、b2、c2 成等差数列.? ? sin C sin(B ? C )

证明: 由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,? 2cos2B=coOs2A+cos2C,2·

1 ? cos2 B 1 ? cos2 A 1 ? cos2 B ? ? = 2 2 2

∴2sin2B=sin2A+sin2C.? 由正弦定理,可得 2b2=a2+c2,? 即 a2、b2、c2 成等差数列.? 2.在△ABC 中,A=30° ,cosB=2sinB-3sinC.? (1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B =C =75° ?)? (2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与边 AC 的交点,且 AB=2,求 AD∶CD 的值.? 答案: (1)略;(2)1∶3.?? 板书设计 解三角形的进一步讨论? 一、三角形形状判定? 二、三角形问题证明思路 1.等腰三角形:a=b 或? 1.向边转化利用正、余弦定理 A=B? 2.向角转化? 利用正弦定理 2 2 2 2.直角三角形:a +b =c 或 C =90° ?? 3.钝角三角形:C>90° ? 三、学生练习 四、布置作业

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1.2 应用举例 1.2.1 解决有关测量距离的问题?? 从容说课 解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用,如测量、航海等都要用到这方面的知 识.对于解斜三角形的实际问题,我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、 方向角等)的基础上,正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角,创造 可解的条件,综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决.学习这部分知识有 助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.? 本节的例 1、例 2 是两个有关测量距离的问题.例 1 是测量从一个可到达的点到一个不 可到达的点之间的距离问题, 例 2 是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例 1 可以 引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题,从而可以用 正弦定理去解决.对于例 2 首先把求不可到达的两点 A、B 之间的距离转化为应用余弦定 理求三角形的边长的问题,然后把求未知的 BC 和 AC 的问题转化为例 1 中测量可到达的 一点与不可到达的一点之间的距离问题.? 教学重点 分析测量问题的实际情景,从而找到测量距离的方法. 教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定,即根据题意建立数学模型,画出示意 图.? 教具准备 三角板、直尺、量角器等?? 三维目标 一、知识与技能? 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解 常用的测量相关术语,如:坡度、俯角、方向角、方位角等.?? 二、过程与方法? 1.首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫.其次结合学 生的实际情况,采用―提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练‖的 教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同时通过 多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题.对于例 2 这 样的开放性题目要鼓励学生讨论,引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫 正.? 2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力.?? 三、情感态度与价值观? 1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;? 2.通过解斜三角形在实际中的应用 ,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问 题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同时培养学生运用图形、数学符 号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.?? 教学过程 导入新课? 师 前面引言第一章―解三角形‖中,我们遇到这么一个问题,―遥不可及的月亮离我们地球 究竟有多远呢?‖在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么
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神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度等,存在着许多可供 选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借助解直角三角形等 等不同的方法,但由于在实际测量问题的真实背景下,某些方法会不能实施.如因为没有 足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,有些方法会有局限性.于是上面介 绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实 践中的重要应用,首先研究如何测量距离. 推进新课? 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确作出图形,把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.? [例题剖析]?

【例 1】如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧, 在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55 m,∠BAC=51° ,∠ACB=75° .求 A、B 两点的距离.(精确到 0.1 m?)? 师(启发提问)1:△ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较恰当?? 师(启发提问)2:运用该定理解题还需要哪些边和角呢?请学生回答.? 生 从题中可以知道角 A 和角 C,所以角 B 就可以知道,又因为 AC 可以量出来,所以应 该用正弦定理.? 生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条 件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角 算出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边.? 解:根据正弦定理,得?

AB AC ? ,? sin ?ACB sin ?ABC
AB ? AC sin ?ACB 55sin ?ACB 55sin 75? 55sin 75? ≈65.7(m).? ? ? ? sin ?ABC sin ?ABC sin(180? ? 51? ? 75?) sin 54?

答:A、B 两点间的距离为 65.7 米.? [知识拓展]? 变题:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 A km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30° , 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60° ,则 A、B 之间的距离为多少?? 老师指导学生画图,建立数学模型.?

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解略: 2a km.? 【例 2】如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的 方法 [教师精讲]? 这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造 三角形,所以需要确定 C、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即 可求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 A、B 的距离.? 解: 测量者可以在河岸边选定两点 C、 D, 测得 CD=A, 并且在 C、 D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD =β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC 和△BDC 中,应用正弦定理得?

AC ?

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) ,? ? sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? ) a sin ? a sin ? .? ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )

BC ?

计算出 AC 和 BC 后,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 A、B 两点间的距离?

AB ? AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC cos? .
[活动与探究]? 还有没有其他的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析.? [知识拓展]? 若在河岸边选取相距 40 米的 C、D 两点,测得∠BCA=60° ,∠ACD=30° ,∠CDB=45° ,∠ BDA=60° ,略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=206.? [教师精讲]? 师 可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些 过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来 选择最佳的计算方式.? 〔学生阅读课本 14 页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子〕? 师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽 去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高 分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.? 下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.? 【例 3】如下图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄 CB 绕 C 点旋转时,通过连杆 AB 的传 递,活塞做直线往复运动,当曲柄在 CB0 位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点 A 在 A0 处,设连杆 AB 长为 340 mm,曲柄 CB 长为 85 mm,曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转 80° ,求活塞移动的距离(即连杆的端点 A 移动的距离 A0A).(精确到 1 mm)?

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师 用实物模型或多媒体动画演示, 让学生观察到 B 与 B0 重合时, A 与 A0 重合, 故 A0C=AB +CB=425 mm,且 A0A=A0C-AC.? 师 通过观察你能建立一个数学模型吗?? 生 问题可归结为:已知△ABC 中, BC=85 mm,AB=34 mm,∠C=80° ,求 AC.? 师 如何求 AC 呢?? 生 由已知 AB、∠C、BC,可先由正弦定理求出∠A,再由三角形内角和为 180° 求出∠B, 最后由正弦定理求出 AC.? 解: (如图)在△ABC 中,由正弦定理可得?

sin A ?

BC sin C 85 ? sin 80? ? ≈0.246 2.? AB 340

因为 BC<AB,所以 A 为锐角.? ∴A=14°15′,∴ B=180° -(A+C)=85°45′.? 又由正弦定理,?

AC ?

AB sin B 340 ? sin 85?45? ? ≈344.3(?mm?).? sin C 0.9848

∴A0A =A0C –AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).? 答:活塞移动的距离为 81 mm.? 师 请同学们设 AC=x,用余弦定理解之,课后完成.? [知识拓展]? 变题:我舰在敌岛 A 南偏西 50° 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10° 的方向 以 10 海里/时的速度航行. 问我舰需以多大速度、 沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰? 师 你能根据方位角画出图吗?? 生(引导启发学生作图)? 师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型.? 生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角,求第三边及其余角.?
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解:如图,在△ABC 中,由余弦定理得?

BC2=AC2+AB2-2· AB· AC· cos∠BAC? =202+122-2× 12× 20× (-

1 )=784,? 2

BC =28,? ∴我舰的追击速度为 14 海里/时.? 又在△ABC 中,由正弦定理得?

AC BC AC sin A ? ,即sin B ? ? sin B sin A BC

20?

3 2 ? 5 3 ∴ ?ABC ? arcsin 5 3 .? 28 14 14

答:我舰航行的方向为北偏东 50° -arcsin

5 3 .? 14

[方法引导]? 师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗?? 生 ①分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.? ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型.? ③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解.? ④检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.? 生 即解斜三角形的基本思路:?

? 师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况?? 生 实际问题经抽象概括后,已知与未知量全部集中在一个三角形中,一次可用正弦定理
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或余弦定理解之.? 生 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形中,这时需按顺序逐步在两 个三角形中求出问题的解.? 生 实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连 续使用正弦定理或余弦定理. 某人在 M 汽车站的北偏西 20° 的方向上的 A 处, 观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶.公路的走向是 M 站的北偏东 40° .开始时,汽车到 A 的距离为 31 千米,汽车前 进 20 千米后,到 A 的距离缩短了 10 千米.问汽车还需行驶多远,才能到达 M 汽车站? ? 解:由题设,画出示意图,设汽车前进 20 千米后到达 B 处.在△ABC 中,AC=31,BC=20, AB=21,由余弦定理得?

cosC ?
2

AC 2 ? BC 2 ? AB2 23 ? 2 AC ? BC 31
2

,则 sin C ? 1 ? cos C ?

432 , 312

sin C ?

12 3 35 3 ,所以 sin∠MAC=sin(120° -C)=sin120° cosC -cos120° sinC = .? 31 62

在△MAC 中,由正弦定理得?

MC ?

AC sin ?MAC 31 35 3 ? ? ? 35 ,从而有 MB= MC-BC=15.? sin ?AMC 62 3 2

答:汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站.?? 课堂小结 通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问 题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.?? 布置作业? 课本第 14 页练习 1、2.?? 板书设计 解决有关测量距离的问题? 1.提出问题?
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2.分析问题 3.解决问题

演示反馈? 总结提炼

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1.2.2 解决有关测量高度的问题? 从容说课 本节的例 3、例 4 和例 5 是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题.由于底 部不可到达, 这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定 理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问 题.在例 3 中是测出一点 C 到建筑物的顶部 A 的距离 CA,并测出点 C 观察 A 的仰角;在 例 4 中是计算出 AB 的长; 在例 5 中是计算出 BC 的长, 然后转化为解直角三角形的问题. ? 本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用,关于测量问题,一是要熟悉仰角、俯 角的意义,二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系,逐步逐层转化,最终归 结为解三角形的问题.? 教学重点 1.结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题;? 2.画出示意图是解应用题的关键,也是本节要体现的技能之一,需在反复的练习和动手操 作中加强这方面能力.日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用,除了能运用定理解 题之外,特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑,可通过合作学习和相互提问补充的方法 来让学生多感受问题的演变过程.? 教学难点 能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件;? 教具准备 直尺和投影仪?? 三维目标 一、知识与技能? 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测 量的问题.?? 二、过程与方法? 本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学 会正确识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架.通过 3 道例题的安排和练习的训 练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持引导——讨论——归纳,目 的不在于让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题,提供 学生更广阔的思考空间.?? 三、情感态度与价值观? 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.?? 教学过程 导入新课 师 设问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行 的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.?? 推进新课?

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【例 1】AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物 高度 AB 的方法.? [合作探究]? 师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量,如果好去的话,那就直接用尺去量一下就行 了,那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢?? 生 要求建筑物 AB 的高,我只要能把 AE 的长求出来,然后再加上测角仪的高度 EB 的长 就行了.? 师 对了,求 AB 长的关键是先求 AE,那谁能说出如何求 AE?? 生 由解直角三角形的知识,在△ADC 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再 测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长.? 师 那现在的问题就转化成如何去求 CA 的长,谁能说说?? 生 应该设法借助解三角形的知识测出 CA 的长.? 生 为了求 CA 的长, 应该把 CA 放到△DCA 中, 由于基线 DC 可以测量, 且 β 也可以测量, 这样在△DCA 中就已知两角和一边,所以由正弦定理可以解出 CA 的长.? 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上.由在 H、G 两点用测角仪 器测得 A 的仰角分别是 α、β,CD = A,测角仪器的高是 h,那么,在△ACD 中,根据正 弦定理可得 AC ?

a sin ? a sin ? sin ? ,AB=AE+h=acsinα+h= +h.? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢?? 生 要测量某一高度 AB,只要在地面某一条直线上取两点 D、C,量出 CD=A 的长并在 C、 D 两点测出 AB 的仰角 α、β,则高度 AB ?

a sin ? sin ? ? h ,其中 h 为测角器的高.? sin(? ? ? )

【例 2】如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 α=54°40′,在塔底 C 处测得 A 处的俯角 β=50°1′.已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m).

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[合作探究]? 师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?(给出时间让学生讨论思考)要在△ABD 中 求 CD,则关键需要求出哪条边呢?? 生 需求出 BD 边.? 师 那如何求 BD 边呢?? 生 可首先求出 AB 边,再根据∠BAD=α 求得.? 解:在△ABC 中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90° -α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理,?

BC AB BC sin(90? ? ? ) BC cos ? =,所以 AB ? .? ? ? sin(? ? ? ) sin(90? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
在 Rt△ABD 中,得 BD =ABsin∠BAD= 将 测 量 数

BC cos ? sin ? .? sin(? ? ? )
代 入 上 式 , 得



BD ?

27.3 cos50?1? sin 54?40? 27.3 cos50?1? sin 54?40? ≈177(m),? ? sin(54?40? ? 50?1?) sin 4?39?

CD =BD -BC≈177-27.3=150(m).? 答:山的高度约为 150 米.? 师 有没有别的解法呢?? 生 要在△ACD 中求 CD,可先求出 AC.? 师 分析得很好,请大家接着思考如何求出 AC?? 生 同理,在△ABC 中,根据正弦定理求得. (解题过程略)? 【例 3】 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15° 的方向上,行驶 5 km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25° 的方向上,仰角为 8° ,求此山的高度 CD.?

[合作探究]? 师 欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?? 生 在△BCD 中.? 师 在△BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长?? 生 BC 边.? 解:在△ABC 中, ∠A=15° ,∠C=25° -15° =10° ,根据正弦定理,?
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BC AB AB sin A 5 sin 15? ? , BC ? ? ,≈ 7.452 4(km),? sin A sin C sin C sin 10?
CD=BC× tan∠DBC=BC× tan8°≈1 047(m).? 答:山的高度约为 1 047 米.?? 课堂练习

用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空,分别测 得气球的仰角 α 和 β,已知 BD 间的距离为 A,测角仪的高度为 B,求气球的高度.? 分析:在 Rt△EGA 中求解 EG,只有角 α 一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC 中有较多 已知条件,故可在△EAC 中考虑 EA 边长的求解,而在△EAC 中有角 β, ∠EAC=180° -α 两角与 AC=BD=A 一边,故可以利用正弦定理求解 EA.? 解:在△ACE 中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得

AE ?

a sin ? a sin ? sin ? .在 Rt△AEG 中,EG=AEsinα= .? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

∴EF=EG+b=

a sin ? sin ? ? b .? sin(? ? ? ) a sin ? sin ? ? b .? sin(? ? ? )

答:气球的高度是

评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决 ,思路如下:设 EG=x,在 Rt△EGA 中,利用 cotα 表示 AG,而 Rt△EGC 中,利用 cotβ 表示 CG,而 CG-AG=CA=BD=A,故可以求出 EG,又 GF=CD=B,故 EF 高度可求.?? 课堂小结? 利用正弦定理和余弦定理来解题时, 要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的 背景资料中进行加工,抽取主要因素,进行适当的简化.?? 布置作业 课本第 17 页练习第 1、3 题. 板书设计 解决有关测量高度的问题? 例 1? 练习? 小结 例2 ? 例3 课堂练习 布置作业

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1.2.3 解决有关测量角度的问题?? 从容说课 本课时是一个有关测量角度的问题,即课本上的例 6.在这里,能否灵活求解问题的关 键是正弦定理和余弦定理的选用,有些题目只选用其一,或两者混用,这当中有很大的灵 活性,需要对原来所学知识进行深入的整理、加工,鼓励一题多解,训练发散思维.借助 计算机等媒体工具来进行演示,利用动态效果,能使学生更好地明辨是非、掌握方法.? 教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系.? 教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.? 教具准备 三角板、投影仪(多媒体教室)?? 三维目标 一、知识与技能? 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.?? 二、过程与方法? 本节课是在学习了相关内容后的第三节课,学生已经对解法有了基本的了解,这节课 应通过综合训练强化学生的相应能力.除了安排课本上的例 6,还针对性地选择了既具典 型性又具有启发性的 1~2 道例题,强调知识的传授更重能力的渗透.课堂中要充分体现 学生的主体地位,重过程,重讨论,教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与 到探究问题的过程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三.?? 三、情感态度与价值观? 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生 的探索精神.?? 教学过程 导入新课 设置情境设问? 师 前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和 角求其余边的问题.然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的 解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?? 生 像航海,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向. ? 生 飞机在天上飞行时,如何确定地面上的目标.? 师 实际生活当中像这样的例子很多,今天我们接着来探讨这方面的测量问题.?? 推进新课 【例 1】 (幻灯片放映)如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75° ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32° 的方向航行 54.0 n mile 后 到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少 距离?(角度精确到 0.1° ,距离精确到 0.01 n mile) [合作探究]? 学生看图思考.?

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师 要想解决这个问题,首先应该搞懂―北偏东 75° 的方向‖.? 生 这是方位角.? 生 这实际上就是解斜三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边 的夹角∠CAB,就可以知道 AC 的方向和路程.? 师 根据大家的回答,我们已经很清楚解题思路.下面请同学写一下解题过程.? 生解:在△ABC 中,∠ABC=180° - 75° + 32° =137° ,根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ? 67.5 2 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos 137 ?,
≈113.15.? 根据正弦定理,

BC AC ? , ,? sin ?CAB sin ?ABC BC sin ?ABC 54.0 sin 137 ? sin ?CAB ? ? ≈0.325 5,? AC 113 .15

所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0° .? 答:此船应该沿北偏东 56.0° 的方向航行,需要航行 113.15 n mile.?? 师 这道题综合运用了正、余弦定理,体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位. 【例 2】 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45° 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75° 的方向以 10 海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/时的速度沿着直线方向 追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船? [合作探究]? 师 你能否根据题意画出方位图?(在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平 面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面)? 生甲 如右图.?

师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边,还需要什么呢?? 生 引入时间这个参变量,可以设 x 小时后追上走私船.? 生 如图, 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船, 则 CB=10x, AB=14x,AC=9, ∠ACB=75° +45° =120° ,则由余弦定理,可得? (14x)2=92+(10x)2-2× 9× 10xcos120° ,∴化简得 32x2-30x-27=0,即 x=
36

3 9 或 x=(舍去). 2 16

所以 BC = 10x =15,AB =14x =21.? 又因为 sin∠BAC =

BC sin 120? 15 3 5 3 ,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′ (钝 ? ? ? AB 21 2 14

角不合题意,舍去).? ∴38°13′+45°=83°13′.? 答:巡逻艇应该沿北偏东 83°13′方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船.? 师 这位同学是用正、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?? 生 同上解得 BC=15,AB=21,? 在△ABC 中,由余弦定理,得?

AC 2 ? AB2 ? BC 2 81? 441? 225 11 cos?CAB ? ? ? ≈0.785 7,? 2 AC ? AB 2 ? 9 ? 21 14
∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.? ∴巡逻艇应沿北偏东 83°13′的方向追赶,经过 1.4 小时追赶上该走私船.?? 课堂练习 课本第 18 页练习.? 答案:运用余弦定理求得倾斜角 α 约为 116.23?° ?.? [方法引导]? 解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三 角形中, 依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2) 已知量与未知量涉及两个或几个三角形, 这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. [知识拓展]?

1.如图,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,船正向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南 偏东 30° ,航行 30 海里到 C 处,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45° ,如果此船不改变航 向,继续向南航行,有无触礁的危险?? 解:在△ABC 中,BC=30,B=30° ,? ∠ACB=180° -45° =135° , ∴A=15° .?

BC AC 30 AC ? ? ,∴ . sin A sin B sin 15? sin 30? 30 sin 30? ? 60 cos 15? ? 15 6 ? 15 2 .∴A 到 BC 所在直线的距离为 ∴ AC ? sin 15?
由正弦定理知
37

AC· sin45° =(15 6 +15 2 )·

2 =15( 3 +1)≈40.98>38(海里) , 2

∴不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.? 答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.? 2.如图,有两条相交成 60° 角的直线 XX′、YY′,交点是 O,甲、乙分别在 OX、OY 上,起 初甲在离 O 点 3 千米的 A 点,乙在离 O 点 1 千米的 B 点,后来两人同时以每小时 4 千米 的速度,甲沿 XX′方向,乙沿 Y′Y 方向步行,?

(1)起初,两人的距离是多少?? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离;? (3)什么时候两人的距离最短?? 解: (1)因甲、乙两人起初的位置是 A、B, 则 AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos60° =32+12-2× 3× 1× =7,? ∴起初,两人的距离是 7 千米.? (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q, 则 AP=4t,BQ=4t,? 当 0≤t≤ 当 t>

1 2

3 时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60° =48t2-24t+7;? 4

3 时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120° =48t2-24t+7, 4 1 2 ) +4,? 4

所以,PQ =48t2-24t+7.? (3)PQ2=48t2-24t+7=48(t∴当 t=

1 时,即在第 15 分钟末,PQ 最短.? 4

答:在第 15 分钟末,两人的距离最短.?? 课堂小结? 在实际问题(航海、测量等)的解决过程中,解题的一般步骤和方法,及正弦、余弦 定理相关知识点的熟练运用.应用解三角形知识解决实际问题时,要分析和研究问题中涉 及的三角形,及其中哪些是已知量,哪些是未知量,应该选用正弦定理还是余弦定理进行 求解.应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤:①根据题意作出示意图;②所涉及的
38

三角形,搞清已知和未知;③选用合适的定理进行求解;④给出答案.?? 布置作业? 课本第 22 页习题 1.2 第 9、10、11 题.?? 板书设计 例1 解决有关测量角度的问题? 例2 课堂练习? 布置作业 备课资料 一、备用例题?

1.如图所示,已知 A、B 两点的距离为 100 海里,B 在 A 的北偏东 30° 处,甲船自 A 以 50 海里/时的速度向 B 航行,同时乙船自 B 以 30 海里/时的速度沿方位角 150° 方向航行.问 航行几小时,两船之间的距离最短? ? 解:设航行 x 小时后甲船到达 C 点,乙船到达 D 点,在△BCD 中,BC =(100-50x)海里, BD=30x 海里(0≤x≤2) ,∠CBD=60° ,由余弦定理得? 2 2 2 CD =(100-50x) +(30x) -2· (100-50x)· 30x· cos60° =4 900x2-13 000x+10 000.

13000 65 16 ? ? 1 (小时)时,CD2 最小,从而得 CD 最小.? 2 ? 4900 49 49 16 ∴航行 1 小时,两船之间距离最近.? 49
∴当 x ? 2.我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 DC=6 000 米, ∠ACD=45° ,∠ADC=75° ,目标出现于地面点 B 处时,测得∠BCD=30° ,∠BDC=15° .求炮兵 阵地到目标的距离(结果保留根号) .? 解:在△ACD 中,∠CAD=180° -∠ACD-ADC=60° ,CD=6 000,∠ACD=45° ,?

根据正弦定理,有 AD ?

CD sin 45? 2 CD .? sin 60? 3
39

同理,在△BCD 中,∠CBD=180° -∠BCD-∠BDC=135° , CD=6 000,∠BCD=30° .? 根据正弦定理,有 BD ?

CD sin 30? 2 ? CD .? sin 135? 2

又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90° . 根据勾股定理,有 AB ?

AD2 ? BD2 ?

2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 .? 3 2 6

所以炮兵阵地到目标的距离为 1 000 42 米.?? 二、常用术语与相关概念? (1)坡度(亦叫坡角) :坡与水平面的夹角的度数.? (2)坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即坡角的正切值.? (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视 线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.? (4)方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角.? (5)方位角:从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角.

40

1.2.4 解决有关三角形计算的问题? 从容说课 本节的例 7 和例 8 说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法,即在不同已 知条件下求三角形面积的问题,与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识, 求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个 重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的―三斜求积公式‖,教科书在阅读 与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明. 例 9 是关于三角形边角关系恒等式的 证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定 理和余弦定理可以证明的问题. ? 关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出 了计算三角形的高的公式? hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.? 这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到,教科书证明了已知三角形的 两边及其夹角时的面积公式? S=

1 1 1 absinC,S= bcsinA,S= casinB.? 2 2 2

教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.? 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.? 教具准备 三角板、投影仪等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;? 2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.?? 二、过程与方法? 1.本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式 的特点,循序渐进地具体运用于相关的题型;? 2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让学生摸索,使学生 在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解.只要学生 自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点.?? 三、情感态度与价值观? 1.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;? 2.进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验成功的愉悦. 教学过程 导入新课 [设置情境]? 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式, 今天我们来学习它的另一个表达公式. 在 △ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 hA、hB、hC,那么它们如何用已知边和角表 示?? 生 hA=bsinC=csinB,?
41

hB=csinA=asinC,? hC=asinB=BsinA.?

1 ah ,应用以上求出的高的公式如 hA=bsinC 代入, 2 1 可以推导出下面的三角形面积公式: S ? ab sin C ,大家能推出其他的几个公式吗?? 2 1 1 生 同理,可得 S ? bc sin A , S ? ac sin B .? 2 2
师 根据以前学过的三角形面积公式 S ? 师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形 的面积呢?? 生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.?? 推进新课 【例 1】 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1 cm2).? (1)已知 A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5° ;? (2)已知 B=62.7° ,C =65.8° ,B =3.16 cm;? (3)已知三边的长分别为 A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.? 师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系, 我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么,求出需要的元素,就可以 求出三角形的面积.? 〔生口答,师书写过程〕?

1 1 ac sin B ,得 S= ×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).? 2 2 b c b sin C ? ,c ? (2)根据正弦定理, ,? sin B sin C sin B 1 1 sin C sin A S ? bc sin A ? b 2 .? 2 2 sin B
解: (1)应用 S ? A = 180° -(B + C)= 180° -(62.7° + 65.8° )=51.5° ,?

1 sin 65.8? sin 51.5? S ? ? 3.16 2 ? ≈4.0(cm2).? 2 sin 62.7?
(3)根据余弦定理的推论,得 cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 38.7 2 ? 41.4 2 ? 27.32 ? ≈0.769 7,? 2ca 2 ? 38.7 ? 41.4

sinB ? 1 ? cos2 B ? 1 ? 0.76972 ≈0.638 4,?
应用 S ?

1 1 ac sin B 得 S= ×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2).? 2 2

生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技 巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.? 【例 2】 在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到
42

这个三角形区域的三条边长分别为 68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少? (精确到 0.1 cm2)?? 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?? 生 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解.? 〔由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕? 解:设 A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论,?

cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 1272 ? 682 ? 882 ? ≈0.753 2,? 2ca 2 ?127? 68

sin B ? 1 ? 0.75322 ≈0.657 8,?
应用 S=

1 1 acsinB,S= ×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2).? 2 2

答:这个区域的面积是 2 840.38 m2.? 【例 3】在△ABC 中,求证:? (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ;? c2 sin 2 C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).? [合作探究]? 师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边有什么样的特 点?? 生 等式左边是三边的平方关系,而等式的右边是三个角的正弦的平方关系,可以联想到用正 弦定理来证明.? 师 等式两边分别是边和角,所以我们可以选正弦定理来证明,这样我们可以把一边的边 或角都转化成两边一样的边或角,即―化边为角‖或―化角为边‖,这也是我们在证明三角恒 等式时经常用的方法.? 证明: (1)根据正弦定理,可设?

a b c ? ? ? k ,? sin A sin B sin C
显然 k≠0,所以? 左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? ? =右边.? c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

师 那对于第二小题又该怎么化呢?? 生 等式左边仍然是三边的平方关系,而等式的右边既有角又有边,而且是两边和两边夹 角的余弦的积的关系,所以联想到用余弦定理来证明.? 师 很好,哪位来板演一下??
43

生 证明: (2)根据余弦定理的推论,?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ? ca ? ab )? 右边= 2(bc 2bc 2ca 2ab
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.? 1.已知在△ABC 中,∠B=30° ,B=6,C=6 3 ,求 A 及△ABC 的面积 S.? 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三 角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯,但应用 余弦定理会免去讨论.? 答案:A=6,S=9 3 ;A=12,S=18 3 .? 2.判断满足下列条件的三角形形状,? (1)acosA = bcosB;? (2)sinC =

sin A ? sin B .? cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理,―化边为角‖或―化角为边‖,正弦定理和余弦定理的运用 除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.? (1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明.? 生(余弦定理)得 a ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 ? b? ,? 2bc 2ca

∴c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).? ∴a2=b2 或 c2=a2+b2.? ∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.? 生(正弦定理)得? sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B.? ∴根据角的关系易得是等腰三角形.? 师 根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考, 谁的正确呢?? 生 第一位同学的正确.第二位同学遗漏了另一种情况,因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互补,即 2A+2B=180° ,A+B=90° .? (2)(解略)直角三角形.? [知识拓展]? 如图,在四边形 ABCD 中,∠ADB=∠BCD=75° ,∠ACB=∠BDC=45° ,DC = 3 ,求:?

44

(1)AB 的长;? (2)四边形 ABCD 的面积.? 略解: (1)因为∠BCD=75° ,∠ACB=45° , 所以∠ACD=30° .? 又因为∠BDC=45° ,? 所以∠DAC=180° -(75° + 45° + 30° )=30° .所以 AD=DC = 3 .? 在△BCD 中,∠CBD=180° -(75° + 45° )=60° ,所以?

BD DC 3 sin 75? 6? 2 .? ? , BD ? ? sin 75? sin 60? sin 60? 2
在△ABD 中,AB2=AD2+ BD2-2× AD× BD× cos75° = 5,所以,得 AB= 5 .?

(2)S△ABD=

1 3? 2 3 3? 3 × AD× BD× sin75° = .同理,S△BCD= .? 2 4 4

所以四边形 ABCD 的面积 S ?

6?3 3 .?? 4

课堂练习? 课本第 21 页练习第 1、2 题. 课堂小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然 后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也 可用余弦定理甚至可以两者混用.正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外, 贵在活用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积 公式.解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三 角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯.?? 布置作业 课本第 22 页习题 1.2 第 12、14、15 题.?? 板书设计 例1 补充练习: 例2 解决有关三角形计算的问题? 例3 变题 1? 变题 2

45

1.3 实习作业? 从容说课 本节适当安排了一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析 问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力, 增强学生应用数学的意识和数学实践的能力.教师要注意对于学生实习作业的指导,包括 对于实际测量问题的选择,及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的一些问题.? 教学重点 数学模型的建立.? 教学难点 解斜三角形知识在实际中的应用.? 教具准备 测量工具(三角板、测角仪、米尺等) 、实习报告?? 三维目标 一、知识与技能? 1.解斜三角形应用;? 2.测角仪原理;? 3.数学建模.?? 二、过程与方法? 1.进一步熟悉解斜三角形知识;? 2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;? 3.加强动手操作的能力;? 4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力; ? 5.增强数学应用意识.?? 三、情感态度与价值观? 1.认识数学在生产实际中的作用;? 2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想.?? 导入新课 师 前面几节课,我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力, 并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用.? 这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题. 推进新课? (1)提出问题:问题(一) :测量学校锅炉房的烟囱的高度.? 问题(二) :如图(1),怎样测量一水塘两侧 A、B 两点间的距离?? 问题(三) :如图(2),若要测量小河两岸 A、B 两点间的距离,应怎样测量??

(1)

46

(2)?? (2)分析问题:? 师 问题(一)中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出,那应该怎么去解决? ? 生 根据实际情况,应该采取下列措施:? 1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测量,但改变测量点;4.填写实习报告;5. 总结改进方案.? 实习报告(1)? 年 月 日 题目 测量目标 测量底部不能到达的烟囱 AB 的高度

测得数据

测量项目 EF 长(m) ED 长(m) α1 α2

第一次

第二次

平均值

计算

∵α3=α2-α1,

AD ?

ED ? sin ? 1 , sin ? 3

AC =AD· sinα2, ∴AB=AC +BC=AC+EF 减少误差措施 负责人及参加人 计算者及复核者 指导教师审核意见 备注 师 对于问题二、 问题三中的 A、 B 两点都不能直达, 无法用皮尺直接量出, 如何间接量出? 应再取点 C,借助△ABC 来测量计算.? 在△ABC 中要计算 AB 的长,应采集哪些数据?如何采集?? 生 问题二中,先选适当位置 C,用经纬仪器测出角 α,再分别量出 AC、BC 的长 B、A, 则可求出 A、B 两点间的距离.?
47

生 问题三中,可在小河的一侧,如在点 B 所在的一侧,选择点 C,为了算出 AB 的长,可 先测出 BC 的长 A,再用经纬仪分别测出 α、β 的值,那么,根据 A、α、β 的值,就可算出 AB 的长.? 生 数据运算:? 问题二 计算方法如下:? 在△ABC 中,已知 AC=B,BC=A,C=α,则由余弦定理得 AB ? a 2 ?b2 ? 2abcos? 问题三 计算方法如下:? 在△ABC 中,由正弦定理可得

AB BC a a sin ? ,所以 AB ? .? ? ? sin ? sin A sin(? ? ? ) sin(? ? ? )
实习报告(2)? 测量目标(附图)

题目 测得数据

测量一水塘两侧 A、B 两点间的距离 测量项目 AC 的长(m) BC 的长(m) α 第一次 42.3 34.8 109°2′ 第二次 41.9 35.2 108°58′ 平均值 42.1 35 109°

计算

A、B 两点间距离 (精确到 0.1m) , AC=42.1 m,? BC =35 m,? α=109°?? ∴ AB ?

AC , 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

= 42.12 ? 352 ? 2 ? 42.1? 35? cos109 ?. 算得 AB≈62.9(m) 负责人及参加人 计算者及复核者 指导教师审核意见 备注 实习报告(3)是对一小河两岸两点实际测量的情况. 实习报告(3)? 题目 测得数据 测量一小河两侧 A、B 两点间的距离 测量项目 a 的长(m) α β 计算 第一次 48.3 42°54′ 70°7′ 第二次 47.9 43°6′ 69°53′ 平均值 48.1 43° 69° 测量目标(附图)

A、B 两点间距离 (精确到 0.1m) : A=48.1 m,
48

α=43°, β=69° ∴

AB ?

a sin ? 48.1? sin 69? 48.1? sin 60? ? ? sin(? ? ? ) sin(43? ? 69?) sin 112?
算得 AB≈48.4(m)

负责人及参加人 计算者及复核者 指导教师审核意见 备注 课堂小结? 通过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过 程中提高利用数学知识解决实际问题的能力,并认识数学在生产、 生活实际中所发挥的作用, 增强学习数学的兴趣.?? 布置作业? 完成实习报告?? 板书设计 实习作业? 提出问题? 分析问题? 实习报告 课堂小结? 布置作业

49

2.1 数列的概念与简单表示法? 2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)?? 从容说课 本节课先由教师提供日常生活实例,引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概 念,再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究,认识数列是一种特殊的函数,最后 师生共同通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使 学生能理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会 用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公 式.? 教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用.? 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.? 教具准备 课件?? 三维目标 一、知识与技能? 1.理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;? 2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;? 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的通项公式.?? 二、过程与方法? 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; ? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性学习;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验.理论联系实际,激发学生对科学的探究 精神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点;? 2.通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣.?? 教学过程 导入新课? 师 课本图 211 中的正方形数分别是多少?? 生 1,3,6,10,….? 师 图 212 中正方形数呢?? 生 1,4,9,16,25,….? 师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些?? 生 -1 的正整数次幂:-1,1,-1,1,…;? 无穷多个数排成一列数:1,1,1,1,….? 生 一些分数排成的一列数: 推进新课 [合作探究]?
50

2 4 6 8 10 , , , , ,….?? 3 15 35 63 99

折纸问题? 师 请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?请同学们随便取一张纸试试(学生们兴 趣一定很浓).? 生 一般折 5、6 次就不能折下去了,厚度太高了.? 师 你知道这是为什么吗?我们设纸原来的厚度为 1 长度单位,面积为 1 面积单位,随依 次折的次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样?? 生 随着对折数厚度依次为:2,4,8,16,…,256,…;①? 随着对折数面积依次为

1 1 1 1 1 , , , ,…, ,….? 2 4 8 16 256

生 对折 8 次以后,纸的厚度为原来的 256 倍,其面积为原来的分 1[]256 式,再折下去太 困难了.?? 师 说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出 的这一列一列的数,看它们有何共同特点?? 生 均是一列数.? 生 还有一定次序.? 师 它们的共同特点:都是有一定次序的一列数.? [教师精讲]? 1.数列的定义:按一定顺序排列着的一列数叫做数列.? 注意:? (1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列;? (2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复?出现. ? 2.数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项),第 2 项,…,第 n 项,….同学们能举例说明吗?? 生 例如,上述例子均是数列,其中①中,―2‖是这个数列的第 1 项(或首项),―16‖是这个 数列中的第 4 项.? 3.数列的分类:? 1)根据数列项数的多少分:? 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列.? 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列.? 2)根据数列项的大小分:? 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列.? 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列.? 常数数列:各项相等的数列.? 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.? 请同学们观察:课本 P 33 的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列? 生 这六组数列分别是(1)递增数列, (2)递增数列, (3)常数数列, (4)递减数列, (5)摆动数列, (6)1.递增数列,2.递减数列.?
51

[知识拓展]? 师 你能说出上述数列①中的 256 是这数列的第多少项?能否写出它的第 n 项?? 生 256 是这数列的第 8 项,我能写出它的第 n 项,应为 an=2n.? [合作探究]? 同学们看数列 2,4,8,16,…,256,…①中项与项之间的对应关系,? 项 2 4 8 16 32 ? ↓ ↓ ↓ ↓ ↓? 序号 1 2 3 4 5? 你能从中得到什么启示?? 生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数 an=f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…,f(n),….? 师 说的很好.如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式.? [例题剖析]? 1.根据下面数列{an}的通项公式,写出前 5 项:? (1)an=

n ;(2)an=(-1)n· n.? n ?1

师 由通项公式定义可知,只要将通项公式中 n 依次取 1,2,3,4,5,即可得到数列的前 5 项.? 生 解:(1)n=1,2,3,4,5.a1=

1 2 3 4 5 ;a2= ;a3= ;a4= ;a5= .? 2 3 4 5 6

(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.? 师 好!就这样解.? 2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:? (1)3,5,7,9,11,…;(2)

2 4 6 8 10 , , , , ,…;? 3 15 35 63 99

(3)0,1,0,1,0,1,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;? (5)2,-6,12,-20,30,-42,….? 师 这里只给出数列的前几项的值,哪位同学能写出这些数列的一个通项公式?(给学生一 定的思考时间)? 生老师,我写好了!? 解:(1)an=2n+1;(2)an=

1 ? ( ?1) n 2n ;(3)an= ;? 2 (2n ? 1)(2n ? 1)

(4)将数列变形为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,? ∴an=n+

1 ? ( ?1) n ;? 2
52

(5)将数列变形为 1× 2,-2× 3,3× 4,-4× 5,5× 6,…,? ∴an=(-1)n+1n(n+1).? 师 完全正确! 这是由―数‖给出数列的―式‖的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的规 律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.? [合作探究]? 师 函数与数列的比较(由学生完成此表):? 函数 数列(特殊的函数) * 定义域 R 或 R 的子集 N 或它的有限子集{1,2,…,n} y=f(x) an=f(n) 解析式 图象 点的集合 一些离散的点的集合 师 对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项 公式来画出其对应图象,下面同学们练习画数列:? 4,5,6,7,8,9,10…;② 1,

1 1 1 , , ,…③的图象.? 2 3 4

生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为?

师 数列 4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关?? 生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关.?

1 1 1 , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关?? 2 3 4 1 生 与我们学过的反比例函数 y ? 的图象有关.? x
师 数列 1, 师 这两数列的图象有什么特点?? 生 其特点为:它们都是一群孤立的点.? 生 它们都位于 y 轴的右侧,即特点为:它们都是一群孤立的,都位于 y 轴的右侧?的点. ? 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主, 教师起引导作用, 充分体现学生的主体作用, 体现新课程的理念.?? 课堂小结? 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据 数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式.?? 布置作业 课本第 38 页习题 2.1 A 组第 1 题.??
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板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 定义 1.数列 ? 2.项 3.一般形式? 4.通项公式 5.有穷数列 6.无穷数列 例1 例2 函数定义

备课资料 一、备用例题? 1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数:? (1)1,3,5,7;(2) (3) ?

2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 ; , ; ;? 2 3 4 5

1 1 1 1 ,? ,? ,? .? 1? 2 2 ? 3 3? 4 4?5

分析:? (1)项:1=2× 1-1 3=2× 2-1 5=2× 3-1 7=2× 4-1 ? ↓ ↓ ↓ ↓? 序号: 1 2 3 4? 所以我们得到了 an=2n-1;? (2)序号: 1 2 3 ↓ ↓ ↓ 项分母: 2=1+1 3=2+1 4=3+1 ↓ ↓ ↓ 2 2 2 2 项分子: 2 -1=(1+1) -1 3 -1=(2+1) -1 42-1=(3+1)2-1 所以我们得到了 an= (3)序号: 1 ↓

4 ↓ 5=4+1 ? ↓? 52-1=(4+1)2-1 ?

(n ? 1) 2 ( n ? 2) ? n 或 ;? n ?1 n ?1
2 ↓ 3 ↓ 4? ↓?

?

1 1? 2


?

1 2?3


?

1 3? 4
↓?

?

1 4?5



?

1 1? (1 ? 1)

?

1 2 ? (2 ? 1)

?

1 3 ? (3 ? 1)

?

1 4 ? (4 ? 1)

54

所以我们得到了 an=-

1 .? n ? (n ? 1)

2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前 n 项分别是下列各数:? (1)1,0,1,0; 〔an=

1 ? (?1) n ?1 ,n∈N*〕? 2
n ?1 〕? (n ? 1) 2 ? 1

(2)-

2 3 5 6 4 , ,? , ,? ; 3 8 15 24 35

〔an=(-1)n·

(3)7,77,777,7 777; (4)-1,7,-13,19,-25,31; (5)

〔an=

7 × (10n-1)〕? 9

〔an=(-1)n(6n-5)〕? 〔an=

3 5 9 17 , , , . 2 4 16 256

2n ? 1 22
n ?1

〕?

点评:上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式,根据数列的前几项来写 出这数列的通项公式时,常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候,常可 根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性,有时可直截了当地研 究分子和分母之间的关系.? 3.已知数列{an}的通项公式是 an=2n2-n,那么( )? A.30 是数列{an}的一项? B.44 是数列{an}的一项? C.66 是数列{an}的一项? D.90 是数列{an}的一项? 分析:注意到 30,44,66,90 均比较小,可以写出这个数列的前几项,如果这前几项中 出现了这四个数中的某一个,则问题就可以解决了.若出现的数比较大,还可以用解方程求 正整数解的方法加以解决.? 答案:C?? 点评:看一个数 A 是不是数列{an}中的某一项,实质上就是看能不能找出一个非零自然数 n,使得 an=A.? 4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸,厚度为

1 cm?就是每 200 张叠起来刚好为 1 cm, 200

现在把这张纸裁一为二,叠起来,它的厚度记为 a1;再裁一为二,叠起来,它的厚度记为 a2,又裁一为二,叠起来,它的厚度记为 a3,这样一裁一叠,每次叠起来所得的厚度依次 排列,就得到一个数列:a1,a2,a3,…,ak,….? 你能求出这个数列的通项公式吗?你知道 a 50?, 即裁了 50 次、 叠了 50 次后的厚度是多少 厘米吗?是否有 10 层楼高呢?? 答案:这个数列的通项公式为 an=

2n ,? 200
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裁了 50 次、叠了 50 次后的厚度是 5 629 499 534 213.12 cm>56 294 995 km,大于地球到 月球距离的 146 倍.? 二、阅读材料? 无法实现的奖赏? 相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔,据说是他发明了国际象棋,古印度的舍罕 王学会了下国际象棋以后,非常激动,他要重赏他的宰相达依尔.? 达依尔对他的国王说:陛下,我不要您的重赏,只要您按我下面的办法赏我一些麦粒 就可以了:在我的棋盘上(它有 64 个格)第一格赏 1 粒,第二格赏 2 粒,第三格赏 4 粒,第 四格赏 8 粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要 求,但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.? 请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢??

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2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)? 从容说课 这节课通过对数列通项公式的正确理解,让学生进一步了解数列的递推公式,明确递 推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;通过经历数列知识 的感受及理解运用的过程,作好探究性教学.发挥学生的主体作用,提高学生的分析问题以 及解决问题的能力.? 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.? 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.? 教具准备 多媒体?? 三维目标 一、知识与技能? 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;? 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.?? 二、过程与方法? 1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣.?? 教学过程 导入新课 师 同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪位同学能谈 一谈什么叫数列的通项公式?? 生 如果数列{an}的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式.? 师 你能举例说明吗?? 生 如数列 0,1,2,3,…的通项公式为 an=n-1(n∈N*);? 1,1,1 的通项公式为 an=1(n∈N*,1≤n≤3);? 1,

1 1 1 1 , , ,…的通项公式为 an= (n∈N*).? 2 3 4 n

[合作探究]? 数列的表示方法? 师 通项公式是表示数列的很好的方法,同学们想一想还有哪些方法可以表示数列??? 生 图象法,我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 n 为横坐标,相 应的项 an 为纵坐标,即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列 1,

1 1 1 , , ,…为例,作出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐 2 3 4
标为正整数,所以这些点都在 y 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直 观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.?
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师 说得很好,还有其他的方法吗?? 生 ……? 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法:递推公式法? 知识都来源于实践,同时还要应用于生活,用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下 图:钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图,寻其规律,看看能否建立它的一些数 学模型. 生 模型一:自上而下?

第 1 层钢管数为 4,即 1?4=1+3;? 第 2 层钢管数为 5,即 2?5=2+3;? 第 3 层钢管数为 6,即 3?6=3+3;? 第 4 层钢管数为 7,即 4?7=4+3;? 第 5 层钢管数为 8,即 5?8=5+3;? 第 6 层钢管数为 9,即 6?9=6+3;? 第 7 层钢管数为 10,即 7?10=7+3.? 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an=n+3(1≤n≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,这完全正确, 运用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便. 让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律)? 生 模型二:上下层之间的关系? 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1,? 即 a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1.? 依此类推:an=a n-1+1(2≤n≤7).? 师 对于上述所求关系,同学们有什么样的理解?? 生 若知其第 1 项,就可以求出第二项,以此类推,即可求出其他项.? 师 看来,这一关系也较为重要,我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.? 推进新课? 1.递推公式定义:? 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的关系 可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.? 注意:递推公式也是给出数列的一种方法.? 如下列数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89.? 递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).? 2.数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,函数的表示法有:列表法、 图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法:即列表法、图象法、解析 式法.?
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[例题剖析]?

?a1 ? 1 ? 【例 1】 设数列{an}满足 ? 1 , n>1 .写出这个数列的前五项.? a ? 1 ? n ? an?1 ?
师 分析:题中已给出{an}的第 1 项即 a1=1,题目要求写出这个数列的前五项,因而只要 再求出二到五项即可.这个递推公式:an=1+

1 我们将如何应用呢?? an?1

生 这要将 n 的值 2 和 a1=1 代入这个递推公式计算就可求出第二项,然后依次这样进行就 可以了.? 师 请大家计算一下!? 生 解:据题意可知:a1=1,a2=1+

2 5 8 1 1 1 =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5= ? 3 3 5 a1 a2 a3

师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系,同学们要注意探究和发现递推公式 中的前项与后项,或前后几项之间的关系.? 【例 2】 已知 a1=2,an+1=2an,写出前 5 项,并猜想 an.? 师 由例 1 的经验我们先求前 5 项.? 生 前 5 项分别为 2,4,8,16,32.? 师 对,下面来猜想第 n 项.? 生 由 a1=2,a2=2× 2=22,a3=2× 22=23 观察可得,我猜想 an=2n.? 师 很好!? 生 老师,本题若改为求 an 是否还可这样去解呢?? 师 不能.必须有求解的过程.? 生 老师,我由 a n+1=2an 变形可得 an=2a n-1,即

an ? 2 ,依次向下写,一直到第一项,然 an?1

后将它们乘起来,就有

an an?1 an?2 a2 2n-1=2n.? ? ? ? …× 1 ? 2 n?1 ,所以 an=a1· a an?1 an?2 an?3

师 太妙了,真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法,这种方法在已知递推公 式求数列通项的问题中是比较常用的方法,对应的还有迭加法.? [知识拓展]? 已知 a1=2,an+1=an-4,求 an.? 师 此题与前例 2 比较,递推式中的运算改为了减法,同学们想一想如何去求?解呢??? 生 1 写出:a1=2,a2=-2,a3=-6,a4=-10,…? 观察可得:an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).? 生 2 他这种解法不行,因为不是猜出 an,而是要求出 an.?
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我这样解:由 an+1-an=-4 依次向下写,一直到第一项,然后将它们加起来,? an-a n-1=-4? an-1-an-2=-4? an-2-an-3=-4? ……?

?) a 2 ? a1 ? ?4 an ? a1 ? ?4(n ? 1)
∴an=2-4(n-1).? 师 好极了,真是触类旁通啊,这种方法也请同学们课后多体会.? [教师精讲]? (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的, 如果只有递推关系而无初始 值,那么这个数列是不能确定的.? 例如,由数列{an}中的递推公式 an+1=2an+1 无法写出数列{an}中的任何一项,若又知 a1=1, 则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4=15,….? (2)递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公式,也可能求不出 通项公式.? [学生活动]? 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.(投影片)? (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N);? (2)a1=1,a n+1=

an (n∈N);? an ? 2

(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N).? (让学生思考一定时间后,请三位学生分别作答)? 解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,∴an=(n-1)2.? (2)a1=1,a2=

2 1 2 2 1 2 2 ,a3= = ,a4= ,a5= = ,∴an= .? 3 2 4 5 3 6 n ?1

(3)a1=3=1+2× 30,a2=7=1+2× 31,a3=19=1+2× 32,? 3 4 a4=55=1+2× 3 ,a5=163=1+2× 3 ,∴an=1+2· 3 n-1.? 注:不要求学生进行证明归纳出通项公式.? [合作探究]? 一只猴子爬一个 8 级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多能上跃起三级,从地面上到 最上一级,你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗?? 析:这题是一道应用题,这里难在爬梯子有多种形式,到底是爬一级还是上跃二级等情况 要分类考虑周到.? 爬一级梯子的方法只有一种.? 爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种,还有一次爬二级,所以共有两种.? 若设爬一个 n 级梯子的不同爬法有 an 种,?
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则 an=an-1+an-2+an-3(n≥4),? 则得到 a1=1,a2=2,a3=4 及 an=a n-1+an-2+an-3(n≥4),就可以求得 a8=81.?? 课堂小结? 师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法,即递推公式及其用法,要注意理解它 与通项公式的区别,谁能说说?? 生 通项公式反映的是项与项数之间的关系, 而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的 关系.? 生 对于通项公式,只要将公式中的 n 依次取 1,2,3…,即可得到相应的项.而递推公式则 要已知首项(或前 n 项),才可求得其他的项.? (让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而 达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)?? 布置作业? 课本第 38 页习题 2.1A 组第 4、6 题.? 预习内容:课本 P41~P 44.??? 板书设计 数列的概念与简单表示法(二) 一、定义 ? 二、例题讲解 小结: 7.递推公式:? 例 1? 通项公式与 例2 递推公式区别

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2.2 等差数列? 2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式? 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差 数列的通项公式, 最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的 观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动 观察——分析概括——师生互动,形成概念——启发引导,演绎结论——拓展开放,巩固 提高.在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.? 在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知 识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的 主体地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般 的认知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的 .学会在生活中挖 掘数学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化.? 教学重点 理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简 单的问题.? 教学难点 (1)等差数列的性质,等差数列―等差‖特点的理解、把握和应用;? (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备 多媒体课件,投影仪 三维目标 一、知识与技能? 1.了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列 是等差数列;? 2.正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公 差、项数、指定的项.?? 二、过程与方法? 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力;? 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.?? 三、情感态度与价值观? 通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求 新知的创新意识.?? 教学过程 导入新课? 师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通 项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些 数列的例子:(课本 P41 页的 4 个例子)? (1)0,5,10,15,20,25,…;? (2)48,53,58,63,…;? (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…;? (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,….?
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请你们来写出上述四个数列的第 7 项.? 生 第一个数列的第 7 项为 30,第二个数列的第 7 项为 78,第三个数列的第 7 项为 3,第 四个数列的第 7 项为 10 510.? 师 我来问一下, 你依据什么写出了这四个数列的第 7 项呢?以第二个数列为例来说一说.? 生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多 5,依据这个规律性我得到了这个数列的第 7 项为 78.? 师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征?我说 的是共同特征.? 生 1 每相邻两项的差相等,都等于同一个常数.? 师 作差是否有顺序,谁与谁相减?? 生 1 作差的顺序是后项减前项,不能颠倒.? 师 以上四个数列的共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即 等差);我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.? 这就是我们这节课要研究的内容.?? 推进新课 等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个 常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母―d‖表示).? (1)公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;? (2)对于数列{an},若 an-a n-1=d(与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N*,则此数列是等差数 列,d 叫做公差.? 师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念,能否抓住定义中的关键字, 是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念, 以培养学生分析问题、 认识问题的能力)? 生 从―第二项起‖和―同一个常数‖.? 师 很好!? 师 请同学们思考:数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 生 数列(1)通项公式为 5n-5,数列(2)通项公式为 5n+43,数列(3)通项公式为 2.5n-15.5,…. 师 好,这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式,实质上这几个通项 公式有共同的特点,无论是在求解方法上,还是在所求的结果方面都存在许多共性,下面 我们来共同思考.? [合作探究]? 等差数列的通项公式? 师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的,若一个等差数列 {an}的首项是 a1,公差是 d,则据其定义可得什么?? 生 a2-a1=d,即 a2=a1+d.? 师 对,继续说下去!? 生 a3-a2=d,即 a3=a2+d=a1+2d;? a4-a3=d,即 a4=a3+d=a1+3d;? ……?
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师 好!规律性的东西让你找出来了,你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?? 生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d.? 师 很好!这样说来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其 通项 an 了.需要说明的是:此公式只是等差数列通项公式的猜想,你能证明它吗?? 生 前面已学过一种方法叫迭加法,我认为可以用.证明过程是这样的:? 因为 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到:an=a1+(n-1)d.? 师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.? [教师精讲]? 由上述关系还可得:am=a1+(m-1)d,? 即 a1=am-(m-1)d.? 则 an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,? 即等差数列的第二通项公式 an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)? 由此我们还可以得到 d ?

am ? an .? m?n

[例题剖析]? 【例 1】 (1)求等差数列 8,5,2,…的第 20 项;? (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?? 分析(1)? 师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第 20 项吗?? 生 1 这题太简单了!首项和公差分别是 a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为 n=20, 所以由等差数列的 通项公式,得 a20=8+(20-1)× (-3)=-49.? 师 好!下面我们来看看第(2)小题怎么做.? 分析(2)? 生 2 由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4 得数列通项公式为 an=-5-4(n-1).? 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得 n=100,即 -401 是这个数列的第 100 项.? 师 刚才两个同学将问题解决得很好,我们做本例的目的是为了熟悉公式,实质上通项公 式就是 an,a1,d,n 组成的方程(独立的量有三个).? 说明:(1)强调当数列{an}的项数 n 已知时,下标应是确切的数字;(2)实际上是求一个方 程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少,可向学生着重点出本问题的实质:要判 断-401 是不是数列的项,关键是求出数列的通项公式 an,判断是否存在正整数 n,使得 an=-401 成立.? 【例 2】 已知数列{an}的通项公式 an=pn+q,其中 p、q 是常数,那么这个数列是否一定是 等差数列?若是,首项与公差分别是什么?? 例题分析:? 师 由等差数列的定义,要判定{an}是不是等差数列,只要根据什么?? 生 只要看差 an-an-1(n≥2)是不是一个与 n 无关的常数.? 师 说得对,请你来求解.? 生 当 n≥2 时, 〔取数列{an}中的任意相邻两项 an-1 与 an(n≥2)〕?
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an-an-1=(pn+1)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p 为常数,? 所以我们说{an}是等差数列,首项 a1=p+q,公差为 p.? 师 这里要重点说明的是:? (1)若 p=0,则{an}是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,….? (2)若 p≠0,则 an 是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点(n,an)均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差 p,直线在 y 轴上的截距为 q.? (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项 an=pn+q(p、q 是常数),称其为第 3 通项公式. 课堂练习 (1)求等差数列 3,7,11,…的第 4 项与第 10 项.? 分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所?求 项. 解:根据题意可知 a1=3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为 an=3+(n-1)× 4,即 an=4n-1(n≥1, * n∈N ).∴a4=4× 4-1=15,a 10=4× 10-1=39.? 评述:关键是求出通项公式.? (2)求等差数列 10,8,6,…的第 20 项.? 解:根据题意可知 a1=10,d=8-10=-2.? 所以该数列的通项公式为 an=10+(n-1)× (-2),即 an=-2n+12,所以 a20=-2× 20+12=-28.? 评述:要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.? (3)100 是不是等差数列 2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.? 分析:要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项,其关键是要看是否存在一个正整数 n 值,使得 an 等于这个数.? 解:根据题意可得 a1=2,d=9-2=7.因而此数列通项公式为 an=2+(n-1)× 7=7n-5.? 令 7n-5=100,解得 n=15.所以 100 是这个数列的第 15 项.? (4)-20 是不是等差数列 0, ? 3 理由.?

1 ,-7,…的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明 2

1 7 7 n ? .? 2 2 2 7 7 47 7 7 令 ? n ? ? ?20 ,解得 n ? .因为 ? n ? ? ?20 没有正整数解,所以-20 不是这个 2 2 7 2 2
解:由题意可知 a1=0, d ? 3 ,因而此数列的通项公式为 a n ? ? 数列的项.?? 课堂小结 师(1)本节课你们学了什么?(2)要注意什么?(3)在生活中能否运用?(让学生反思、 归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)? 生 通过本课时的学习,首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式 a n-a n-1=d(n≥2); 其次要会推导等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d(n≥1).? 师 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道 an,a1,d,n 中任意三个,应用方程的思 想,可以求出另外一个.最后,还要注意一重要关系式 an=am+(n-m)d 和 an=pn+q(p、q 是常 数)的理解与应用.??
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布置作业 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 1 题,B 组第 1 题.?? 板书设计 等差数列的概念、等差数列的通项公式 1.定义? 2.数学表达式? 3.等差数列的通项公式 例 1.(略)? 例 2.(略)

练习

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2.2.2 等差数列通项公式? 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念,进一步熟练掌握等差数列的通项公 式及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;让学生明白一个数列 的通项公式是关于正整数 n 的一次型函数,那么这个数列必定是一个等差数列,使学生学 会用图象与通项公式的关系解决某些问题.? 在学法上, 引导学生去联想、 探索, 同时鼓励学生大胆质疑, 学会探究.在教学过程中, 遵循学生的认知规律, 充分调动学生的积极性, 尽可能让学生经历知识的形成和发展过程, 激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位,通过等差数 列概念的归纳概括, 培养学生的观察、 分析资料的能力, 积极思维, 追求新知的创新意识.? 通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点, 通过等差数列的图象的应用, 通过等差数列通项公式的运用, 渗透方程思想,进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究,主动学习, 提高学生学习积极性,也提高了课堂的教学效果.? 教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.? 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.? 教具准备 多媒体及课件?? 三维目标 一、知识与技能? 1.明确等差中项的概念;? 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差 数列的性质;? 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.?? 二、过程与方法? 1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列 通项公式的运用,渗透方程思想;? 2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特 殊与一般的辩证唯物主义观点;? 2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣.?? 教学过程 导入新课 师 同学们,上一节课我们学习了等差数列的定义,等差数列的通项公式,哪位同学能回 忆一下什么样的数列叫等差数列?? 生 我回答,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数, 即 an-a n-1=d(n≥2,n∈N *),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通 常用字母―d‖表示).?
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师 对,我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么?? 生 1 等差数列{an}的通项公式应是 an=a1+(n-1)d.? 生 2 等差数列{an}还有两种通项公式:an=am+(n-m)d 或 an=pn+q(p、q 是常数).? 师 好!刚才两位同学说得很好,由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差 d

an ? a1 a ? am ;③ d ? n .你能理解与记忆它们吗? n ?1 n?m a ? a1 a ? am 生 3 公式② d ? n 与③ d ? n 记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标 n ?1 n?m
的公式:①d=an-a n-1;② d ? 之差).? [合作探究]? 探究内容:如果我们在数 a 与数 b 中间插入一个数 A,使三个数 a,A,b 成等差数列,那 么数 A 应满足什么样的条件呢?? 师 本题在这里要求的是什么?? 生 当然是要用 a,b 来表示数 A.? 师 对,但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?? 生 由定义可得 A -a=b-A,即 A ? 反之,若 A ?

a?b .? 2

a?b ,则 A-a=b-A,? 2 a?b ? a,A,b 成等差数列.?? 由此可以得 A ? 2
推进新课? 我们来给出等差中项的概念:若 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.? 根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.? 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5 是 3 与 7 的等差中项,也是 1 和 9 的等差中项.? 9 是 7 和 11 的等差中项,也是 5 和 13 的等差中项.? [方法引导]? 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a,A,b 成等差数列?2A=a+b,以促成将等差 数列转化为目标量间的等量关系或直接由 a, A, b 间的关系证得 a, A, b 成等差?数列.?? [合作探究]? 师 在等差数列{an}中,d 为公差,若 m,n,p,q∈N*且 m+n=p+q,那么这些项与项之间有何 种等量关系呢?? 生 我得到了一种关系 am+an=ap+aq.? 师 能把你的发现过程说一下吗?? 生 受等差中项的启发,我发现 a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.? 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.? 师 你所得的这关系是归纳出来的,归纳有利于发现,这很好,但归纳不能算是证明!我 们是否可以对这归纳的结论加以证明呢??
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生 我能给出证明,只要运用通项公式加以转化即可.设首项为 a1,则? am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,? ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.? 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等,所以 am+an=ap+aq.? 师 好极了!由此我们的一个重要结论得到了证明:在等差数列{an}的各项中,与首末两项 等距离的两项的和等于首末两项的和.另外,在等差数列中,若 m+n=p+q,则上面两式的右 边相等,所以 am+an=ap+aq.? 同样地,我们还有:若 m+n=2p,则 am+an=2ap.这也是等差中项的内容.? 师 注意:由 am+an=ap+aq 推不出 m+n=p+q,同学们可举例说明吗?? 生 我举常数列就可以说明了.? 师 举得好!这说明在等差数列中,am+an=ap+aq 是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件. [例题剖析]? 【例 1】 在等差数列{an}中,若 a1+a6=9,a4=7,求 a3,a9.? 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项?? 生 1 在通常情况下是先求其通项公式,再根据通项公式来求这一项.? 生 2 而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意 两项(知道任意两项就知道公差,这在前面已研究过了).? 生 3 本题中,只已知一项和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手……? 师 好,我们下面来解,请一个同学来解一解,谁来解?? 生 4 因为{an}是等差数列,所以 a1+a6=a4+a3=9?a3=9-a4=9-7=2,? 所以可得 d=a4-a3=7-2=5.? 又因为 a9=a4+(9-4)d=7+5× 5=32,所以我们求出了 a3=2,a9=32.? 【例 2】 (课本 P44 的例 2) 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初 的 4 千米(不含 4 千米)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地,且 一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少元的车费?? 师 本题是一道实际应用题,它所涉及到的是什么知识方面的数学问题?? 生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.? 师 为什么?? 生 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时,每增加 1 km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.? 师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?? 生 分别是 11.2,1.2.? 师 好,大家计算一下本题的结果是多少?? 生 需要支付车费 23.2 元.? (教师按课本例题的解答示范格式)? 评述:本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,做此题的目的是让大家学会从 实际问题中抽象出等差数列的模型,用等差数列知识解决实际问题.?? 课堂练习 1.在等差数列{an}中,?
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(1)若 a5=a,a10=b,求 a15.? 解:由等差数列{an}知 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以 a15=2b-a.? (2)若 a3+a8=m,求 a5+a6.? 解:等差数列{an}中,a5+a6=a3+a8=m.? (3)若 a5=6,a8=15,求 a14.? 解:由等差数列{an}得 a8=a5+(8-5)d,即 15=6+3d,所以 d=3.? 从而 a14=a5+(14-5)d=6+9× 3=33.? (4)已知 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15 的值.? 解:等差数列{an}中,因为 6+6=11+1,7+7=12+2,……? 所以 2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……? 从而(a11+a12?+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),? 因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)? =2× 80-30=130.? 2.让学生完成课本 P45 练习 5.? 教师对学生的完成情况作出小结与评价.? [方法引导]? 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质,因此,首先要熟练掌握等差数列 的性质,其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.?? 课堂小结? 师 通过今天的学习,你学到了什么知识?有何体会?? 生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而 达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)?? 布置作业? 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 4、5 题.? 预习内容:课本 P48~P52.? 预习提纲:①等差数列的前 n 项和公式;②等差数列前 n 项和的简单应用.?? 板书设计 等差数列通项公式 等差中项 在等差数列{an}中,? 若 m、n、p、q∈N*且 m+n=p+q,? 则 am+an=ap+aq 例题?

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2.3 等差数列的前 n 项和 2.3.1 等差数列的前 n 项和(一)? 从容说课 ―等差数列的前 n 项和‖第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣,进 而引导学生对等差数列的前 n 项和公式作出探究,逐步引出求和公式以及公式的变形,初 步形成对等差数列的前 n 项和公式的认识,让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般 思路和方法,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,所以,在教学中宜采用以 问题驱动、层层铺垫,从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌 握公式,要采用设计变式题的教学手段.? 通过本节的例题的教学,使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性,以及如 何去建立数学模型的方式方法,培养学生善于从实际情境中去发现数列模型,促进学生对 本节内容的认知结构的形成.? 教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用.? 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题.? 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等?? 三维目标 一、知识与技能? 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简 单的与前 n 项和有关的问题.? 二、过程与方法? 通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规 律,初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生 进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.?? 三、情感态度与价值观? 通过公式的推导过程,展现数学中的对称美,通过生动具体的现实问题,令人着迷的 数学史,激发学生探究的兴趣,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理 体验,产生热爱数学的情感.?? 教学过程 导入新课 教师出示投影胶片 1:

印度泰姬陵(?Taj Mahal?)是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格拉市,泰姬陵是印 度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是 印度伊斯兰教文化的象征.?
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陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案 中一共有多少颗宝石吗?(这问题赋予了课堂人文历史的气息, 缩短了数学与现实之间的距 离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)

生 只要计算出 1+2+3+…+100 的结果就是这些宝石的总数.? 师 对,问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢?这里还有一段故事.? 教师出示投影胶片 2:

高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: ―现在给大家出道题目:1+2+…100=?‖? 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来 回答说: ―1+2+3+…+100=5 050.‖? 教师问:―你是如何算出答案的?‖? 高斯回答说:因为 1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以 101× 50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢??? 生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是:1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,有 50 个 101,所以 1+2+3+…+100=50×101=5 050.? 师 对,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第一个数与最后一个 数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和 均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5 050 了.? 高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.? 作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻 找出某些规律性的东西.? 师 问:数列 1,2,3,…,100 是什么数列?而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于 什么?? 生 这个数列是等差数列,1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数列的前 100 项的和.
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师 对,这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题.?? 推进新课? [合作探究]?

师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中我们取下第 1 层 到第 21 层,得到右图,则图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢?? 生 这是求―1+2+3+…+21‖奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了 .要是偶数项的数求 和就好首尾配成对了.? 师 高斯的这种―首尾配对‖的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们 是否有简单的方法来解决这个问题呢?? 生 有!我用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形.平行四边形中的 每行宝石的个数均为 22 个,共 21 行.则三角形中的宝石个数就是

(1 ? 21) ? 21 .? 2

师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,真是太好了!我将他的几何法写 成式子就是:? 1+2+3+…+21,? 21+20+19+…+1,? 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)? 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——―倒序相加法‖.? 现在我将求和问题一般化:? (1)求 1 到 n 的正整数之和,即求 1+2+3+…+(n-1)+n.(注:这问题在前面思路的引导下可由 学生轻松解决)? (2)如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn?? 生 1 对于问题(2),我这样来求:因为 Sn=a1+a2+a3+…+an,? Sn=an+an-1+…+a2+a1,? 再将两式相加,因为有等差数列的通项的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,? 所以 S n ?

n(a1 ? a n ) .(Ⅰ)? 2

生 2 对于问题(2),我是这样来求的:? 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-1)× d] ,? 所以 Sn=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+ 即 Sn=na1+

n( n ? 1) d,? 2

n( n ? 1) d.(Ⅱ)? 2
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[教师精讲]? 两位同学的推导过程都很精彩,一位同学是用―倒序相加法‖,后一位同学用的是基本量来 转化为用我们前面求得的结论,并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式. 这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前 n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的, 我们可 以发现, 它可与梯形面积公式(上底+下底)× 高÷ 2 相类比, 这里的上底是等差数列的首项 a1, 下底是第 n 项 an,高是项数 n,有利于我们的记忆.? [方法引导]? 师 如果已知等差数列的首项 a1, 项数为 n, 第 n 项为 an, 则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅰ) 来进行,若已知首项 a1,项数为 n,公差 d,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅱ)来进行.? 引导学生总结:这些公式中出现了几个量?? 生 每个公式中都是 5 个量.? 师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式,你会有何种想法?? 生 已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).? 师 当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项的二次函数,且 这二次函数的二次项系数的 2 倍就是公差.? [知识应用]? 【例 1】 (直接代公式)计算:? (1)1+2+3+…+n;? (2)1+3+5+…+(2n-1);? (3)2+4+6+…+2n;? (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.? (让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)~(3),并请一位同学 回答.? 生 (1)1+2+3+…+n=

n( n ? 1) 2



(2)1+3+5+…+(2n-1)=

n(1 ? n ? 1) 2

= n2



(3)2+4+6+…+2n=

n ( 2 n ? 2) =n(n+1).? 2

师 第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用 Sn 公式求解?若不能,那应 如何解答?(小组讨论后,让学生发言解答)? 生 (4)中的数列共有 2n 项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列, 所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.? 生 上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为 -1 ,故可得另一解法:原式 =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.? 师 很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.注意在运用求和 公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解.? 【例 2】 (课本第 49 页例 1)? 分析:这是一道实际应用题目,同学们先认真阅读此题,理解题意.你能发现其中的一些有 用信息吗?? 生 由题意我发现了等差数列的模型,这个等差数列的首项是 500,记为 a1,公差为 50,
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记为 d,而从 2001 年到 2010 年应为十年,所以这个等差数列的项数为 10.再用公式就可以 算出来了.? 师 这位同学说得很对,下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)? 【例 3】(课本第 50 页例 2)已知一个等差数列的前 10 项的和是 310, 前 20 项的和是 1 220, 由此可以确定求其前 n 项和的公式吗?? 分析:若要确定其前 n 项求和公式,则必须确定什么?? 生 必须要确定首项 a1 与公差 d.? 师 首项与公差现在都未知,那么应如何来确定?? 生 由已知条件,我们已知了这个等差数列中的 S10 与 S20,于是可从中获得两个关于 a1 和 d 的关系式,组成方程组便可从中求得.? (解答见课本第 50 页)? 师 通过上面例题 3 我们发现了在以上两个公式中,有 5 个变量.已知三个变量,可利用构 造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.? [合作探究]? 师 请同学们阅读课本第 50 页的例 3,阅读后我们来互相进行交流.? (给出一定的时间让学生对本题加以理解)? 师 本题是给出了一个数列的前 n 项和的式子,来判断它是否是等差数列.解题的出发点是 什么?? 生 从所给的和的公式出发去求出通项.? 师 对的,通项与前 n 项的和公式有何种关系?? 生 当 n=1 时,a1=S1,而当 n>1 时,an=Sn-Sn-1.? 师 回答的真好!由 Sn 的定义可知,当 n=1 时,S1=a1;当 n≥2 时,an=Sn-S n-1,? 即 an=S1(n=1),? Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的 Sn 来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方 法求出的通项 an=2n-

1 ,我们从中知它是等差数列,这时当 n=1 也是满足的,但是不是所 2

有已知 Sn 求 an 的问题都能使 n=1 时,an=Sn-Sn-1 满足呢?请同学们再来探究一下课本第 51 页的探究问题.? 生 1 这题中当 n=1 时,S1=a1=p+q+r;当 n≥2 时,an=Sn-S n-1=2pn-p+q,由 n=1 代入的结果 为 p+q,要使 n=1 时也适合,必须有 r=0.? 生 2 当 r=0 时,这个数列是等差数列,当 r≠0 时,这个数列不是等差数列.? 生 3 这里的 p≠0 也是必要的,若 p=0, 则当 n≥2 时, an=Sn-S n-1=q+r,则变为常数列了,r≠0 也还是等差数列.? 师 如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个数列一 定是等差数列, 从而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上 等差数列的两个求和公式中皆无常数项.?? 课堂练习 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54?? (学生板演)?
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解:设题中的等差数列为{an},前 n 项和为 Sn,? 则 a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,? 由公式可得-10n+

n( n ? 1) × 4=54.? 2

解之,得 n1=9,n2=-3(舍去).? 所以等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是 54.? (教师对学生的解答给出评价)?? 课堂小结 师 同学们,本节课我们学习了哪些数学内容??

n(a1 ? a n ) ,? 2 n(n ? 1)d ②等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? .? 2
生 ①等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 师 通过等差数列的前 n 项和公式内容的学习,我们从中体会到哪些数学的思想方法?? 生 ①通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——―倒 序相加法‖.? ②―知三求二‖的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个 变量.? 师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?? 生 如果一个数列的前 n 项和公式中的常数项为 0,且是关于 n 的二次型函数,则这个数列 一定是等差数列,否则这个数列就不是等差数列,从而使我们能从数列的前 n 项和公式的 结构特征上来认识等差数列.?? 布置作业 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 2、3 题.?? 板书设计 等差数列的前 n 项和(一) 公式:?

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

推导过程



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2.3.2 等差数列的前 n 项和(二)? 从容说课 ―等差数列的前 n 项和‖第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项 公式和前 n 项和公式, 进一步去了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题; 学会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值, 学会其常用的数学方法和体 现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等 差数列的前 n 项和公式的认识更为深刻.? 通过本节例题的教学,使学生能活用求和公式解题,并进一步感受到数列与函数、数 列与不等式等方面的联系,促进学生对本节内容认知结构的形成,通过探究一些特殊数学 求和问题的思路和方法,体会数学思想方法的运用.? 在本节教学中,应让学生融入问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、操作、 探索、交流、反思,来认识和理解等差数列的求和内容,学会学习并能积极地发展自己的 能力.? 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.? 教学难点 灵活应用求和公式解决问题.? 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;? 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;? 3.会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值.?? 二、过程与方法? 1.经历公式应用的过程,形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;? 2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水平的发展.?? 三、情感态度与价值观? 通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活 的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.?? 教学过程 导入新课 师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.? 生 我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的两个公式:? (1) S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ;(2) S n ? na1 ? .? 2 2

师 对,我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的公式,了解等差数列的一些性质.学会 了求和问题的一些方法,本节课我们继续围绕等差数列的前 n 项和的公式的内容来进一步 学习与探究.?? 推进新课? [合作探究]? 师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前 n 项和的公式的函数表示,请同学们
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将求和公式写成关于 n 的函数形式.? 生 我 将 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 的 公 式 S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 整理、变形得到: 2

Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? ) n.(*)? 2 2

师 很好!我们能否说(*)式是关于 n 的二次函数呢?? 生 1 能,(*)式就是关于 n 的二次函数.? 生 2 不能,(*)式不一定是关于 n 的二次函数.? 师 为什么?? 生 2 若等差数列的公差为 0,即 d=0 时,(*)式实际是关于 n 的一次函数!只有当 d≠0 时, (*)式才是关于 n 的二次函数.? 师 说得很好!等差数列{an}的前 n 项和的公式可以是关于 n 的一次函数或二次函数.我来问 一下:这函数有什么特征?? 生 它一定不含常数项,即常数项为 0.? 生 它的二次项系数是公差的一半.? ……? 师 对的,等差数列{an}的前 n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问:若一数列的 前 n 项和为 n 的一次函数或二次函数,则这数列一定是等差数列吗?? 生 不一定,还要求不含常数项才能确保是等差数列.? 师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?? 生 当 d=0 时,(*)式是关于 n 的一次函数,所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列, 当 d≠0 时,(*)式是 n 的二次函数,它的图象是在二次函数 y ? 的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1,2,3,…).? 师 说得很精辟.? [例题剖析]? 【例】 (课本第 51 页例 4)? 分析:等差数列{an}的前 n 项和公式可以写成 S n ? 数y?

d 2 d x ? (a1 ? ) x 的图象上 2 2

d 2 d n ? (a1 ? )n ,所以 Sn 可以看成函 2 2

d 2 d x ? (a1 ? ) x (x∈N *)当 x=n 时的函数值.另一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象 2 2

是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求 n 的值.(解答见课本第 52 页)? 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢?请同学们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为 5,公差为 ?

5 .? 7

师 对,它的首项为正数,公差小于零,因而这个数列是个单调递减数列,当这数列的项 出现负数时,则它的前 n 项的和一定会开始减小,在这样的情况下,同学们是否会产生新 的解题思路呢??

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生 老师,我有一种解法:先求出它的通项,求得结果是 an=a1+(n-1)d= ? 我令 a n ?

5 40 n ? .? 7 7

5 40 n? ≤0,得到了 n≥8,这样我就可以知道 a8=0,而 a9<0.从而便可以发现 7 7

S7=S8,从第 9 项和 Sn 开始减小,由于 a8=0 对数列的和不产生影响,所以就可以说这个等 差数列的前 7 项或 8 项的和最大.? 师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化 情况.? [方法引导]? 师 受刚才这位同学的新解法的启发,我们大家一起来归纳一下这种解法的规律:? ①当等差数列{an}的首项大于零,公差小于零时,它的前 n 项的和有怎样的最值?可通过什 么来求达到最值时的 n 的值?? 生 Sn 有最大值,可通过 ?

?a n ? 0 求得 n 的值.? ?a n ?1 ? 0

师 ②当等差数列{an}的首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和有怎样的最值?可 通过什么来求达到最值时的 n 的值?? 生 Sn 有最小值,可以通过 ?

?a n ? 0 求得 n 的值.? ?a n ?1 ? 0

[教师精讲]? 好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法, 我们求等差数列的前 n 项的和的最值问题 就有法可依了.主要有两种:? (1)利用 an 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况;? (2)利用 Sn:由 S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的值.?? 2 2

课堂练习 请同学们做下面的一道练习:? 已知:an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大?前多少项之和的绝对值最 小?(让一位学生上黑板去板演)? 解:1° ?

?an ? 1024? (1 ? n) lg 2 ? 0 ?an?1 ? 1024? n lg 2<0

?

1024 1024 <n ? +1 ? 3 401<n<3 403.所以 n=3 402.? lg 2 lg 2
n( n ? 1) (-lg2),当 Sn=0 或 Sn 趋近于 0 时其和绝对值最小,? 2
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2° Sn=1 024n+

令 Sn=0,即 1 024+

n( n ? 1) 2048 (-lg2)=0,得 n = +1≈6 804.99.? 2 lg 2

因为 n∈N*,所以有 n=6 805.? (教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)? [合作探究]? 师 我们大家再一起来看这样一个问题:? 全体正奇数排成下表:? 1? 3 5? 7 9 11? 13 15 17 19? 21 23 25 27 29? …… ……? 此表的构成规律是:第 n 行恰有 n 个连续奇数;从第二行起, 每一行第一个数与上一行最后 一个数是相邻奇数,问 2 005 是第几行的第几个数?? 师 此题是数表问题,近年来这类问题如一颗 ―明珠‖频频出现在数学竞赛和高考中,成为 出题专家们的―新宠‖, 值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律, 将自己的发现告诉我. 生 1 我发现这数表 n 行共有 1+2+3+…+n 个数,即 n 行共有

n( n ? 1) 个奇数.? 2

师 很好!要想知道 2 005 是第几行的第几个数,必须先研究第 n 行的构成规律.? 生 2 根据生 1 的发现,就可得到第 n 行的最后一个数是 2×

n( n ? 1) -1=n2+n-1.? 2

生 3 我得到第 n 行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.? 师 现在我们对第 n 行已经非常了解了,那么这问题也就好解决了,谁来求求看?? 生 4 我设 n2-n+1≤2 005≤n2+n-1,? 解这不等式组便可求出 n=45,n2-n+1=1 981.再设 2 005 是第 45 行中的第 m 个数,则由 2 005=1 981+(m-1)× 2,解得 m=13.因此,2 005 是此表中的第 45 行中的第 13 个数.?? 师 很好!由这解法可以看出,只要我们研究出了第 n 行的构成规律,则可由此展开我们的 思路.从整体上把握等差数列的性质,是迅速解答本题的关键.?? 课堂小结? 本节课我们学习并探究了等差数列的前 n 项和的哪些内容?? 生1 我们学会了利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值的方法:? ①利用 an:当 an>0,d<0,前 n 项和有最大值.可由 an≥0,且 a n+1≤0,求得 n 的值;当 an≤0,d>0,前 n 项和有最小值.可由 an≤0,且 a n+1≥0,求得 n 的值.? ②利用 Sn:由 Sn=

d 2 d n +(a1- )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的值.? 2 2
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生 2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究, 学习了从整体上把握等差数列

的性质来解决问题的数学思想方法.? 师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式的基础上,进一步去了解 了等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学 思想,从而使我们从等差数列的前 n 项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数 列.??? 布置作业? 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 5、6 题.? 预习提纲:? ①什么是等比数列?? ②等比数列的通项公式如何求??? 板书设计 Sn 与函数的联系 求 Sn 最值的方法 ? 等差数列的前 n 项和(二) 例4 学生练习? 数表问题

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2.4 等比数列? 2.4.1 等比数列的概念及通项公式? 从容说课 本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念,再由教师 引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式,并将等比数列的通项公式与指数函数 进行联系,体会等比数列与指数函数的关系,既让学生感受到等比数列是现实生活中大量 存在的数列模型,也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.? 教学中应充分利用信息和多媒体技术,给学生以较多的感受,激发学生学习的积极性 和思维的主动性.? 准备丰富的阅读材料,为学生提供自主学习的可能,进而达到更好的理解和巩固课堂 所学知识的目的.? 教学重点 1.等比数列的概念;? 2.等比数列的通项公式.? 教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;? 2.等比数列与指数函数的关系.? 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能? 1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;? 2.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式;? 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关的知识解决相应的实际 问题; 4.体会等比数列与指数函数的关系.?? 二、过程与方法? 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动;? 3.密切联系实际,激发学生学习的积极性.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认 真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;? 2.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的? 兴趣.??? 教学过程 导入新课? 师 现实生活中,有许多成倍增长的实例.如,将一张报纸对折、对折、再对折、…,对折 了三次, 手中的报纸的层数就成了 8 层, 对折了 5 次就成了 32 层.你能举出类似的例子吗? 生 一粒种子繁殖出第二代 120 粒种子, 用第二代的 120 粒种子可以繁殖出第三代 120× 120 粒种子,用第三代的 120× 120 粒种子可以繁殖出第四代 120× 120× 120 粒种子,…?? 师 非常好的一个例子!?
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现实生活中,我们会遇到许多这类的事例.? 教师出示多媒体课件一:某种细胞分裂的模型.?

师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律,将每次 分裂后细胞的个数写成一个数列,你能写出这个数列吗?? 生 通过观察和画草图,发现细胞分裂的规律,并记录每次分裂所得到的细胞数,从而得 到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列:? 1,2,4,8,…①? 教师出示投影胶片 1:―一尺之棰,日取其半,万世不竭.‖? 师 这是《庄子· 天下篇》中的一个论述,能解释这个论述的含义吗?? 生 思考、讨论,用现代语言叙述.? 师 (用现代语言叙述后)如果把―一尺之棰‖看成单位―1‖,那么得到的数列是什么样的呢? 生 发现等比关系,写出一个无穷等比数列:1,

1 1 1 1 , , , ,… ②? 2 4 8 16

教师出示投影胶片 2:计算机病毒传播问题. 一种计算机病毒,可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播.如果把病毒制造者 发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算 机都感染 20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的 数列呢? 师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢?? 引导学生发现―病毒制造者发送病毒称为第一轮‖―每一轮感染 20 台计算机‖中蕴涵的等比 关系.? 生 发现等比关系,写出一个无穷等比数列:? 1,20,202,203,204,… ③? 教师出示多媒体课件二:银行存款利息问题.? 师 介绍―复利‖的背景:―复利‖是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式, 即把前一期 的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的―利滚利‖.我国现 行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.? 给出计算本利和的公式:? 本利和=本金× (1+本金)n,这里 n 为存期.? 生 列出 5 年内各年末的本利和,并说明计算过程.? 师 生合作讨论得出―时间‖―年初本金‖―年末本利和‖三个量之间的对应关系,并写出:各年 末本利和(单位:元)组成了下面数列:? 10 000× 1.019 8,10 000× 1.019 82,10 000× 1.019 83,10 000× 1.019 84,10 000× 1.019 85. ④
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? 师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②③④,说说它们有什么 共同特点?? 师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系.? 引入课题:板书课题 2.4 等比数列的概念及通项公式?? 推进新课 [合作探究]? 师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是:具有等比关系.如果我们将具 有这样特点的数列称之为等比数列,那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢?? 生 回忆等差数列的定义,并进行类比,说出:? 一般地,如果把一个数列,从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这 个数列叫做等比数列.? [教师精讲]? 师 同学们概括得很好, 这就是等比数列(?geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列 的英文缩写记作 G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用 G.P.这个缩写表示等比数列. 定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母 q 表示(q≠0). 请同学们想一想,为什么 q≠0 呢?? 生 独立思考、合作交流、自主探究.? 师 假设 q=0,数列的第二项就应该是 0,那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时 就出现什么了呢?? 生 分母为 0 了.? 师 对了,问题就出在这里了,所以,必须 q≠0.? 师 那么,等比数列的首项能不能为 0 呢?? 生 等比数列的首项不能为 0.? 师 是的,等比数列的首项和公比都不能为 0,等比数列中的任一项都不会是 0.? [合作探究]? 师类比等差中项的概念,请同学们自己给出等比中项的概念.? 生 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a、b 的等比 中项. 师 想一想,这时 a、b 的符号有什么特点呢?你能用 a、b 表示 G 吗?? 生 一起探究,a、b 是同号的

G b ? ,G=± ab ,G2=ab.? a G

师 观察学生所得到的 a、b、G 的关系式,并给予肯定.? 补充练习:与等差数列一样,等比数列也具有一定的对称性,对于等差数列来说,与数列 中任一项等距离的两项之和等于该项的 2 倍, 即 a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说, 有什么 类似的性质呢?? 生 独立探究,得出:等比数列有类似的性质:a n-k· a n+k=an2.? [合作探究]? 探究:?
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(1)一个数列 a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列,同时还能不能是等比数列呢?? (2)写出两个首项为 1 的等比数列的前 5 项,比较这两个数列是否相同?写出两个公比为 2 的等比数列的前 5 项,比较这两个数列是否相同?? (3)任一项 an 及公比 q 相同,则这两个数列相同吗?? (4)任意两项 am、an 相同,这两个数列相同吗?? (5)若两个等比数列相同,需要什么条件?? 师 引导学生探究,并给出(1)的答案, (2)(3)(4)可留给学生回答.? 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法,并交流(1)的解答.? [教师精讲]? 概括总结对上述问题的探究,得出:? (1)中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的,每一个非零常数列都是公差为 0,公 比为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列.? 概括学生对(2)(3)(4)的解答.? (2)中,首项为 1,而公比不同的等比数列是不会相同的;公比为 2,而首项不同的等比数 列也是不会相同的.? (3)中,是指两个数列中的任一对应项与公比都相同,可得出这两个数列相同;? (4)中,是指两个数列中的任意两个对应项都相同,可以得出这两个数列相同;? (5)中,结论是:若两个数列相同,需要―首项和公比都相同‖.? (探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件; 为等比数列的通项公 式的推导做准备)? [合作探究]? 师 回顾等差数列的通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗?? 生 推导等比数列的通项公式.? [方法引导]? 师 让学生与等差数列的推导过程类比,并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通 项公式.? 具体的,设等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,根据等比数列的定义,我们有:? a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1,? 即 an=a1qn-1.? 师 根据等比数列的定义,我们还可以写出?

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q ,? a1 a2 a3 an?1
进而有 an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1.? 亦得? an=a1qn-1.? 师 观察一下上式, 每一道式子里, 项的下标与 q 的指数, 你能发现有什么共同的特征吗? 0 生 把 an 看成 anq ,那么,每一道式子里,项的下标与 q 的指数的和都是 n.? 师 非常正确,这里不仅给出了一个由 an 倒推到 an 与 a1,q 的关系,从而得出通项公式的
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过程,而且其中还蕴含了等比数列的基本性质,在后面我们研究等比数列的基本性质时将 会再提到这组关系式.? 师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子?

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q ,再思考.? a1 a2 a3 an?1
如果我们把上面的式子改写成

a a a2 a ? q, 3 ? q, 4 ? q,..., n ? q .? a1 a2 a3 an?1

那么我们就有了 n-1 个等式,将这 n-1 个等式两边分别乘到一起(叠乘),得到的结果是

an ? q n ?1 ,于是,得 an=a1q n-1.? a1
师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗?? 师 在上述方法中,前两种方法采用的是不完全归纳法,严格的,还需给出证明.第三种方 法没有涉及不完全归纳法,是一个完美的推导过程,不再需要证明.? 师 让学生说出公式中首项 a1 和公比 q 的限制条件.? 生 a1,q 都不能为 0.? [知识拓展]? 师 前面实例中也有―细胞分裂‖―计算机病毒传播‖―复利计算‖的练习和习题, 那里是用什么 方法解决问题的呢?? 教师出示多媒体课件三:前面实例中关于―细胞分裂‖―计算机病毒传播‖―复利计算‖的练习 或习题. 某种储蓄按复利计算成本利息,若本金为 a 元,每期利率为 r,设存期是 x,本利和为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式;? (2)如果存入本金 1 000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和. 师 前面实例中关于―细胞分裂‖―计算机病毒传播‖―复利计算‖的问题是用函数的知识和方 法解决问题的.? 生 比较两种方法,思考它们的异同.? [教师精讲]? 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题, 从中发现等比数列和指数函数可以联系起来. (1)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为 an=2 n-1 的数列的图象和函数 y=2x-1 的图象, 你发现了什么?? (2)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为 a n ? ( )

1 2

n ?1

的数列的图象和函数 y=(

1 x-1 ) 2

的图象,你又发现了什么?? 生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象,然后交流、讨论、归纳出二者之间的 关系.?
86

师 出示多媒体课件四:借助信息技术作出的上述两组图象.?

观察它们之间的关系,得出结论:等比数列是特殊的指数函数,等比数列的图象是一 些孤立的点.? 师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系 3 个角度类比等差数列与等比数列,并填 充下列表格:? 等差数列 定 义 首项、 公差(公比)取值有 无限制 通项公式 相应图象的特点 从第二项起,每一项与它前一项 的差都是同一个常数 没有任何限制 an=a1+(n-1)d 直线 y=a1+(x-1)d 上孤立的点 等比数列 从第二项起,每一项与它前 一项的比都是同一个常数 首项、公比都不能为 0 an=a1q n-1 函数 y=a1qx-1 图象上孤立的 点

[例题剖析]? 【例 1】 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的这种物质是原来的 84%,这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)?? 师 从中能抽象出一个数列的模型,并且该数列具有等比关系.?

【例 2】 根据右图中的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的递推公式,这个数 列是等比数列吗?? 师 将打印出来的数依次记为 a1(即 A),a2,a3,….?
87

可知 a1=1;a2=a1× ;a3=a2× .? 于是,可得递推公式?

1 2

1 2

?a1 ? 1, ? .? ? 1 an ? an?1 (n>1) ? 2 ?
由于

an 1 ? ,因此,这个数列是等比数列.? an?1 2

生 算出这个数列的各项,求出这个数列的通项公式.? 练习:? 1.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项.? 师 启发、引导学生列方程求未知量.? 生 探究、交流、列式、求解.? 2.课本第 59 页练习第 1、2 题.?? 课堂小结 本节学习了如下内容:? 1.等比数列的定义.? 2.等比数列的通项公式.? 3.等比数列与指数函数的联系.?? 布置作业 课本第 60 页习题 2.4 A 组?第 1、2 题.?? 板书设计 1.等比数列的定义? 2.等比数列的通项公式? 等比数列的概念及通项公式 实例剖析 从三个角度类比等差数列表? 练习:1.(学生板演)

例1 例2

88

2.4.2 等比数列的基本性质及其应用? 从容说课 这节课师生将进一步探究等比数列的知识,以教材练习中提供的问题作为基本材料, 认识等比数列的一些基本性质及内在的联系,理解并掌握一些常见结论,进一步能用来解 决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决,渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归 纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.? 教学中以师生合作探究为主要形式,充分调动学生的学习积极性.? 教学重点 1.探究等比数列更多的性质;? 2.解决生活实际中的等比数列的问题.? 教学难点 渗透重要的数学思想.? 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.了解等比数列更多的性质;? 2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的 实际问题的解决中;? 3.能在生活实际的问题情境中,抽象出等比数列关系,并能用有关的知识解决相应的 实际问题.?? 二、过程与方法? 1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;? 2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法,发挥学生的主体作用,引导学生探究问 题的解决方法,经历解决问题的全过程;? 3.当好学生学习的合作者的角色.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过对等比数列更多性质的探究,培养学生的良好的思维品质和思维习惯,激发学 生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;? 2.通过生活实际中有关问题的分析和解决,培养学生认识社会、了解社会的意识,更 多地知道数学的社会价值和应用价值.?? 教学过程 导入新课? 师 教材中第 59 页练习第 3 题、第 4 题,请学生课外进行活动探究,现在请同学们把你们 的探究结果展示一下.? 生 由学习小组汇报探究结果.? 师 对各组的汇报给予评价.? 师 出示多媒体幻灯片一:第 3 题、第 4 题详细解答:? 第 3 题解答:? (1)将数列{an}的前 k 项去掉,剩余的数列为 a k+1,a k+2,….令 bi=ak+i,i=1,2,…,? 则数列 a k+1,ak+2,…,可视为 b1,b2,….?

89

因为

bi ?1 ak ?i ?1 ? ? q (i≥1),所以,{bn}是等比数列,即 a k+1,ak+2,…是等比数列.? bi a k ?i

(2){an}中每隔 10 项取出一项组成的数列是 a1,a 11,a 21,…,则?

a a11 a21 ? ? ... ? 10 k ?1 ? ... ? q10 (k≥1).? a1 a11 a10 k ?9
所以数列 a1,a 11,a21,…是以 a1 为首项,q10 为公比的等比数列.? 猜想:在数列{an}中每隔 m(m 是一个正整数)取出一项,组成一个新数列,这个数列是以 a1 为首项、qm 为公比的等比数列.? ◇本题可以让学生认识到,等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列,可以让 学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.? 第 4 题解答:? (1)设{an}的公比是 q,则? a52=(a1q4)2=a12q8,? 而 a3· a7=a1q2· a1q6=a12q8,? 所以 a52=a3· a7.? 2 同理,a5 =a1· a9.? (2)用上面的方法不难证明 an2=a n-1· a n+1(n>1).由此得出,an 是 a n-1 和 a n+1 的等比中项,同 2 理可证 an =a n-k· an+k(n>k>0).an 是 an-k 和 an+k 的等比中项(n>k>0).? 师 和等差数列一样,等比数列中蕴涵着许多的性质,如果我们想知道的更多,就要对它 作进一步的探究.?? 推进新课 [合作探究]? 师 出示投影胶片 1 例题 1 (教材 P61B 组第 3 题)就任一等差数列{an},计算 a7+a 10,a8+a9 和 a10+a 40, a20+a30,你发现了什么一般规律,能把你发现的规律用一般化的推广吗?从等差数列和函 数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论? 师 注意题目中―就任一等差数列{an}‖,你打算用一个什么样的等差数列来计算?? 生 用等差数列 1,2,3,…? 师 很好,这个数列最便于计算,那么发现了什么样的一般规律呢?? 生 在等差数列{an}中,若 k+s=p+q(k,s,p,q∈N *),则 ak+as=ap+aq.? 师 题目要我们―从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题‖,如何做?? 生 思考、讨论、交流.? 师 出示多媒体课件一:等差数列与函数之间的联系.? [教师精讲]?

90

师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题: 由等差数列{an}的图象, 可以看 出

ak k as s ? , ? ,? a p p aq q
ak ? a s k ? s ? ? 1 .? a p ? aq p ? q

根据等式的性质,有

所以 ak+as=ap+aq.? 师 在等比数列中会有怎样的类似结论?? 生 猜想对于等比数列{an},类似的性质为:k+s=p+t(k,s,p,t∈N*),则? ak· as=ap· at.? 师 让学生给出上述猜想的证明.? 证明:设等比数列{an}公比为 q,? 则有 ak· a s=a1qk-1· a1qs-1=a12· qk+s-2,? ap· at=a1q p-1· a1qt-1=a12· qp+t-2.? 因为 k+s=p+t,? 所以有 ak· as=ap· at.? 师 指出:经过上述猜想和证明的过程,已经得到了等比数列的一个新的性质.? 即等比数列{an}中,若 k+s=p+t(k,s,p,t∈N*),则有 ak· as=ap· at.? 师 下面有两个结论:? (1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积;? (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.? 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗?? 生 思考、列式、合作交流,得到:? 结论(1)就是上述性质中 1+n=(1+t)+(n-t)时的情形;? 结论(2)就是上述性质中 k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.? 师 引导学生思考,得出上述联系,并给予肯定的评价.? 师 上述性质有着广泛的应用.? 师 出示投影胶片 2:例题 2 例题 2? (1)在等比数列{an}中,已知 a1=5,a9a 10=100,求 a 18;? (2)在等比数列{bn}中,b4=3,求该数列前七项之积;? (3)在等比数列{an}中,a2=-2,a5=54,求 a8.
91

例题 2 三个小题由师生合作交流完成,充分让学生思考,展示将问题与所学的性质联系 到一起的思维过程.? 解答:? (1)在等比数列{an}中,已知 a1=5,a9a10=100,求 a 18.? 解:∵a1a 18=a9a 10,∴a 18=

a9 a10 100 =20.? ? a1 5

(2)在等比数列{bn}中,b4=3,求该数列前七项之积.? 解:b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.? ∵b42=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七项之积(32)3× 3=37=2 187.? (3)在等比数列{an}中,a2=-2,a5=54,求 a8.? 解:.∵a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴542=a8× (-2).? ∴a8=-1 458.? 另解:a8=a5q3=a5·

a5 54 =-1 458.? ? 54? a2 ?2

[合作探究]? 师 判断一个数列是否成等比数列的方法:1、定义法;2、中项法;3、通项公式法.? 例题 3:已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格.从中你能 得出什么结论?证明你的结论.? an 例 自选 1 自选 2 师 请同学们自己完成上面的表.? 师 根据这个表格,我们可以得到什么样的结论?如何证明?? 生 得到:如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列,那么{an· bn}也是等比数列.? 证明如下:? 设数列{an}的公比是 p,{bn}公比是 q,那么数列{an· bn}的第 n 项与第 n+1 项分别为 a1p n-1 n-1 n n b1q 与 a1p b1q ,因为? bn -5× 2
n-1

an· bn

判断{an· bn}是否是等比数列 是

2 3? ( )n 3

4 ? 10 ? ( ) n ?1 3

an?1 ? bn?1 a p nb q n ? 1 n?1 1 n?1 ? pq ,? an bn a1 p b1q
它是一个与 n 无关的常数,所以{an· bn}是一个以 pq 为公比的等比数列.? [教师精讲]? 除了上面的证法外,我们还可以考虑如下证明思路:? 证法二:? 设数列{an}的公比是 p,{bn}公比是 q,那么数列{an· bn}的第 n 项、第 n-1 项与第 n+1 项(n
92

>1,n∈N *)分别为 a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2 与 a1pnb1qn,因为? (anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),? (a n-1· bn-1)(a n+1· bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),? 即有(anbn)2=(a n-1· bn-1)(a n+1· bn+1)(n>1,n∈N *),? 所以{an· bn}是一个等比数列.? 师 根据对等比数列的认识,我们还可以直接对数列的通项公式考察:? 证法三:设数列{an}的公比是 p,{bn}公比是 q,那么数列{an· bn}的通项公式为? n-1 n-1 n-1 anbn=a1p b1q =(a1b1)(pq) ,? 设 cn=anbn,则 cn=(a1b1)(pq) n-1,? 所以{an· bn}是一个等比数列.?? 课堂小结? 本节学习了如下内容:? 1.等比数列的性质的探究.? 2.证明等比数列的常用方法.?? 布置作业? 课本第 60 页习题 2.4 A 组第 3 题、B 组第 1 题.?? 板书设计 例1 等比数列的基本性质及其应用 例2 例3

93

2.5 等比数列的前 n 项和? 2.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导与应用? 从容说课 师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的―错位相减法‖ 为最基本的方法,―错位相减法‖也是一种算法,其设计的思路是―消除差别‖,从而达到化 简的目的.? 等比数列前 n 项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据 等比数列的定义可得

an a a a ? n?1 ? ... ? 3 ? 2 ? q ,? an?1 an?2 a2 a1
a ?a q S n ? a1 ? q ,整理得 S n ? 1 n (q ? 1) .? 1? q S n ? an

再由分式性质,得

教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间.? 教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导;? 2.等比数列前 n 项和公式的应用.? 教学难点 等比数列前 n 项和公式的推导.? 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;? 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式;? 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式,利用公式知三求一;? 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.?? 二、过程与方法? 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认 真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;? 2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;? 3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴 趣. 教学过程 导入新课 师 国际象棋起源于古代印度 . 相传国王要奖赏国际象棋的发明者 . 这个故事大家听说过 吗? 生 知道一些,踊跃发言.? 师 ―请在第一个格子里放上 1 颗麦粒,第二个格子里放上 2 颗麦粒,第三个格子里放上 4
94

颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个 格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.‖这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.?? 师 假定千粒麦子的质量为 40 g, 按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能 满足他的要求?? 生 各持己见.动笔,列式,计算.? 生 能列出式子:麦粒的总数为? 1+2+22+…+263=?? 师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下. 课件展示:? 1+2+22+…+2 63=? 师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首 项是 1,公比是 2,求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列 的前 64 项的和.? 现在我们来思考一下这个式子的计算方法:? 记 S=1+2+22+23+…+2 63,式中有 64 项,后项与前项的比为公比 2,当每一项都乘以 2 后, 中间有 62 项是对应相等的,作差可以相互抵消. 课件展示:? S=1+2+22+23+…+2 63,①? 2S=2+22+23+…+263+264,②? ②-①得? 2S-S=2 64-1.? 264-1 这个数很大,超过了 1.84× 10 19,假定千粒麦子的质量为 40 g,那么麦粒的总质量超 过了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨,因此,国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都 是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识, 正是我们这节课 所要探究的知识.? 推进新课 [合作探究]? 师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q2+…+qn=?? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.? 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.? 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢?? 生 q+q2+…+qn+q n+1.? 生 每一项就成了它后面相邻的一项.? 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗?? 师 生共同探索:? 如果记 Sn=1+q+q2+…+qn,? 那么 qSn=q+q2+…+qn+q n+1.? 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-qn.?
95

师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值.? 生 如果 q≠1,则有 S ?

1? qn .? 1? q

师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果.? 生 如果 q=1,那么 Sn=n.? 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思 考? 课件展示:? a1+a2+a3+…+an=? [教师精讲]? 师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那 就是―错位相减,消除差别‖的方法.我们将这种方法简称为―错位相减法‖.? 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用―错位相减法‖.? 如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an,? 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,? 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.? 师 再次提醒学生注意 q 的取值.? 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 ? an q .? 1? q

师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:? 如果记 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,? 那么 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,? 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.? 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 (1 ? q n ) .? 1? q

师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的―错位相减法‖. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出现 的是 a1,q,Sn,n 四个, 这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是:上述结论都是在―如果 q≠1‖的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数 列的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式.? 师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流.? 生 如果 q=1,Sn=na1.? 师 完全正确.? 如果 q=1,那么 Sn=nan.正确吗?怎么解释?? 生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍.?
96

师 对了,这就是认清了问题的本质.? 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下:?? [合作探究]? 思路一:根据等比数列的定义,我们有:

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q ,? a1 a2 a3 an?1

再由合比定理,则得

a2 ? a3 ? a4 ? ... ? an ? q ,? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1



S n ? a1 ? q ,? S n ? an

从而就有(1-q)Sn=a1-anq.? (以下从略)? 思路二:由 Sn=a1+a2+a3+…+an 得? Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),? 从而得(1-q)Sn=a1-anq.? (以下从略)? 师 探究中我们们应该发现,Sn-S n-1?=an 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重 视.在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件?? 生 n>1.? 师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n>1.? 师 综合上面的探究过程,我们得出:?

?na1 , q ? 1, ?na1 , q ? 1, ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) 或者 ? a1 ? an q q ? 1 ? 1? q , q ? 1 ? 1? q , ? ?
[例题剖析]? 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和:?

1 1 1 , , ,…;? 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q<0.? 243
(1) [合作探究]? 师生共同分析:?

1 1 , q ? ,求 n=8 时的和,直接用公式即可.? 2 2 1 由 (2) 所给条件,需要从 a 9 ? 中获取求和的条件,才能进一步求 n = 8 时的和 . 而 243
由(1)所给条件,可得 a1 ?
97

?a9=a1q8,所以由条件可得 q8= 代入公式就可以了.? 生 写出解答:?

a9 1 1 = ,再由 q<0,可得 q ? ? ,将所得的值 243 ? 27 3 a1

1 1 [1 ? ( ) 8 1 1 2 ? 255 .? (1)因为 a1 ? , q ? ,所以当 n=8 时, S 8 ? 2 1 2 2 256 1? 2
(2)由 a1=27, a 9 ?

a 1 1 8 ,可得 q ? 9 ? ,? 243 a1 243? 27

1 3 1 1 (1 ? ) 1640 27 243 ? 27 于是当 n=8 时, S 8 ? .? ? 1 81 1 ? (? ) 3
又由 q<0,可得 q ? ? ,? 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增 加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)?? 师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出

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