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湖南2013-2015普通高中学业水平考试数学考点题型归纳

时间:2015-10-16


湖南 2012-2015 普通高中学业水平考试数学考点题型归纳
一、集合运算
1.已知元素 a ?{0,1, 2,3} ,且 a ?{0,1, 2} ,则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

2.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {2,5, 7,9} ,则 A ? B 等于( A. {1, 2,3

, 4,5} B. {2,5,7,9} C. {2,5}

D. {1, 2,3, 4,5, 7,9} )

3.已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ?x? ,若 M ? N ? ?0,1,2,3? ,则 x 的值为( A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 )

4.已知集合 A={-1,0,1,2},B={-2,1,2}则 A ? B=( A.{1} B.{2} C.{1,2}

D.{-2,0,1,2} ) D {1,2,3}

5.已知集合 M = {1,2}, N ={2,3}, 则 MUN =( A {1,2} B {2,3} C {1,3}

二.函数的概念与图像
1.若函数 f ( x) ? x ? 3 ,则 f (6) 等于( A .3 B.6 C.9 ) D. 6

?1 ? , x ?1 2.已知函数 f ? x ? ? ? x ,则 f ?1? 的值为( ? ?2, x ? 1
A. 0 B. 1 C. 2



D. ?1

3.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽误了一 些时间,下列函数的图像最能符合上述情况的是( )

? x, x ? [0, 2], ? 4.已知函数 f ( x) ? ? 4 , x ? (2, 4]. ? ?x
(1)画出函数 f ( x) 的大致图像; (2)写出函数 f ( x) 的最大值和单调递减区间。

5.已知函数 y ? f ( x) ( x ? [?2,6] )的图象如图.根据图象写出: (1)函数 y ? f ( x) 的最大值; (2)使 f ( x) ? 1的 x 值.
2 2 1 - O 1 1 2 5 6

y

x

y

三.函数的基本性质

3

1.已知 f ( x) 是定义在 ? ?2,0? ? ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, 2

f ( x) 的图像如图所示,那么 f ( x) 的值域是



O
2.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ,则 f ( x) 是( A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 ) D.既是奇函数又是偶函数

2

x

3.下列函数中,是偶函数的是( ) A f(x)=x ; B f(x)=

1 x

C . f(x)=x ;

D f(x)=sinx

四.基本初等函数
1. ( 3)log3 4 的值是 .

2.计算: log2 1 ? log2 4 ? ______________.

3.比较大小: log2 5

log2 3 (填“>”或“<”).

4、已知函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,f(1)=2,则函数 f(x)的解析式是( ) A . f(x)=4x ;

1 B. f(x)= ( ) x 4

C. f(x)=2x ;

1 D. f(x)= ( ) x 2


5.若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (9, 1 ) ,则 f (25) 的值是

3

五.方程的根与函数的零点 1.函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) 的零点个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

2.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b 在区间(2,4)内有唯一零点,则 b 的取值范围是 ( ) A. R B. (??, 0) C. (?8, ??) D. (?8, 0)

3.已知函数 f ? x ? ? 2x ? ? ? 2? x ( ? ? R )。 (1)当 ? ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的零点; (2)若函数 f ? x ? 为偶函数,求实数 ? 的值; (3)若不等式

1 ? f ? x ? ? 4 在 x ??0,1? 上恒成立,求实数 ? 的取值范围。 2

4 .已知函数 f(x)=log2(x-1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)设 g(x)= f(x)+ a ;若函数 y=g(x)在(2,3)有且仅有一个零点,求实数 a 的取值 范围; (3)设 h(x)= f ( x) ?
m ,是否存在正实数 m,使得函数 y=h(x)在[3,9]内的最大 f ( x)

值为 4?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

六.立体几何体的三视图与表面积、体积的计算
1.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 )

2.两个球的体积之比为 8:27,那么这两个球的表面积 之比为( A. 2 : 3 ) B. 4 : 9 C. 2 : 3 D. 2 2 : 3 3 )
正视图 侧视图

3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台

俯视图 (第3题图)

4.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.球 B.圆柱 C.圆台 D.圆锥
正视图 侧视图

俯视图 5.下列几何体中,正视图、侧视图和俯视图都相同的是( A,圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三菱柱 )

七.空间中点、线、面的位置关系
BD 1.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线
与 AC 1 1 所成的角是 A. 30? B. 45? C. 60? D. 90?

2.如图,矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC , E , F 分别是 AB, CD 的中点,现在沿 EF 把这个 矩形折成一个二面角 A ? EF ? C (如图 2)则在图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的 角为 。

3.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AB ⊥平面 BCD , BC ⊥ BD , BC ? 3 , BD ? 4 , 直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 45? ,点 E , F 分别是 AC , AD 的中点。 (1)求证: EF ∥平面 BCD ; (2)求三棱锥 A ? BCD 的体积。
E B

A F D

C

(第18题图)

4.如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是正 方形,且 AB=1,D1D= 2 . (1)求直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:AC⊥平面 BB1D1D.
A1 D1 B1 C1

D A B

C

5、如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为长方体, (1)求证:B1D1||平面 BC1D;(2)若 BC=C1C, 求直线 BC1 与平面 ABCD 所成角的大小。

八.直线与圆的方程 1.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 1 , l 2 : y ? 2 x ? 5 ,则直线 l1 与 l 2 的位置关系是 A.重合 B.垂直 C.相交但不垂直 D.平行

2.经过点 A ? 0,3? ,且与直线 y ? ? x ? 2 垂直的直线方程是______________. 3.已知两点 P ? 4,0? , Q(0, 2) ,则以线段 PQ 为直径的圆的方程是( A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 C. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 10 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 10 )

4.已知圆 C 的方程为: ( x ? 1)2 + ( y ? 2)2 =4,则圆心坐标与半径分别为( ) A .(1,2),r=2; C. (1,2),r=4; B .(-1,-2),r=2; D .(-1,-2),r=4;

5.已知圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 的圆心坐标为 (3,0) ,则实数 a ?
6.直线 l1 : 2 x ? y ?10 ? 0 与直线 l2 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的交点坐标为( A. (?4, 2) B. (4, ?2) C. (?2, 4) D. (2, ?4)




7.如图,圆心 C 的坐标为(1,1),圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切.

(1)求圆 C 的方程; (2)求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.

8.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径 R ; (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合, l 与圆 C 相交于 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) 两点, 求证:

1 1 ? 为定值; x1 x2

(3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D, E 两点,求直线 m 的方程,使△CDE 的面积 最大。

九.算法初步
1.某程序框图如图所示,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值是 A.2 B.3 C.4 D.5

2.阅读下面的流程图,若输入的 a , b , c 分别是 5,2,6,则输出的 a , b , c 分 别是( ) B.5,2,6 C.2,5,6 D.6,2,5

A.6,5,2

3.某程序框图如图所示,若输入的 x 值为 2 ,则输出的 y 值为______________.

4.某程序框图如图所示,若输入的 a, b, c 值分别为 3,4,5,则输出的 y 值 为 .

开始 输入 a,b,c
y? a?b?c 3

开始 输入 x

x ? 0?
y ? 2x ?1





y? x

输出 y 结束 (第 3 题图) 输出 y 结束 (第 4 题图) 5. 已知如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 1,则 输出的 y 值是_____ y=x+1 开始 输入 x

输出 y

十.统计
1..样本数据 ?2,0,6,3,6 的众数是 。

结束

2.某校有高级教师 20 人,中级教师 30 人,其他教师若干人,为了了解该校教师的 工资收入情况,拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取 20 人进行调查.已知从其 他教师中共抽取了 10 人,则该校共有教师 人.

3.某班有 50 名同学,将其编为 1、2、3、…、50 号,并按编号从小到大平均分成 5 组.现用系统抽样方法,从该班抽取 5 名同学进行某项调查,若第 1 组抽取的学生 编号为 3,第 2 组抽取的学生编号为 13,则第 4 组抽取的学生编号为( A.14 B.23 C.33 D.43 )

4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400,800。为了了解教师 的教学情况,该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈,则高 一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )

A. 15 , 5 , 25

B. 15 , 15 , 15

C. 10 , 5 , 30

D. 15 , 10 , 20

5.某班有学生 50 人,期中男同学 300 人,用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加 某社区服务活动。 (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受,求选出的 2 名同学中恰有 1 名 男同学的概率。

6.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调查了 100 位职员的早餐日平 均费用(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图,图中标注 a 的数字模糊不 清。 (1)试根据频率分布直方图求 a 的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众 数; (2)已知该公司有 1000 名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少 于 8 元?
频率 组距 a 0.10 0.05

0

2

4

6

8

10

12 早餐日平均费用(元)

(第17题图)

十一.概率
1.某袋中有 9 个大小相同的球,其中有 5 个红球,4 个白球,现从中任意取出 1 个,则取出的球恰好是白球的概率为( A. ) C.

1 5

B.

1 4

4 9

D.

5 9

2. 如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成,指针绕中心旋 转, 可能随机停止,则指针停止在阴影部分内的概率是( ) A

1 2

B

1 4

C

1 6

D

1 8

3.如图,长方形的面积为 2,将 100 颗豆子随机地撒在 长方形内,其中恰好有 60 颗豆子落在阴影部分内,则用 随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为
2 A. 3 4 B. 5 6 C. 5 4 D. 3
(第 3 题图)

4.在区间 [0,5] 内任取一个实数,则此数大于 3 的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

5. 张山同学的家里开了一个小卖部,为了研究气温对某种冷饮销售量的影响,他收集 了这一段时间内这种冷饮每天的销售量 y(杯)与当天最高气温 x(0C)的有关数据,通 过描绘散点图,发现 y 和 x 呈现线性相关关系,并求得回归方程为 ? y =2x+60,如果气 象预报某天的最高气温为 340C,则可以预测该天这种饮料的销售量为____杯。 6、如图是一名篮球运动员在某一赛季 10 场比赛的得分的原始记录的径叶图, (1)计算该运动员这 10 场比赛的平均得分; (2)估计该运动员在每场比赛中得分不少于 40 分的概率。

1 2 3 4

6 4 7 3 4 6 9 1 4 6

7.一个均匀的正方体玩具,各个面上分别写有 1,2,3,4,5,6,将这个玩具先后 抛掷 2 次,求: (1)朝上的一面数相等的概率;(2)朝上的一面数之和小于 5 的概率.

8.一批食品,每袋的标准重量是 50 g ,为了了解这批食品的实际重量情况, 从中随机抽取 10 袋食品,称出各袋的重量(单位: g ),并得到其茎叶图 (如图). (1)求这 10 袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; (2)若某袋食品的实际重量小于或等于 47 g ,则视为不合格产品,试估计这 批食品重量的合格率.
4 5 5 6 6 9 0 0 0 1 1 2 (第 8 题图)

十二.三角函数及三角恒等变换
1. sin120? 的值为( A. ) B. ?1 C.

2 2

3 2

D. ?

2 2


2.已知角 ? 的终边与单位圆的交点坐标为( , 3.函数 y ? 2cos x ? 1 , x ? R 的最小值是( A. ?3 B. ?1 C. 1

1 3 ),则 cos? = 2 2
) D. 3 )

4.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ,则 f ( x) 是( A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

5.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 式为

? 个单位长度,得到的图象对应的函数解析 3
2? ) 3 2? ) 3

? A. y ? sin( x ? ) 3

? B. y ? sin( x ? ) 3

C. y ? sin( x ?

D. y ? sin( x ?

6、化简(sin ? +cos ? )2=( ) A. 1+sin2 ? B. 1-sin ? C. 1-sin2 ? D. 1+sin ?

7.已知 a 是函数 y ? sin ? x(? ? 0) 在一个周期内的图像 如图所示,则 ? 的值为 。

8.已知 cos ? ?

1 ? ?? , ? ? ? 0, ? 。 2 ? 2?
(2)求 sin ? ? ?

(1)求 tan ? 的值;

? ?

??

? 的值。 6?

9.已知向量 a ? (1,sin ? ), b ? (2,1). (1)当 ? ?

?

?

?
6

时,求向量 2a ? b 的坐标;

? ?

(2)若 a ∥ b ,且 ? ? (0,

?

?

?
2

) ,求 sin(? ?

?
4

) 的值。

10.设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (cos 2x ? 1,1) , b ? (1, 3sin 2x ? m) . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?0, ? ? 时, ?4 ? f ( x) ? 4 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? ?

?

?

? ?

? 6?

11.已知向量 a =( sin x ,1),b =( cos x ,1), x ?R. (1)当 x ?

?
4

时,求向量 a + b 的坐标;

(2)若函数 f ( x) ? |a + b|2 ? m 为奇函数,求实数 m 的值.

12、已知函数 f(x)=Asin2x(A>0)的部分图象,如图所示, (1)判断函数 y=f(x)在区间[ 大值。 (2)求函数 y=f(x)的周期 T。

? 3? , ]上是增函数还是减函数,并指出函数 y=f(x)的最
4
4

十三.平面向量
1.向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) ,则( A. a / / b

?

?



?

?

B. a ? b

?

?

C. a 与 b 的夹角为 60?

?

?

D. a 与 b 的夹角为 30? )

?

?

2.已知向量 a ? ?1, 2? , b ? ? x, 4? ,若 a ∥ b ,则实数 x 的值为( A. 8 B. 2 C. ?2 D. ?8

?

?

?

?

3.已知向量 a=(4,2),b=(x,3), 若 a||b,则实数 x 的值为______ 4.已知向量 a 与 b 的夹角为

?

?

? ? ? ? ? , a ? 2 ,且 a ? b ? 4 , b ? ______________. 4
C

5.如图,D 为等腰三角形 ABC 底边 AB 的中点,则下 列等式恒成立的是 A. CA ? CB ? 0 C. CA ? CD ? 0 B. CD ? AB ? 0 D. CD ? CB ? 0
A
??? ? ??? ? CB ? 0 ,则△ABC 是( ) 6、在△ABC 中,若 CA?

D (第 5 题图)

B

A .锐角三角形

B .钝角三角形

C.直角三角形

D . 等腰三角形

7.设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (cos 2x ? 1,1) , b ? (1, 3sin 2x ? m) . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?0, ? ? 时, ?4 ? f ( x) ? 4 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? ?

?

?

? ?

? 6?

8. 已知向量 a ? (1,sin ? ), b ? (2,1). (1)当 ? ?

?

?

?
6

时,求向量 2a ? b 的坐标;(2)若 a ∥ b ,且 ? ? (0,

? ?

?

?

?
2

) ,求

sin(? ?

?
4

) 的值。

9.已知向量 a =( sin x ,1),b =( cos x ,1), x ?R. (1)当 x ?

?
4

时,求向量 a + b 的坐标;

(2)若函数 f ( x) ? |a + b|2 ? m 为奇函数,求实数 m 的值.

十四.解三角形
1.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 1, b ? 2,sin A ?

1 ,则 3

sin B ?



2.在 ?ABC 中,已知 A ? 120? , b ? 1 , c ? 2 ,则 a 等于( A. 3 B. 5 ? 2 3 C. 7



D. 5 ? 2 3

3、在△ABC 中, a 、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 A=60,b=1,c=2,则 a = ( ) B. 3 C. 2 D.

A.1

7

4.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两 点 A, B 到点 C 的距离 AC ? BC ? 1km ,且 ?ACB ? 120? ,则 A, B 两点间的距离为 ( A. )

3km

B.

2km

C. 1.5km

D. 2km

5.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量 A、B 之间的距离,测量者在 A 的 同侧选定一点 C,测出 A、C 之间的距离是 100 米,∠BAC=105?,∠ACB=45 ?,则 A、B 两点之间的距离为 米.
B

B

1km 120° A 1km C (第10题图)


105 45?

A ?

C

(第 5 题图)

十五、数列 1.已知等差数列{ an }的前 3 项分别为 2、4、6,则数列{ an }的第 4 项为( A.7 B.8 C.10 D.12 ) )

2.等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是(

A.15

B.30

C.31

D.64

3 .在等差数列{ an }中,已知 a 2=2, a 4=4, (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)设 bn ? 2an ,求数列{ bn }前 5 项的和 S5。

4. 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,且 a2 , a3 ? 1, a4 成等差数列。 (1)求 a1及an ;(2)设 bn ? an ? n ,求数列 {bn } 的前 5 项和 S5 。

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? n .

1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;(2)若 bn ? 2
为 Tn .

??

an

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和

6.已知数列 ?an ? 满足: a3 ? ?13 , an ? an?1 ? 4 ( n ? 1 , n ? N )。 (1)求 a1 , a2 及通项 an ; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则数列 S1 , S2 , S3 ,…中哪一项最小?并 求出这个最小值。

7.已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 2 n ? a ( a 为常数, n ?N*). (1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)若数列{ an }为等比数列,求常数 a 的值及 an ; (3)对于(2)中的 an ,记 f (n) ? ? ? a2n?1 ? 4? ? an?1 ? 3 ,若 f (n) ? 0 对任意的 正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

十六.不等式 1.下列坐标对应的点中,落在不等式 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的是( A.(0,0) B.(2,4) C.(-1,4) D.(1,8) )

2.不等式 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的解集为 A. {x | ?1 ? x ? 2} B. {x | ?1 ? x ? 2} C. {x | x ? ?1或 x ? 2} D. {x | x ? ?1或 x ? 2} 3.点 P (m,1) 不在不等式 x ? y ? ? 0 表示的平面区域内,则实数 m 的取值范围是 A. m ? 1 B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1
y (1,2) (3,2)

4.已知点 ? x, y ? 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动, 则 z ? x ? y 的最大值是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 5
o

(1,0) (第8题图)

x

5.已知点(x,y)在如图所示的阴影部分内运动,则 z=2x+y

的最大值是_________


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