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广西南宁二中2011届高三10月月考数学文试题

时间:2010-12-04


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广西南宁二中 2011 届高三年级 10 月月考

数学试题(文科)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B

)

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V球 = πR 3 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
次的概率 Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k n?k

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.定义 A ? B = {x | x ∈ A且x ? B}, 若M = {1, 2,3, 4,5}, N = {2,3, 6}, 则N ? M = ( A.M B.N C.{1,4,5} D.{6} )

a1 (1 ? q n ) 2.P :{an } 是等比数列 q为{an } 的公比) Q : {an } 的前 n 项和为 sn = ( ; 且a1 q ≠ 0 , 1? q
且P是Q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中正确的是 A.平行于同一平面的两条直线必平行 B.垂直于同一平面的两个平面必平行 C.一条直线至多与两条异面直线中的一条平行 D.一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直 ( )





4.已知三棱锥底面是边长为 1 的正三角形,侧棱长均为 2,则侧棱与底面所成的角的余弦值为 ( ) A.

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D.

3 6

5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,现将这 4 人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不 种。 ( ) 能相邻,则不同的排法共有
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A.4 6.若 sin 2α =

B.6

C.8

D.16 ( )

2 , 则 sin 4 α + cos 4 α 的值是 2
B.
n

A.

1 2

3 5

C.

2? 2 2

D.

3 4
( )

? 1 ? 7.若 ? 3 x ? ? 的展开式各项系数和为 64,则展开式中的常项数为 x? ?
A.-540 B.-162 C.162 D.540

8.若函数 f ( x ) 存在反函数 f ?1 ( x ) ,且函数 f ( x ) 图象在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为

2 x ? y + 1 = 0 ,则函数 f ?1 ( x) 的图象在点 ( f ( x0 ), x0 ) 处的切线方程为
A. 2 x ? y + 1 = 0 C. x ? 2 y + 1 = 0 B. x ? 2 y ? 1 = 0 D. 2 x + y ? 1 = 0





9 . 已 知 A( ?3, 0), B (0, 3) , O 为 坐 标 原 点 , 点 C 在 ∠AOB 内 , 且 ∠AOC = 60° , 设

uuur uuu uuu r r OC = λ OA + OB (λ ∈ R ) ,则 λ 等于
A.





3 3 1 3

B. 3

C.

D.3

10 . 已 知 f ( x ) 为 偶 函 数 , 且 f (2 + x ) = f (2 ? x ), 当 ? 2 ≤ x ≤ 0时, f ( x ) = 2 x 若

n ∈ N * , an = f (n), 则a2011 =
A.2011 B.-2011 C.





1 2

D.

1 4

11.设双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F,右准线 l 与两条渐近线交于 P,Q 两点, a2 b2
( )

如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率为

A.2

B. 3

C. 2

D.

3 3

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12.如果关于 x 的方程 ax + A. {a | a ≤ 0} C. {a | a ≥ 0}

1 = 3 正实数解有且仅有一个,那么实数 a 的取值范围为( x2
B. {a | a ≤ 0或a = 2} D. {a | a ≥ 0或a = ?2}



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.函数 y = 2 sin x的图象按向量a 平移后得到的图象解析式为 y = 2 sin( x +

r

π
3

) ? 1 ,则平

r
移向量 a 的坐标为 。

?x ? y + 5 ≥ 0 ? 14.若实数 x、y 满足 ? x ? 3 ≤ 0 且z = 2 x + 4 y 的最小值为—6,则 k= ?x + y ? k ≥ 0 ?



15.已知△ABC 的三个顶点在同一球面上,若∠BAC=90°,AB=AC=2,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则该球的半径为 。 16.已知 F1 ( ?2, 0), F2 (2, 0) 为焦点的椭圆与直线 x + 3 y + 4 = 0 有且仅有一个交点,则椭圆 的长轴长为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演处步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 对边长分别是 a,b,c,已知 c = 2, C = (I)若△ABC 的面积等于 3, 求a, b ; (II)若 sin C + sin( B ? A) = 2sin 2 A, 求?ABC 的面积。

π
3

18. (本小题满分 12 分) 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考核 合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核,若小张参加每次考核合格的概率
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1 1 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过 ,且他直到参 8 2 9 加第二次考核才合格的概率为 32
依次组成一个公差为 (I)求小张第一次参加考核就合格的概率 P1; (II)求小张参加考核至多 3 次就合格的概率。

19.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥BC,P 为 A1C1 的中点,AB=BC=kPA。 (I)当 k=1 时,求证 PA⊥B1C; (II)当 k 为何值时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 —B 的余弦值。

1 ,并求此时二面角 A—PC 4

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }满足条件 : a1 = 1, an +1 = 2an + 1, n ∈ N .
*

(I)求证:数列 {an + 1} 为等比数列; (II)令 cn =

2n , Tn 是数列{cn } 的前 n 项和,证明 Tn < 1. an ? an +1
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21. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) = x 2 ( ax ? 3), 其中a 为常数。 (I)若 x = 1是函数f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (II)若 x ∈ [0, 2]时, 函数g ( x) = f ( x) + f ′( x)在x = 0 处取得最大值,求正数 a 的取值范 .. 围。

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 π + 2 = 1 的右准线是 x = 1 ,倾斜角为 α = 的直线l 交椭圆于 A、B 2 4 a b
1 1 , ) 2 4
2 2

两点,AB 的中点为 M ( ? (I)求椭圆的方程;

(II)若 P、Q 是椭圆上满足 | OP | + | OQ | =

3 的点, 求证 | kOP ? kOQ | 是定值。 4

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参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 60 分) 1—6DBCDCD 7—12 ABCCCB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (? ,?1)

1 3

14.0

15. 3

16. 2 7

三、解答题(本大题共 6 小题) 17.解: (I)由余弦定理及已知条件 a + b ? ab
2 2

1 = 4, ab sin C = 3 ? ab = 4 2
联立方程组 ?

?a 2 + b 2 ? ab = 4, ?ab = 4,

解得 a = 2, b = 2. (II)由题意乔

sin( B + A) + sin( B ? A) = 4 sin A cos A,

即 sin B cos A = 2 sin A cos A, 当 cos A = 0时, A =

π
2

,B =

π
6

,a =

4 3 2 3 ; ,b = 3 3

当 cos A ≠ 0时,得 sin B = 2 sin A, 由正弦定理得 b = 2a,

?a 2 + b 2 ? ab = 4, 联立方程组 ? ?b = 2a,
解得 a =

2 3 4 3 ,b = . 3 3 1 2 3 ab sin C = . 2 3

所以 ?ABC的面积S =

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18.解: (I)由题意得 (1 ? p1 )( p1 + ) =

1 8

9 , 32

1 5 或 . 4 8 1 5 Q p1 > ,∴ p1 = . 2 8 ∴ p1 =
(II)由(I)知小张 4 次考核每次合格的概率依次为

5 3 7 , , ,1 ,所以 P ( X = 1) = 8 4 8 21 , p1 + p 2 + p 3 = P (3) = 256

5 9 , P ( X = 2) = , 8 32 253 256

19. (方法一) (I)连接 B1P,因为在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,P 为 A1C1 的中点, AB=BC,所以 B1P⊥面 A1C。 所以 B1P⊥AP。 又因为当 k=1 时, AB=BC=PA=PC,

∴ ∠ABC = ∠APC = 90°
∴AP⊥PC。 ∴AP⊥平面 B1PC, ∴PA⊥B1C。 (II)取线段 AC 中点 M,线段 BC 中点 N, 连接 MN、MC1、NC1, 则 MN//AB,∵AB⊥平面 B1C,∴MN⊥平面 B1C,

Q ∠MC1 N 是直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角,
∴ sin ∠MC1 N =
设 AB=a,Q MN =

1 MN MN 1 ,即 = = , 4 MC1 AP 4

1 AB, AB = kPA, 2

1 a 2 = 1 ,∴ k = 1 ∴ a 4 2 k 1 1 即 k = 时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 . 2 4
此时,过点 M 作 MH,垂足为 H,连接 BH,

Q BM ⊥ 平面A1C ,
由三垂线定理得 BH⊥PC, 所以 ∠BHM 是二面角 A—PC—B 的平面角。 设 AB=2,则 BC=2,PA=-4, AC = 2 2 , AM = A1 P =

2,

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在直角三角形中 AA1P 中

AA1 =

AP 2 ? A1 P 2 = 14 ,

连接 MP,在直角三角形中 由 MC ? MP = PC ? HM得MH = 又由 BM = 解得 BH =

7 , 2

2 ,在直角三角形中 BMH 中,
15 , 2

在直角三角形 BMH 中

cos ∠MHB =

MH = BH

7 2 = 105 . 15 15 2 105 . 15

所以二面角 A—PC—B 的余弦值是

(方法一) 以点 B 为坐标原点,分别以直线 BA、BC、BB1 为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz, (I)设 AB=2,则 AB=BC=PA=2 根据题意得: A( 2,0,0), C (0),2,0, B1 (0,0, 2 ), P (1,1, 2 ) 所以 AP = ( ?1,1, 2 ), B1C = (0,2,? 2 )

Q AP ? B1C = 0 + 2 ? 2 = 0, ∴ PA ⊥ B1C
(II)设 AB=2,则 AP =

2 , k

根据题意:A(2,0,0) ,C(0,2,0) 又因为 A1 P = 所以 AA1 =

1 A1C1 = 2 , 2

AP 2 ? A1 P 2 =

4 ?2 , k2

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∴ B1 (0,0, ∴ P(1,1,

4 ? 2) k2 4 ? 2) k2

4 ? 2) k2 Q AB ⊥ 平面B1C AP = (?1,1,
所以由题意得 | cos < AP, AB >|=

1 4 = 1 , 4

即|

AP ? AB | AP | ? AB

|=

1 ,即 4

2 1+1+ 4 ? 2?2 k2

1 Q k > 0, 解得 . 2 1 1 即 k = 时,直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 . 2 4

∴ B1 P ⊥ APC.
∴ 平面APC 的法向量 B1 P = (1, , ) 00
设平面 BPC 的一个法向量为

n = ( x, y, z ),Q BC = (0,2,0), BP(1,1, 14 )


BC ? n = 0 BP ? n = 0

,得 ?

?2 y = 0 ? x + y + 14 z = 0 n ? B1 P | n || B1 P | |=|



∴ cos < n, B1 P >=|

14 15 × 2

|=

105 15

所以此时二面角 A—PC—B 的余弦值是

105 . 15
…………3 分

20. (I)证明:由题意得 a n +1 + 1 = 2a n + 2 = 2(a n + 1), 又 a1 + 1 = 2 ≠ 0. …………4 分

所以数列 {a n + 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。…………5 分 (II)解:由(I)知 a n = 2 ? 1,
n

…………7 分

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故 cn =

2n 2n 1 1 = n = n ? n +1 , …………9 分 n +1 a n a n +1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

1 1 1 ∴ Tn = c1 + c 2 + c3 + L + c n = (1 ? ) + ( ? ) 3 3 7 1 1 +L+ ( n ? n +1 ) 2 ?1 2 ?1
= 1? 1 2
n +1

?1

< 1.
3

…………12 分
2 2

21.解: (I)Q f ( x ) = ax ? 3 x ,∴ f ' ( x) = 3ax ? 6 x, …………2 分

Q x = 1是f ( x) 的一个极值点,
∴ f ' (1) = 3a ? 6 = 0,∴ a = 2.
…………5 分

3 2 (II)解法一: g ( x ) = ax + 3( a ? 1) x ? 6 x ( a > 0)

g '( x) = 3ax 2 + 6(a ? 1) x ? 6, ? = 36(a ? 1) 2 + 72a = 36(a 2 + 1) , ∴ f ' ( x) = 0 有两个实根,设这两个实根为 x1 , x 2 ,
则 x1 x 2 = ?

2 < 0, a

设 x1 < 0 < x 2 , 当〈x 2 < 2时, g ( x 2 ) 为极小值, 0 所以 g(x)在[0,2]上的最大值只能为 g(0)或 g(2) ,……9 分 当 x 2 ≥ 2时 ,g(x)在[0,2]上单调递减,

g ( x) 的最大值为 g (0),
所以 g(x)在[0,2]上的最大值只能为 g (0)或g ( 2), …………9 分 又已知 g ( x)在x = 0 处取得最大值,所以 g (0) ≥ g ( 2) , 即 0 ≥ 20a ? 24, 解得a ≤

6 6 ,∴ 0 < a ≤ 5 5

…………12 分

解法二:Q g (0) = 0, 且g (0)为g ( x) 在[0,2]上的最大值,

∴当0 < x ≤ 2时, 必有g ( x) ≤ 0 恒成立,
即 ax 3 + 3( a ? 1) x 2 ? 6 x ≤ 0,

…………7 分

∴ ax 2 + 3(a ? 1) x ? 6 ≤ 0
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…………9 分
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设 h( x) = ax + 3( a ? 1) x ? 6,
2 2 若 0 < x ≤ 2时,不等式ax + 3( a ? 1) x ? 6 ≤ 0 恒成立,

则?

? h ( 0) = ? 6 ≤ 0 ?h(2) = 10a ? 12 ≤ 0
6 6 ,∴ 0 < a ≤ . 5 5
…………12 分

解得 a ≤

22.解: (I)由于直线 AB 的倾斜角为

π
4

且过点 M (?

1 1 , ), 2 4

3 所以直线的方程为 y = x + . 4
代入椭圆方程,整理得 (b + a ) x +
2 2 2

3 2 9a 2 a x+ ? a 2b 2 = 0 , 2 16

x1 + x 2 1 3 a2 1 = × (? ) × 2 =? , 2 2 2 2 b +a 2
即 a = 2b .
2 2



a2 = 1 ,联立 a 2 = b 2 + c 2 , c
2

求得 a =

1 2 1 ,b = . 2 4

所以椭圆方程为 2 x 2 + 4 y 2 = 1. (II)设 P ( x3 , y 3 ), Q ( x 4 , y 4 ) 都在椭圆 2 x 2 + 4 y 2 = 1 上, 由 | OP | + | OQ | =
2 2

3 2 2 2 2 得x 3 + y 3 + x 4 + y 4 = 4

1 2 1 2 (1 ? 2 x3 ) (1 ? 2 x4 ) 2 2 2 2 1 1 ? 2( x3 + x4 ) + 4 x3 x4 4 4 = 2 2 2 2 4 x3 x4 x3 x4 1 = . 2

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