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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 高考中的合情推理拓展资料素材 北师大版选修1-2


高考中的合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的 结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,其主要形式有归纳和类比。 一、归纳推理 例 1、 (2006 广东)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期 间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形 的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第 2、3、4、

? 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一层开 始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f ( n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? ; f ( n) ? (答案用 n 表示)

分析: 解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系, 即下一堆的个数是上一堆的个数加 上其第一层的个数;其次是求出第一层的通项公式。 解:f(1)=1,观察图象可知 f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,下一堆的个数 是上一堆的个数加上其第一层的个数,而第一层的个数满足 1,3,6,10,??,通项公式

n( n ? 1) n( n ? 1) ,所以 f(n)=f(n-1)+ , 2 2 2 ? ( 2 ? 1) 所以有:f(2)-f(1)= 2 3 ? (3 ? 1) f(3)-f(2)= 2 4 ? ( 4 ? 1) f(4)-f(3)= 2
是 ?????????????? f(n)-f(n-1)=

n( n ? 1) 2

以上各式相加得:f(n)=f(1)+

2 2 ? 2 ? 32 ? 3 ? 4 2 ? 4 ? ? ? n 2 ? n 2



(12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) 2

n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? 6 2 = 2

1

n(n ? 1)( n ? 2) 6 n(n ? 1)( n ? 2) 所以应该填:10; 6
= 点评:求 f(n)的通项公式时运用累差法思想求解。可见高考题多数依据课本知识、 思想或方法的设计题目。解决问题的关键是找到相邻两项的关系。 二、 类比推理(类比) 例 2、 (2006 湖北)半径为 r 的圆的面积 S (r ) ? ? ? r 2 ,周长 C (r ) ? 2? ? r ,若将 r 看 作 (0,??) 上的变量,则 (? ? r 2 )' ? 2? ? r , ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导 数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作看作 (0,??) 上的变量,请你写出类 似于①的式子:_________________,②,②式可用语言叙述为___________. 解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立,

4 3 ?R , S (r ) ? 4?R 2 . 3 4 3 2 答案:① ( ?R )' ? 4?R . ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 3 V ( R) ?
点评: 主要考查类比意识考查学生分散思维, 注意将圆的面积与周长与球的体积与表面 积进行类比。 结论类比:已知简单命题 A 的结论去探索新命题 B 的结论,从而对问题从更高层次上 去把握,这类题目能训练学生的信息迁移能力和创造思维能力。 例 3、 (2006 上海) 已知函数 y ? x ? 上是减函数,在 [ a ,??) 上是增函数。 (1) 如果函数 y ? x ?
2

a 有如下性质: 如果常数 a>o, 那么该函数在 (0, a ] x

2b ( x ? 0) 的值域为 [6,??) ,求 b 的值; x

c (常数 c ? 0) 在定义域内的单调性,并说明理由; x2 a c 2 (3) 对函数 y ? x ? 和 y ? x ? 2 (常数 c ? 0) 作出推广, 使它们都是你所推广 x x
(2) 研究函数 y ? x ? 的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) 。 解: (1)函数 y ? x ? 所以该函数在 x ?

2b ( x ? 0) 在 (0, 2 b ] 上是减函数,在 [ 2 b ,??) 上是增函数, x

2b 处取得最小值 2 2b . 令 2 2b ? 6 ,得 b ? log2 9.
2

2 (2)设 t ? x ? 0 ,显然函数 y ? t ?

c 在 (0, c ] 上是减函数,在 [ c ,??) 上是增函 t

数,令 x ?
2
2

c 得 ? 4 c ? x ? 4 c ,令 x 2 ? c 得 x ? 4 c 或 x ? ?4 c .

又因为 t ? x 在 (??,0] 上是减函数, 在 [0,??) 上是增函数, 于是利用复合函数的单调性知, 函数 y ? x ?
2

c 在 (??,?4 c ] 上是减函数,在 [?4 c ,0) 上是增函数,在 (0, 4 c ] 上是减函 x2

数, [4 c ,??) 上是增函数。 (3)推广结论:当 n 是正奇数时,函数 y ? x ?
n

a (常数 a ? 0) 是奇函数,故在 xn

(??,?2n a ]上是增函数,在 [?2n a ,0) 是减函数,在 (0, 2n a ] 上是减函数,在 [2n a ,??) 上是
增函数。 而当 n 为正偶数时,函数 y ? x ?
n

a (常数 a ? 0) 是偶函数,在 (??,?2n a ] 上是减 xn

函数,在 [?2 n a ,0) 是增函数,在 (0, 2n a ] 上是减函数,在 [2n a ,??) 上是增函数。 点评:本题设计新颖,层层递进,主要考查函数 y ? x ?
n

a 的单调性、最值,考查分 xn

析解决问题的能力。

3


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