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2008届高三数学随堂测试(3)数列


本文档是本人花费多年,收集整理的,精心挑选!
2008届高三数学随堂测试(3)数列
(时量:120分钟 150分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,
  只有一项是符合题目要求的.
1.数列-1,,-,,...... 的一个通项公式是
  A.an=(

-1)n B.an=(-1)n
  C.an=(-1)n D.an=(-1)n
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则n=
  A.15  B.16 C.17 D.18
3.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是
  A.14 B.16 C.18 D.20
4.已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则b2(a2-a1)=
  A.8  B.-8 C.±8 D.
5.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,n的值为
  A.5 B.6 C.7 D.8
6.已知数列{an}的通项公式an=log2,设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的正整数n
 A.有最小值63 B.有最大值63
  C.有最小值31 D.有最大值31
7.设数列{an}是公比为a(a≠1),首项为b的等比数列,Sn是前n项和,对任意的n∈N+ ,点(Sn ,Sn+1)在
  A.直线y=ax-b上 B.直线y=bx+a上
  C.直线y=bx-a上 D.直线y=ax+b上
8.数列{an}中,a1=1,Sn是前n项和,当n≥2 时,an=3Sn,则的值是
  A.-2 B.- C.- D.1
9.北京市为成功举办2008年奥运会,决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车,若每年更新的车辆数比前一年递增10%,则2003年底更新现有总车辆数(参考数据1.14=1.46,1.15=1.61)
  A.10% B.16.5% C.16.8% D.20%
10.已知a1,a2,a3,...,a8为各项都大于零的数列,则"a1+a8<a4+a5"是"a1,a2,a3,...,a8不是等比数列"的
A.充分且必要条件 B.充分但非必要条件
C.必要但非充分条件 D.既不充分也不必要条件
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在横线上.
11.已知 .我们把使乘积a1·a2·a3*...·an为整数的数n叫做"劣数",则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为 .
12.已知集合,则A6中各元素的和为 .
13.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是第 项.
14.若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c依次成等比数列,公比为q,则q3+q2+q= .
15.若数列为等差数列,则数列 也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}是等比数列且,则有数列dn= (n∈N+)也是等比数列.



三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.
  ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式.
⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有,求c1+c2+c3+...+c2004的值.





17.(本小题满分12分)
  已知f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=- ,a3=f(x).求:
  ⑴x的值;
  ⑵数列{an}的通项公式an;
  ⑶a2+a5+a8+...+a26.





18.(本小题满分14分)
正数数列{an}的前n项和为Sn,且2.
(1) 试求数列{an}的通项公式;
  (2)设bn=,{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.






19.(本小题满分14分)
  已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,f()=-1,且当x,y∈(-1,1)时,恒有
  f(x)-f(y)=f(),又数列{an}满足a1=,an+1=,设bn=.
⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;
⑵求f(an)的表达式;
⑶是否存在正整数m,使得对任意n∈N,都有bn<成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.






20.(2005年湖南理科高考题14分)
自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.
⑴求xn+1与xn的关系式;
⑵猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
⑶设a=2,c=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.






21.(本小题满分14分)
  已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)= -2.
⑴求f(1)的值;
⑵证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;
⑶试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.


数列参考答案

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一、选择题(每小题5分,共50分)
题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B A D C B B 提示:
2.∵Sn=324 Sn-6=144,∴Sn-Sn-6=an+5+an-4+...+an=180 又∵S6=a1+a2+...+a6=36 a1+an=a2+an-1=...=a6+an-5,∴6(a1+an)=36+180=216a1+an=36,由,有:n=18 ∴选D
3.∵S4=1 S8=3 ∴S8-S4=2,而等比数列依次K项和为等比数列,a17+a18+a19+a10=(a1+a2+a3+a4)·25-1=16,故选B.
4.∵

7.∵ ∴
故点在直线y=ax+b上,选D.
9.设现在总台数为b,2003年更新a台,则:b=a+a(1+10%)+......+a(1+10%)4.


二、填空题(每小题4分,共20分)
11.∵n+2=2k,由n=2k-2∈(1,2004)有2≤k≤10(k∈Z).故所有劣数的和为(22+23+......+210)-2×9=-18=2026.
12.令n=6得
故各元素之和为
13.设抽取的是第n项.∵S11=55,S11-an=40,∴an=15,又∵S11=11a6 a6=5.由a1=-5,得d=,令15=-5+(n-1)×2,∴n=11
14.设x=a+b+c,则b+c-a=xq,c+a-b=xq2,a+b-c=xq3,∴xq+xq2+xq3=x(x≠0) ∴q3+q2+q=1.
15.

三、解答题(共80分)
16.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.
⑵当n=1时,c1=3 当n≥2时,∵∴ 故


17.⑴∵f(x+1)=(x+1-1)2-4,∴f(x)=(x-1)2-4
∴a1=f(x-1)=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4.
  又a1+a3=2a2,∴x=0,或x=3.
(2)由(1)知a1,a2,a3分别是0,- ,-3或-3,- ,0.

(3)当时,

当时,


18.(1)∵an>0,,∴,则当n≥2时,
  即,而an>0,∴

(2)
19.(1)令x=y=0,则f(0)=0,再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),
∴f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),∴f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)
,即
∴{f(an)}是以-1为首项,2为公比的等比数列,∴f(an)=-2n-1.

(3).
若恒成立(n∈N+),则
∵n∈N+,∴当n=1时,有最大值4,故m>4.又∵m∈N,∴存在m=5,使得对任意n∈N+,有.

20. (2005年湖南高考题20题)
解:(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得

因为x1>0,所以a>b.
猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*
由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知
0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1.
而x1∈(0, 2),所以 由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时,结论显然成立.
    ②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),
    则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)>0.
    又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,
    所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.
    由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.

21.(1)x=y=0得f(0)= -1,x=y=-1得f(-2)=2f(-1)+2,而f(-2)= -2,∴f(-1)=-2,x=1,y= -1得f(0)=f(1)+f(-1),∴f(1)=1
(2)x=n,y=1得f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2,∴f(n+1)-f(n)=n+2,
∴当n∈N+时,f(n)=f(1)+[3+4+...+(n+1)]=
,而当n∈N+,且n>1时,n2+n-2>0,
∴f(n)>n,则对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t.
(3)∵y= -x时f(x-x)=f(x)+f(-x)+1-x2,∴f(x)=x2-2-f(-x),∵当x∈N+时由(2)知,当x=0时,f(0)= -1=.适合 当x为负整数时,-x∈N+,则
故对一切x∈Z时,有, ∴当t∈Z时,由f(t)=t得t2+t-2=0,即t=1或t=2.满足f(t)=t的整数t有两个.

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