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空间向量与立体几何题型设计


空间向量与立体几何题型设计 题型 1:空间向量的概念及性质 1.有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关 系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点

O, A, B, C 一定共面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ?

b, a ? b, c ,也是空
间的一个基底。其中正确的命题是( )

( A) ①②

( B ) ①③

(C ) ②③

( D) ①②③

解析:对于①“如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关 系一定共线” ;所以①错误。②③正确。 点评: 该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件, 为此我们要掌握 好空间不共面与不共线的区别与联系。 2.下列命题正确的是( )

( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; ( B ) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面; (C ) 零向量没有确定的方向; ( D) 若 a // b ,则存在唯一的实数 ? 使得 a ? ? b ;
解析:A 中向量 b 为零向量时要注意,B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一 样,D 中需保证 b 不为零向量。 答案 C。 点评: 零向量是一个特殊的向量, 时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。 像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾。 3.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若

A1 B = a ,A1 D1 = b ,A1 A = c .则下列向量中与 B1 M
量是( )

相等的向

1 1 A. ? a ? b ? c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. OM ? 2OA ? OB ? OC C. MA ? MB ? MC ? 0

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B. B. OM ?

图 ( )

4.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是

1 1 1 OA ? OB ? OC 5 3 2

D. OM ? OA ? OB ? OC ? 0

题型 2:空间向量的基本运算(主要有加、减法及数乘、数量积运算) 1.如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为

A1C1 与 B1 D1 的 交 点 。 若 AB ? a , AD ? b ,

D1 A1

M B1

C1

AA1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是( 1 1 1 1 ( A) ? a ? b ? c ( B ) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C ) ? a ? b ? c ( D ) a ? b ? c 2 2 2 2
解析:显然 BM ? BB1 ? B1 M ?


D A B C

1 1 1 ( AD ? AB ) ? AA1 ? ? a ? b ? c ; 2 2 2

答案为 A。 点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处 理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的 加法.考查学生的空间想象能力。 2.已知空间四边形 ABCD 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, N 为 BC 中点,则 MN = ( )

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 D. a ? b ? c 3 3 2
B. ?

3.已知: a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n , p 不共面.若 a ∥ b ,求

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

x , y 的值.
解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. 又? m, n , p 不共面,?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

x ?1 8 2y ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 题型 3:空间向量的坐标 1. (1) 已知两个非零向量 a = (a1, a2, a3) ,b = (b1, b2, b3) , 它们平行的充要条件是 ( A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b ) )

(2)已知向量 a =(2,4,x) ,b =(2,y,2) ,若| a |=6,a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 ) C. -3 D.1

(3)下列各组向量共面的是(

A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知;
? ?4 ? 16 ? x 2 ? 36 ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? 点拨:由题知 ?
? x ? 4, ? x ? ? 4, ? ? ? y ? ?3 或 ? y ? 1 . ;

(2)A

(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。 2.已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要 求的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =

a ?b | a ||b |

?1 ? 0 ? 0

=

10 2 ? 5 ? - 10 ,

10 ∴ a 和 b 的夹角为- 10 。

(2)∵ k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥ (k a -2 b ) , ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
5 则 k=- 2 或 k=2。

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 ( a + b )(k a -2 b )=k2 a 2-k a · b - 2b
2

5 =2k +k-10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。
2

3.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是





1 ,1,1) 3 1 3 C. (- , ,-1) 2 2
A. (

B. (-1,-3,2) D. ( 2 ,-3,-2 2 ) )

4. 已知 A (-1, -2, 6) , B (1, 2, -6) O 为坐标原点, 则向量 OA, 与OB 的夹角是 (

A.0

B.

? 2

C. ?

D.

3? 2
( )

5.已知 A(1,1,1) 、B(2,2,2) 、C(3,2,4) ,则 ? ABC 的面积为 A. 3 B. 2 3 C. 6 D.

6 2
( )

6. 已知 a ? (1 ? t,1 ? t, t ),b ? (2, t, t ) ,则 | a ? b | 的最小值为

A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5

D.

11 5

题型之四:空间向量的应用 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 (1)异面直线所成的角的范围是 (0,

?
2

] 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是

通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶 点选择在特殊的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用三角形来求角。 (2)直线与平面所成的角的范围是 [0,

?
2

] 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下: ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; D ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出 所求的角; ③把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角,即若 θ 为线面角,α 为斜线 A C 与平面内任何一条直线所成的角,则有 ? ? ? ; ? B (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等, 那么这一点在平面上的射影在 这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等, 那么这一条直线在平面上 的射影在这个角的平分线上; ③两个平面相互垂直, 一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的 交线上; ④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的 射影是底面三角形的内心(或旁心);

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三 角形的垂心; (4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 (0, ? ] ,解题时要注意图形的位置和 题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条 射线所成的角,就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法: 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线, 再由垂足向棱作垂线 得到棱上的点(即垂足) ,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的 平面角; ③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线 所成的角就是二面角的平面角。 斜面面积和射影面积的关系公式: S ? ? S ? cos ? ( S 为原斜面面积, S ? 为射影面积, ? 为 斜面与射影所成二面角的平面角 )这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面 角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公 式,求出二面角的大小。 2.空间的距离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,常先找或 作直线 a 所在平面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定 理可得线段PB即为点P到直线 a 的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。 点到平面的距离:点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求法①作 出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面 ? 的斜线上两点A,B到斜足 C的距离AB,AC的比为 m : n ,则点A,B到平面 ? 的距离之比也为 m : n .特别地,A B=AC时,点A,B到平面 ? 的距离相等;③体积法 (2)异面直线间的距离:异面直线 a , b 间的距离为 a , b 间的公垂线段的长.常有 求法①先证线段AB为异面直线 a , b 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出 过 b 且与 a 平行的平面,则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a , b 间的距离.③找或作 出分别过 a , b 且与 b , a 分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线 a , b 间的 距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间 的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另 一个平面的距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点 间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。

(1)用法向量求异面直线间的距离 a 如右图所示,a、b 是两异面直线,n 是 a 和 b 的法向 量,点 E∈a,F∈b,则异面直线 a 与 b 之间的距离是

E

d?

EF ? n n

b F

(2)用法向量求点到平面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线, n 为平

A

n
C B α

面α 的法向量,则 A 到平面α 的距离为 d ?

AB ? n


n

(3)用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行, 然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面 的距离问题。 (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行, 这时可以在一个平面上任取一点, 将两平面间的距离 问题转化成点到平面的距离问题。 (5)用法向量求二面角 如图,有两个平面 α 与 β,分别作这两个平面的法向量 α

n1 与 n2 ,则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n1 与 n2 所成的
角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 (6)法向量求直线与平面所成的角

n1
n2

β

要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ,先求这个平面 α 的法向量 n 与直线 a 的夹角的余弦

cos n, a ,易知 θ= n, a 或者
(1) :异面直线所成的角

?
2

? n, a 。

1. (1)直三棱住 A1B1C1—ABC,∠BCA= 90 ,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点, BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) (A )

0

30 10

(B)

1 2

(C)

30 15 (D) 15 10

解析: (1)连结 D1F1,则 D1F1 // ∵BC // B1C1 ∴D1F1 //

1 B1C1 , 2

1 BC 2

设点 E 为 BC 中点,∴D1F1 // BE,∴BD1∥EF1,∴∠EF1A 或其补角即为 BD1 与 AF1 所成的角。由余弦定理可求得 cos?EF1 A ? (2) :直线与平面所成的角 2.PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60 ,那么直线 PC 与 平面 PAB 所成角的余弦值是( ) A.
0

30 。故选 A。 10

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

6 3
垂 面 D

解: 构造正方体如图所示, 过点 C 作 CO⊥平面 PAB, 足为 O, 则 O 为正 ΔABP 的中心, 于是∠CPO 为 PC 与平 PAB 所成的角。设 PC=a ,则 PO=

2 3 PD ? a ,故 3 3

co s?CPO ?

PO 3 ,即选 C。 ? PC 3

思维点拨:第(2)题也可利用公式 cos? ? cos ? ? cos? 直接求得。 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦 z 值表示) D1 解析:建立坐标系如图, 则 A ? 2,0,0 ? 、 B ? 2,2,0 ? , C ? 0,2,0 ? , A1

C1

A1 ? 2,0,2? ,B1 ? 2,2,2? ,D1 ? 0,0,2? ,E ? 2,1,0? ,

B1

AC ? ? ?2,2, ?2? , 1 D1E ? ? 2,1, ?2? ,AB ? ? 0,2,0? ,BB1 ? ? 0,0,2? 。
不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量, ∵ cos A1C , D1 E ? A x

D

y C E B

? 3。 9 A1C D1 E

A1C D1 E

∴ D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

3 。 9

点评:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 (3) :二面角 4.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平 面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点。 (1)求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小 (用正切值表示); E (2) 求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 F

O

解析:(1)延长 AB、DE 交于点 F,则 PF 为平 面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱,∵PA⊥平面 ABCD,∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面 BPA 于 A, 过 A 作 AO⊥PF 于 O,连结 OD,则∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的 平面角。易得 tan?AOD ?

5 5 ,故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 ; 2 2

(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A, ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时,BC⊥平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 θ, cosθ=S△PAB/S△PCD= /2 θ=450。 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45° 。 解法 2(补形化为定义法) 如图:将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN,



PQ⊥PA、PD,于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。
在 Rt△PAD 中,PA=AD,则∠APD=45° 。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小 为 45° 。 5..(本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°, E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小.

解: 解法一(Ⅰ)如图所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知, △BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD,又 AB∥CD, 所以 BE⊥AB.又因为 PA⊥平面 ABCD, BE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥BE.而 PA ? AB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(锐角). 在等腰 Rt△PAF 中, AG ?

2 PA ? 2. 2

在 Rt△PAB 中, AH ?

AP AB ? PB

AP AB AP ? AB
2 2

?

2 2 5 ? . 5 5

2 5 AH 10 ? 5 ? . 所以,在 Rt△AHG 中, sin ?AGH ? AG 5 2
故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 arcsin

10 . 5

解法二: 如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关 各点的坐标分别是 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,

3 3 1 3 3 C( , , 0), D( , , 0), P(0,0,2), E (1, , 0). 2 2 2 2 2

(Ⅰ)因为 BE ? (0,

3 , 0) , 2

平面 PAB 的一个法向量是 n0 ? (0,1,0) , 所以 BE和n0 共线.从而 BE⊥平面 PAB. 又因为 BE ? 平面 PBE, 故平面 PBE⊥平面 PAB.

(Ⅱ)易知 PB ? (1,0, ?2), BE ? (0,

3 1 3 , 0), PA ? (0, 0, ?2), AD ? ( , , 0) 2 2 2
? ?n1 PB ? 0, ? ?n1 BE ? 0


设 n1 ? ( x1, y1, z1 ) 是平面 PBE 的一个法向量,则由 ?

? x1 ? 0 ? y1 ? 2 z1 ? 0, ? 所以 y1 ? 0, x1 ? 2z1.故可取n1 ? (2,0,1). ? 3 0 ? x ? y ? 0 ? z ? 0. ? 1 2 2 ? 2
设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PAD 的一个法向量,则由 ?

? ?n2 PA ? 0, ? ?n2 AD ? 0



?0 ? x2 ? 0 ? y2 ? 2 z2 ? 0, ? 所以 z2 ? 0, x2 ? ? 3 y2 . 故可取 n2 ? ( 3, ?1,0). ?1 3 y2 ? 0 ? z2 ? 0. ? x2 ? ?2 2
于是, cos ? n1 , n2 ??

n1 n2 n1 n2

?

2 3 15 ? . 5 5?2

故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 arccos

15 . 5

(4) :点面距离 6.如图,已知ABCD为边长是4的正方形, E, F分别是AB,AD的中点,GC垂直于ABC D所在的平面,且GC=2,求点B到平面EF G的距离。 解 法 一 : 连 结 B F , B G ,



D F E A

O?
H E O E E B

S ?BEF

1 1 ? BE ? FA ? ? 2 ? 2 ? 2 , 2 2



又E,F分别是AB,AD的中点,

? EF ?

1 3 BD ? 2 2 , CH ? AC , 2 4
2 2

? GH ? GC ? CH
S ?GEF ?
VG ? BEF

?3 ? ? 2 ? ? 4 2 ? ? 22 。 ?4 ?
2

2

1 1 2 ? 2 2 ? 22 ? 2 11 , VB ? EFG ? ? 2 11 ? h ? 11h , 2 3 3 1 ? ?2?2 , 3

?h ?

2 11 . 11

解法二.? E,F分别是AB,AD的中点,? EF//BD,? B到平面GEF的 距离为BD上任一点到平面GEF的距离,BD ? AC于O,EF//BD,

? EF ? AC, 又GC ? 平面ABCD,EF ? 平面ABCD,? EF ? GC,EF ?
平面GEF,? 平面GEF ? 平面GCH,过O点作 OO ? ? HG,则 OO ? ? 平面GEF, OO ? 为O到平面GCH的距离,即B到平面GEF的距离。

OH ?

1 AC ? 2 由 解 法 一 知 : GH ? 22 , 由 ?HO O ? ∽ ?HCG 得 4

OH OO? 2 11 。 ? , OO? ? GH GC 11
思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也是一种常用 的方法。 (5)线面距离 7.已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8,对角 线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。 (1)求点 B1 到直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离。 解析: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线定理可得: A D B C

A1

B1

C1

B1 D ? AC ,所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距
离。 在 Rt?B1 BD 中 BB1 ?

B1C 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6, BD ? 4 3 .

? B1 D ?

BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21 。

(2)因为 AC 与平面 BD C1 交于AC的中点D,设 B1C ? BC1 ? E ,则 AB1 //DE,所 以 AB1 //平面 C1 BD , 所以 AB1 到平面 BD C1 的距离等于A点到平面 BD C1 的距离, 等于C

点到平面 BD C1 的距离,也就等于三棱锥 C ? BDC1 的高。

1 1 12 13 所以, 直线 AB1 到 ?VC?BDC1 ? VC1 ?BDC ,? hS ?BDC1 ? S ?BDC CC1 ,? h ? 3 3 13
平面 BD C1 的距离是

12 13 。 13

思维点拔:求空间距离多用转化的思想。 8.如图 7,已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中, E 、 F 分别为 BC 和 AC 的中点, PA ? 面 ABC ,且 PA ? 2 ,设 平面 ? 过 PF 且与 AE 平行。 求 AE 与平面 ? 间的距离? 分析:设 AP 、 AE 、 EC 的单位向量分别为 e1 、 e2 、
e3 ,选取{ e1 , e2 , e3 }作为空间向量的一组基底。

P F E 图7 B

A

C

易知 e1 ? e2 ? e1 ? e3 ? e2 ? e3 ? 0 ,
AP ? 2e1 , AE ? 2 6 e2 , EC ? 2 2 e3 ,
PF ? PA ? AF = PA ?

1 1 AC = PA ? ( AE ? EC ) = ?2e1 ? 6 e2 ? 2 e3 , 2 2

设 n ? xe1 ? ye2 ? e3 是平面 ? 的一个法向量,则
n ? AE, n ? PF ,

? y?0 ?n ? AE ? 0 2 ? ? ? 2 6 y e2 ? 0 ,即 ? ?? ?? 2, ? ?x ? ? ?n ? PF ? 0 2 2 2 ? 2 ? ?2 x e1 ? 6 y e2 ? 2 e3 ? 0 ?
Ap ? n n

?n ?

2 e1 ? e3 . ? 直线 AE 与平面 ? 间的距离 d ? 2

2e1 ? (

=

2 e1 ? e3 ) 2
2 2

?

2 e1 ? e3 2

2 3 . 3

(6) :异面直线间的距离 9.如图,已知正方体ABCD- A1 B1 C1 D1 棱长为 a , 求异面直线BD与 B1 C的距离. 解法一:连结AC交BD的中点O,取 CC1 的中点M, 连结BM交 B1C 于E,连 AC1 ,则 OM // AC1 ,过E作EF
D1

C1

A1

B1


M E C









//OM交OB于F,则 EF // AC1 。 又斜线 AC1 的射影为AC,BD ? AC,? BD ? AC1, ? FE ? BD 。 同理 AC1 ? B1C, EF ? B1C ,? EF 为BD与 B1C 的公垂线,由于M为 CC1 的中点,

MC ME 1 ?MEC ∽ ?BEB ? ? 。 1 ,? BB1 BE 2
2 BF BE 2 5 2 5 ? ? ,故 BF ? OB , BE ? MB ? a ,EF//OM, BO BM 3 2 3 3 3

BM ?



2 3 a ,? EF ? BE 2 ? BF 2 ? a. 3 3
解法二. (转化为线面距) 因为BD//平面 B1 D1C , B1C ? 平面 B1 D1C ,故BD与 B1C 的距离就是BD到平

面 B1 D1C 的距离。 由 VB?B1D1C ? VD1 ?B1BC ,即

1 3 ? ? 3 4

1 ? 2a ?2 h ? 1 ? a 2 ? a ,得 h ? 3 2

3 a. 3

解法三. (转化为面面距)易证平面 B1 D1C //平面 A1 BD ,用等体积法易得A到平面

A1 BD 的距离为

3 a。 3 3 3 a, a. 而 A1C ? 3a , 故两平面间距离为 3 3
D1

同理可知: C1 到平面 B1 D1C 的距离为

解法四. (垂面法)如图,BD//平面 B1 D1C ,

O1
B1

C1

B1 D1 ? A1C1 , B1 D1 ? OO1 ,B1 D1 ? 平面 OO1C1C ,平
面 OO1C1C ? 平面 B1 D1C = O1C , O1 ? B1 D1 ,故 O 到 平 面 B1 D1C 的 距 离 为

A1
D A O

C B

Rt?O1OC 斜 边 上 的 高

OC ? OO1 h? ? O1C

a?

2 a 2 ? 3 a。 3 3 a 2

D1

C1

A1
D A N

B1

M C E



解法五。 (函数最小值法)如图,在上取一点 M,作 ME ? BC 于 E,过 E 作 EN ? BD 交 BD 于 N,易知 MN 为 BD 与 B1C 的公垂线时,MN 最小。 设 BE= x ,CE=ME= a ? x ,EN=

2 x, 2
2

MN==

3? 3 ? a2 1 2 3 2 2 x ? ?a ? x ? = x ? 2ax ? a 2 = 。 ? x ? a? ? 2 2 2? 2 ? 3

?当时 x ?

3 2 a。 a ,时, ?MN ?min ? 3 3
z

10.如图 2,正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 ,底 边长 AB ? 2 。求异面直线 BD 和 SC 之间的距 离? 分析:建立如图所示的直角坐标系,则
A ( 2 2 2 2 ,? ,0) , B ( , ,0) , 2 2 2 2

S

2 2 2 2 C (? , ,0) , D (? ,? ,0) , 2 2 2 2 S (0, 0, 2) 。
? DB ? ( 2, 2,0) , CS ? (

D A
x

O 图2 B

C
y

2 2 ,? , 2) 。 2 2

令向量 n ? ( x, y,1) ,且 n ? DB, n ? CS ,
? ( x, y,1) ? ( 2, 2, 0) ? 0 ?n ? DB ? 0 ? ? ? x? y ?0 ? 则? ,? ? ,? , 2 2 ,? , 2) ? 0 ? ? ?( x, y,1) ? ( ?x ? y ? 2 2 ? 0 ? n ? CS ? 0 ? 2 2

? ?x ? ? 2 ,? n ? (? 2, 2,1) 。 ?? ? ? y? 2

? 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为:
OC ? n n

(? ?

d?

2 2 , , 0) ? (? 2, 2,1) 2 2 (? 2, 2,1)

?

1?1? 0 (? 2) ? ( 2) ? 1
2 2 2

?

2 5 。 5


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