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四川省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列

时间:2013-02-20


四川省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列 一、选择题: 3.(四川省成都市外国语学校 2011 年 3 月高三考试文科)设 {an } , {bn } 均为正项等比数列,
2 An ? 2n ? n Bn

将它们的前 n 项之积分别记为 An , Bn ,若 A.32 B.64

,则

a5 b5

的值为( C )

D.512 1 ?an ? 中,a2 ? 2 , 4. (四川省资阳市资阳中学 2011 年高三第一次高考模拟文科)已知等比数列 1 a3 ? 4 ,则 a7 的值是 ( C )

C.256

1 (A) 8

1 (B) 16

1 (C) 64

1 (D) 128

a ? bi
3. (四川省成都市外国语学校 2011 年 3 月高三考试理科)已知实数 a , b 满足: 1 ? i (其中 i 是虚数单位) ,若用 Sn 表示数列 ?

7 11 ? ? i 2 2

a ? bn?

的前 n 项的和,则 Sn 的最大值是( A )

A.16 B.15 C.14 D.12 9.(四川省资阳市资阳中学 2011 年高三第一次高考模拟文科)数列{an}的通项公式为 an=2n -49,当该数列的前 n 项和 Sn 达到最小时,n 等于( A ) (A)24 (B)25 (C)26 ( D)27 8. (四川省泸州高中 2011 届高三一模适应性考试文科)已知等差数列 n 项和,若 N

{an } 中, S n 是 它的前

S5 ? 25, a2 ? a6 ? 14, M (n, an ) ,
( B ) D.(1,-2) 中,

(n ? 1, an?1 ) ,则直线 MN 的一个方向向量是
B.(1,2) C.(1,-1)

A.(1,1)

6. ( 四 川 省 南 充 市 2011 届 高 三 第 一 次 高 考 适 应 性 考 试 理 科 ) 在 数 列 ,则 an= ( A ) A. 2 + lnn B. 2 + ( n - 1 ) lnn C. 2 + nlnn D. 1 + n + lnn

5.(四川省攀枝花市七中 2011 届高三下学期开学考试文科)已知数列

{an } 为等差数列,且

a2 ? a7 ? a12 ? ? , 则 tan S13 的值为
A. 3 B. ? 3 C. ? 3 D.

( A



?

3 3

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7. (四川省 2011 届普通高考考生知识能力水平摸底测试一理科)已知等比数列 和为

{an } 的前 6 项

S6 ? 21 ,且 4a1 , 2a2 , a2 成等差数列,则 an = ( B )
2n?1 n 1? n B. 3 C. 3 ? 2 D. 3 ? 2

A. 3 ? 2

n?1

6.(四川省 2011 届普通高考考生知识能力水平摸底测试一文科)已知数列

{an } 的前 n 项和

{a } Sn ? an ?1(a 是不为 0 的实数) ,那么 n ( C )
A 一定是等差数列 B.一定是等比数列 C. 或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 二、填空题: 14.(四川省资阳市资阳中学 2011 年高三第一次高考模拟文科)已知 1, a1 , a 2 ,4 成等差数
a1 ? a2 ? 列,1,b,4 成等比数列,则 b 5 .± 2 (答对一个 得 2 分)

16.(四川省成都市外国语学校 2011 年 3 月高三考试理科)下面给出的四个命题中: ① 对任意的 n ? N * ,点 Pn (n, an ) 都在直线 y ? 2 x ? 1 上是数列 {an } 为等差数列的充分不 必要条件; ② m ? ?2 ”是直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与“直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0相互垂直”的 “ 必要不充分条件;
2 2 2 2 ③ 设圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D ? E ? 4F ? 0) 与坐标轴有 4 个交点 A( x1 ,0) , B ( x2 ,0) ,

C (0, y1 ) , D(0, y2 ) ,则有 x1 x 2 ? y1 y2 ? 0 ;

④ 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 3 个单位,得到函数 其中是真命题的有

?

y ? sin(2 x ? ) 6 的图象。

?

(将你认为正确的序号都填上) ③ 。①④

13 . ( 四 川 省 泸 州 高 中 2011 届 高 三 一 模 适 应 性 考 试 文 科 ) 在 数 列

?an ?

中,

3 2 5 a1 ? ?1, an?1 ? an ? 3n ? 1,则 an ? __________. 2 n ? 2 n 三、解答题: 20.(四川省成都市外国语学校 2011 年 3 月高三考试理科)(本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列, Sn 为其前 n 项和。

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(1)若 a2 , a 3 , a6 依次成等比数列,求其公比 q ;

???? ? S ????? ? OPn ? (n, n )(n ? N*) n (2) 若 , 求证: 对任意的 m, n ? N * , 向量 Pm Pn 与向量 b ? (2, d ) 共线;
d? 1 ????? an Sn OQn ? ( , 2 )(n ? N*) 2, n n ,问是否存在一个半径最小的圆,使得对 任

(3)若 a1 ? 1 ,

意的 n ? N * ,点 Qn 都在这个圆内或圆周上。

所以

OQn ? 2

2

,即

OQn ? 2

所以存在半径最小的圆,最小半径为 2 ,使得对任意的

n ? N ? ,点 Qn 都在这个圆内或圆周上。
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20.(四川省成都市外国语学校 2011 年 3 月高三考试文科)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列, Sn 为其前 n 项和。 (1)若 a2 , a 3 , a6 依次成等比数列,求其公比 q ;

???? ? S ????? ? OPn ? (n, n )(n ? N*) Pm Pn 与向量 b ? (2, d ) 共线; m, n ? N * , n (2) 若 , 求证: 对任意的 向量
d? 1 ????? an Sn OQn ? ( , 2 )(n ? N*) 2, n n ,问是否存在一个半径最小的圆,使得对

(3)若 a1 ? 1 ,

任意的 n ? N * ,点 Qn 都在这个圆内或圆周上。 20. (1) 解: 因为 a2 , 3 , 6 成等比数列, 所以

a

a

2 a3 ? a2 ? a6 , a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d )(a1 ? 5d ) 。 (

d ? ?2a1 ,

q?

a3 ?3 a2 。
Sn S S S ) ? (m, m ) ? (n ? m, n ? m ) n m n m ,而

(2)因为

Pm Pn ? OP n ? OP m ? (n,

Sn Sm (n ? 1)d (m ? 1)d n?m ? ? [a1 ? ] ? [a1 ? ]? d n m 2 2 2 ,
Pm Pn ? (n ? m, n?m n?m n?m d) ? ? ?2, d ? ? ?b P P 2 2 2 ,所以向量 m n 与向量

所以

b ? ?2, d ? 共线。
a1 ? 1, d ? 1 1 1 1 n2 3 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? n ? Sn ? ? n 2 ,所以 2 2 2, 4 4 。
1 2 1 (n ? 3n) 2 [ (n ? 1)]2 ? 2 2 ? 16 n n4

(3)因为
2

OQn
?

2 2 an S n ? 2 ? 4 n n

5n 4 ? 14n 3 ? 13n 2 1 13 14 ? ( 2 ? ? 5) 4 16 n n 16n
2

13 ? 1 7 ? 1 ? ? ? ? 13 。 = 16 ? n 13 ? 13 ? 1 7 ? 1 1 0 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2 13 n 因为 n ? 1 ,所以 。 16 ? n 13 ? ,当 n ? 1 时取等号。
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2

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所以

OQn ? 2

2

,即

OQn ? 2

所以存在半径最小的圆,最小半径为 2 ,使得对任意的

n ? N ? ,点 Qn 都在这个圆内或圆周上。
21.(四川省资阳市资阳中学 2011 年高三第一次高考模拟文科)(本小题满分 12 分)
* 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n(n ? 1) ( n ? N ) .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: (Ⅲ)令

an ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ??? n n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式;

cn ?

an bn * 4 ( n?N ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

21.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n(n ? 1) ? (n ? 1)n ? 2n ,知 a1 ? 2 满足该式, ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n . 2 分

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ??? n n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ( n ? 1 ) (Ⅱ)? b b b b b an?1 ? 1 ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ? n?n?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1 ∴ bn?1 ? an?1 ? an ? 2 n ?1 n ?1 ②-①得: 3 ? 1 , bn ?1 ? 2(3 ? 1) , an ?
n * 故 bn ? 2(3 ? 1) ( n ? N ) 6 分 .

① ② 4分

(Ⅲ)

cn ?

an bn n n 4 ? n(3 ? 1) ? n ? 3 ? n ,
8分

2 3 n ∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? (1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) 2 3 n 令 H n ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3 , 2 3 4 n ?1 则 3Hn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3

① ②

①-②得: ?2Hn ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 3 n

n ?1

?

3(1 ? 3n ) ? n ? 3n?1 1? 3



Hn ?

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 4 , 10 分 Tn ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 n( n ?1) ? 4 2

∴数列 {cn } 的前 n 项和
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12 分

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22. (四川省泸州高中 2011 届高三一模适应性考试理科) (本小题满分 14 分) 设数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n ,都有点 (S n , an ) 在直线

y=5x+1 上,记

an ?

bn ? 4 bn ? 1 (n∈N*)(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; 。
Tn ? ? ci
i ?1 n

c ? b2n ? b2n?1 (n ? N * ) ,设 (II)记 n
Rn ? ? bi
i ?1 n

,求证:对任意正整数 n 都有

Tn ?

3 2;

(III) 设

。已知正实数 ? 满足:对任意正整数

n, Rn ? ? n 恒成立,求 ? 的最小值。

解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 又

a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ?

1 4

Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4

? 数列

?an ?

成等比数列,其首项

a1 ? ?

1 1 q?? 4 ,公比是 4

1 ? an ? (? ) n 4

1 4 ? (? ) n 4 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4 ……………………………………..3 分
bn ? 4 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

5 (?4) n ? 1

? cn ? b2 n ? b2 n?1 ?

5 5 25 ?16n ? 2 n?1 ? 42 n ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n =
b1 ? 3, b2 ? 13 4 ,? c1 ? 3 3 3 2
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n ? 1时,T1 ?

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n ? 2时,Tn ?

4 1 1 1 ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
bn ? 4 ?
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 一方面,已知 则

5 (?4) n ? 1

Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N * )

Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1
1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? ( ?1 ?2 ?3 K? K ?2 1 ) k? 4 ? 1 4 ? 1 4? 1 4 ? 1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5? ? 1 [ ? ( 2 ? 3 ?)K K ? ( 2 ? k ?2 1 k 4 ?1 4? 1 4 1 ? ? 4 1 4 ?
> 4n ? 1

)] 1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足
n? 1 4 ? ? 的正奇数 n 成立,矛盾。

R ? 4n 另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 n
事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16)k ? 4

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

* ? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N )

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Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m )
< 8m ? 4 n

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N )
*



Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1

< 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分 20.(四川省泸州高中 2011 届高三一模适应性考试文科)(本小题满分 12 分)已知数列

?an ?

2a n 1 ? an?1 (n ? N ?),且a1 ? a ?2 1006。 满足 n
?1? ? ? a a (Ⅰ)求证:数列 ? n ? 是等差数列,并求通项 n ;

bn ?
(Ⅱ)若

2 ? 2010 n a 1 c n ? bn ? ( ) n (n ? N ?) T ? c1 ? c2 ? ? ? cn ; an 2 ,且 ,求和 n
2an 1 1 1 ? an?1 , an ? 0 ? ? ? an ? 2 an?1 an 2

?
20.解: (Ⅰ)

1 1 1 } an 是首项为 a1 ,公差为 2 的等差数列, 数列 { 1 1 1 2 ? (n ? 1)a1 ? ? (n ? 1) ? ? a a1 2 2a1 故 n
a1 ? 1 1006

因为

所以数列

{xn } 的通项公式为

an ?

2a1 2 ? (n ? 1)a1 ? 2 n ? 2011

????5 分

(Ⅱ)将

an 代入 bn 可求得

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bn ?

2 ? 2010 ?

2 n ? 2011

2 n ? 2011 ? n ? 1
????7 分

?1? ?1? cn ? bn ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ?2? ? 2 ? ????5 分 所以 1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ① 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2?
2 3 n 2 3 4 n ?1 2 3 n

n

n

②????9 分
n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? 由①-②得 2
1 ?1? [1 ? ? ? 4 ?2? ? 1? 1 1? 2
? Tn ? 3 ?
n ?1

]

?1? ? (n ? 1) ? ? ?2?

n ?1

?

3 n?3 ? 2 2n ?1

n?3 2n

????12 分

22、(四川省攀枝花市七中 201 1 届高三下学期开学考试文科)(14 分)已知函数 f ( x ) 定义

1 f ( ) ? ?1 1) , 在区间 (?1, 上, 2 ,对任意 x、y ? (?1 1) ,

2an 1 x? y a1 ? ,an ?1 ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 2 2 1 ? an , 1 ? xy 成立,又数列 {an} 满足 恒有 bn ?


1 1 1 1 ? ? ??? f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) f (an ) .

1 f (t ) ? 2 f ( ) , 2 ; (1)在 (?1 1) 内求一个实数 t ,使得
(2)证明数列

{ f (an )} 是等比数列,并求 f (an ) 的表达式;

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(3) 设

cn ?

n 6 18 bn ? 2 cn ? log 2 m ? log 2 m 2 * * 2 7 7 , 是否存在 m ? N , 使得对任意 n ? N , 恒

成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由.

1 1 ? 1 1 1 4 f (t ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( 2 2 ) ? f ( ) 4 1 1 2 2 2 5 t? 1? ? 5 2 2 22 解: (1) ,∴
x? y 1 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ? f (a1 ) ? f ( ) ? ?1 1 ? xy 2 (2) ,且
2an a ? an f (an ?1 ) ? f (an?1 ) ? f ( )? f( n ) ? f (an ) ? f (an ) ? 2 f (an ) ?2 2 1 ? an 1 ? an ? an f ( an ) ,即


{ f (an )} 是以 ?1 为首项, 2 为公比的等比数列,



f (an ) ? ?2n?1 .
对任

20. (四川省成都石室中学 2011 届髙三二诊模拟考试理科) (本题满分 12 分)设数列



和实数常数(,有



(1) 若 (2) 设

是等比数列,求 满足

的通项公式; ,求证:

,其前 n 项和

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