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江苏省海州高级中学、灌南高级中学、海头高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


海州高中、灌南高中、海头高中 2015 —2016 学年度第二学期期中学 情调查考试高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题 纸 相应位置上 . .. . ..... 1. sin(?600? ) 的值为 2.若函数 f ( x ) ? sin( kx ? ▲ .

?<

br />5

) 的最小正周期为
o

2? ,则正数 k 的值为 3

▲ ▲

. . . ▲ .

3.已知扇形的中心角为 120 ,半径为 3 ,则此扇形的面积为 4.已知 ? 为第四象限的角,且 cos(

?
2

??) ?

4 ,则 tan ? ? 5



5.已知向量 a , b 满足: | a |? 1, | b |? 2 , a ? (a ? b) ? 0 ,则 a 与 b 的夹角是 6. 设向量 a 、 b 满足 | a | =2 5, b =(2,1),且 a 与b 的方向相反, 则 a 的坐标为___ ▲____ _____. 7.已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 图象如图所示,则函数的解析式为 ▲

y

?
2

) 的部分

? 3
O

7? 12

x



? 2
第 7 题图

? 8.将函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向右平移 个单位,得到函数 y ? f ( x) 的图象 ,则 8
y ? f ( x) 在 ?0, ? ?的单调增区间为
2 2 2 2

▲ ▲ ▲

. .

9.圆x +y =9与圆x +y -4x+2y-3=0的公共弦的长为 10.已知 cos( ? ?

?

3 ? ? ) ? ,? ? (? , ), 则 cos ? ? 4 5 4 4

o 11.在 Rt △ ABC 中, BC ? 2 , ?C ? 90 ,点 D 满足 AD ? 2DB ,则 CB ? CD ?



12.方程 1 ? 2 sin x ? 2 cos x ? m ? 0 有解,则实数 m 的范围是
2

▲ ___

13.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 y ? 1 - x 2 有两个公共点,则 k 的取值范围是__ ▲

1

14.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直 → → → → 2 线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN (m,n>0),则 m ? n 的范围为____ ▲____ 二.解答题:本大题共 6 小题,共 9 0 分。请 在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (1,?2),b ? (3,4) . (1)若 (3a ? b) //(a ? k b) ,求实数 k 的值; (2)若 a ? (ma ? b) ,求实数 m 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P、Q 是单位圆上的两点,O 是坐标 原点, π ∠AOP= ,∠AOQ=α ,α ∈[0,π ). 6 (1) 若 Q ( , ) ,求 cos( ? ?

3 4 5 5

?
4

) 的值;

→ → (2) 设函数 f(α )=OP·OQ,求 f(α )的值域.

17. (本小题满分 14 分)
2

若抛物线 y ? x 2 ? 6 x ? 5 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程 (2)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A, B两点,且 CA ? CB ,求 a 的值

18.(本小题满分 16 分) 下表给出的是某港口在某季 节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 0∶00 5.0 3∶00 8.0 6∶00 5.0 9∶00 2.0 12∶00 5.0 15∶00 8.0 18∶00 5.0 21∶00 2.0 24∶00 5.0

(1)若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0 ≤t≤24)的关系可用函数 y=Asin(ω t)+b(其中 A >0,ω >0,b∈R)来近似描述,求 A,ω ,b 的值; (2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m, 安全条例规定至少要有 2.5m 的安 全间隙(船底与海底的距离),试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口?

3

19. (本小题满分16分) 如图,两块直角三角板拼在一起,已知 ?ABC ? 45o , ?BCD ? 60o (1)若记 AB ? a, AC ? b, 试用 a, b 表示向量 AD 、CD ; (2)若 AB ?

2, E为AD与BC的交点,求AE ? CD

D

C E A
20. (本小题满分 16 分) 如图,在直角坐标系 xoy中 ,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4与x 轴负半轴交于点 A ,过点 A 的直线 AM , AN 分别与圆 O 交于 M , N 两点. (1)若 k AM ? 2, k AN ? ?

B

1 , 求?AMN 的面积; 2

(2)过点 P(3 3,?5) 作 圆O 的两条切线,切点分别为 E、F , 求 PE ? PF ; (3)若 k AM ? k AN ? ?2, 求证:直线 MN过定点.
y

M

A

O

x

N

4

高一数学试题参考答案 一、填空题 1.

3 2

2. 3

3. ?

4. ?

4 3
8. ?0,

5. 120

o

6. (?4,?2)

7. f ( x) ? 11.

2 sin( 2 x ?
12. ?? ,3? ? 2 ?

?
3

)

8 3

? 3 ?

13. ? 2,? 3 ?

?

? 3 ? ? 7? ? ? 、 ,? ? ? 8 ? ?? ? 8 ?

? ? 3,2?

12 5 5 ?7 ? 14. ? ,4 ? ?4 ?
9.

10.

7 2 10

15. (本小题满分 14 分) 解:(1) 3a ? b ? (0,?10), a ? k b ? (3k ? 1,4k ? 2) , 因为 (3a ? b) //(a ? k b) ,所以 0 ? (4k ? 2) ? (?10) ? (3k ? 1) ? 0 解得 k ? ?

1 3

(2) ma ? b ? (m ? 3,?2m ? 4) ,由 a ? (ma ? b) 得, m ? ?1 16. (本小题满分 14 分) 3 4 解:(1) 由已知可得 cosα = ,sinα = , 5 5

? ? 2 +sinα sin = ? 4 4 4 10 π? ? 3 1 → → ? π (2) f(α )=OP·OQ=?cos ,sin ?·(cosα ,sinα )= cosα + si nα = cos( ? ? ) , 6 6? 2 2 ? 6 ? ? ? ? 5? ? 3 ? ? ∵ α ∈[0, π ),∴ ? ? ? ?? , ? , cos( ? ? ) ? ?- 2 ,1?, ? ? 6 6 ? 6 6 ? 3 ? ? ∴ f(α )的值域是?- ,1?. ? 2 ?
∴ cos (? ?

?

) =cosα cos

17.(本小题满分 14 分) 解:(1)设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0
2

y ? x 2 ? 6x ? 5 中令 y ? 0 得 x 2 ? 6 x ? 5 ? 0
由题意得, D ? ?6, F ? 5 又抛物线过点 (0,5) ,代入圆方程得 E ? ?6 所以圆 C 的方程为 x ? y ? 6x ? 6 y ? 5 ? 0
2 2

5

(2)由题意知, ?CAB 为等腰直角形,则点 C 到直线距离为 解得 a ? ? 13 18. (本小题满分 16 分) 解:(1)由已知数据求得 A ? 3, b ? 5, T ? 12, ? ? (2)由(1)得, y ? 3 sin( 由 3 sin(

13 2

,即

|a| 2

?

13 2

?
6

2? ? ? 12 6

t) ? 5 , t? 1 , 解得 1 ? t ? 5或13 ? t ? 17 2

?
6

t ) ? 5 ? 6.5得, sin

?
6

故该船在 1:00 至 5:00 和 13:00 至 17:00 期间内可以进港。 19. (本小题满分 16 分) 解:(1) CB ? a ? b , BD ?

3b , 则 AD ? a ? 3b , ………………4 分
… … … … … … … … … … … ………………6 分

CD ? a ? ( 3 ? 1)b
(2)由题知

AC AE 3 AE 3 ?1 ,所以 , ? ? ? BD ED 3 AD 2
…………………………………… ……10 分

??? ? 3 ? 1 ???? AD 所以 AE ? 2

3 ?1 (a ? 3b)(a ? ( 3 ? 1)b) 2 3 ?1 3 3 ?1 .…………………………………………16 分 ? (4 ? 3 ) ? 2 2

AE ? CD ?

20.(本小题满分 16 分) 解:(1)由题得直线 AM 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,直线 AN 的方程为 y ? ? 所以,圆心到直线 AM 的距离 d ?

1 x ? 1 ……2 分 2

4 5

,所以, AM ? 2 4 ?

16 4 5 , ? 5 5
6

由中位线定理知, AN=

8 5 ,………………4 分 5
1 4 5 8 5 16 = 。………6 分 ? ? 5 2 5 5

由题知 k AM ? k AN ? ?1,所以 AN ⊥ AM , S ?

??? ? ( 2) | PE |= (3 3)2 ? (?5)2 ? 4 ? 4 3 , PO ? (3 3)2 ? (?5)2 ? 2 13 ,
所以 cos ?OPE ?
4 3 2 13 ? 2 3 13



……………8 分

所以 cos ?FPE ? 2cos 2 ?OPE ? 1 ? 2(

2 3 13

)2 ? 1 ?

11 , 13

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? 11 528 所以 PE ? PF ? | PE || PF | cos ?EPF ? (4 3)2 ? ? ………………………………10 分 13 13
(3)由题知直线 AM 和直线 AN 的斜率都存在,且都不为 0,不妨设直线 AM 的的方程

? y ? k ( x ? 2) 2 y ? k ( x ? 2) ,则直线 AN 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,所以,联立方程 ? 2 , 2 k ?x ? y ? 4
所以, ( x ? 2)[(1 ? k 2 ) x ? 2k 2 ? 2] ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ?

2 ? 2k 2 , 1? k 2
………………13 分

所以 M (

2 ? 2k 2 4k , ), 1? k 2 1? k 2

同理, N (

2k 2 ? 8 ? 8k , ), 4? k2 4? k2

因为 x 轴上存在一点 D (?

2 , 0) , 3

所以, k DM

? 4k 2 ? 4k ?k ?k ? 2 = ,同理 k DN ? 2 , ……………15 分 ? 1? k 2 2 4k ? 8 k ? 2 k ?2 2 ? 2k ?6 1? k 2
2 , 0) 。 3
……………16 分

所以, k DN = k DM ,所以,直线 MN 过定点 (?

7


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