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山东省临沂市2013届高三数学1月月考试题 理 新人教A版

时间:2013-01-16


山东省临沂市郯城一中 2013 届高三数学 1 月月考试题 理 新人教 A 版
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.

A ? x x ? 2 , B ? x x ? 1 , ( A ? CU B) ? ( B ? CU A) ? 1、已知全集 U ? R, 集合 则 (
A. ? B.

?

?

?

?



? x x ? 1或x ? 2?

C.

? x 1 ? x ? 2?

D.

? x 1 ? x ? 2?


2、已知 a, b为两条不同的直线 ? , ? , ? 为三个不同的平面,则( , ① a ? ? , b ? ? , 则a // b ; ③ ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ; 以上结论正确的是 A.①②

② a ? ? , b ? ? , a // b, 则? // ? ; ④ a ? ? , ? ? ? , 则a // ? 。 ( ) D.②③ ( )

B.①④

C.③④

? ? ? ? ? ? 3、已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x, 2), 则 a ? 2b 与 2a ? b
A 垂直的必要条件是 x ? ?2 C 平行的充要条件是 x ? 1 4.设命题 p :曲线 y ? e 数,若 a ? b ,则
?x

B 垂直的充要条件是 x ?

7 2 D 平行的充分条件是 x ? ?2

在点 ? 1 e) ( , 处的切线方程是: y ? ?ex ;命题 q : a, b 是任意实

1 1 ,则( ) ? a ?1 b ?1 A.“ p 或 q ”为真 B.“ p 且 q ”为真

C. p 假 q 真

D. p , q 均为假命题

5.在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 2013 ,其前 n 项和为 S n ,若 (

S12 S10 ? ? ?2 ,则 S 2013 的值等于 12 10

) A.-2012 B.2013 C.2012 D.-2013 6.已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式中,正确的是 A. log 2 a ? 0 7、 ( x ? A B. 2
a ?b



) D. 2 b
a b ? a

?

1 2

C. log 2 a ? log 2 b ? ?2

?

1 2


1 ? 2)3 的展开式中,不含 x 的项是 x
-20 B -4 C



?12

D

-8

8.已知函数 f ( x) ? A. ?

2

?

1 ? cos x ,则 f (? ) ? f ?( ) ? ( ) x 2 3 3 1 B. C. ? D. ? ? ? ?

| ? ? ) 9. 函 数 f ( x)? A s i n ( x ? ( 其 中 A ? 0 , ? ?|

?
2

)的图象如图所示,为了得到

-1-

) g ( x) ? cos 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像 ( ? ? A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 12 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 12 10.现有五个球记为 A, B, C , D, E , 随机放进三个盒子,每个盒子只能放一个球。则 A 或 B 在 盒子中的概率为( ) A

1 10

B

9 10

C

3 10

D

1 5

11、 f ( x) ? a

x ?2

, g ( x) ? log a x (a ? 0且a ? 1), 若f (4) ? g (?4) ? 0, 则 y ? f ( x), y ? g ( x) 在

同一坐标系内的大致图象是 y y y y

1 -1 o 1 2

1

1 1 2

1 1 2

x

-1

o

x

-1 o

x

-1 o

1

2

x

A

B

C

D

12、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在 ( a 2 b2


点P使

a c ? ,则该椭圆的离心率的取值范围为( sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1
B.(

) A.(0, 2 ? 1

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填写在答题纸上。 13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S10 ?

?

3 0

(1 ? 2 x)dx ,则 a5 ? a6 ?

?x ? 1 ???? ???? ? ? 14.已知 O 为坐标原点,点 M (1, ?2) ,点 N ? x, y ? 满足条件 ? x ? 2 y ? 1 ,则 OM ? ON 的 ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?
最大值为_____________。 15.由 1,2,3,4,5 组成的五位数中,恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位 上的数字的五位数的个数是 (.用数字作答) 16. 已知一个三棱锥的三视图如图 2 所示, 其中俯视图是顶角为120 的
主视图 2 3
?

2 1 左视图 - 2 -

等腰三角形,则该三棱锥的表面积为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 b ? ac, 且a ? c ? ac ? bc
2 2 2

(1)求 ?A 的大小; ( 2 ) 设 f ( x)? c o? ( x? s

f ( x ) [ 0 , 的最大值。 在 ] 2

?

A 2

?)

() s i n (? ? ( 且 f0 x) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 求 ? x )

18.(本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 {a n } 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是

a 2 ,  a 4 的等差中项。
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n ? n ? 2
2
n ?1

? 50 成立的正整数 n 的最小

值。

19、 (本小题满分 12 分)如图甲,直角梯 形 ABCD 中, AB ? AD , AD ∥ BC , F 为 AD 中点, E 在 BC 上,且 EF ∥ AB ,已知 AB ? AD ? CE ? 2 ,现沿 使平 EF 把四边形 CDFE 折起如图乙, 面 CDFE ? 平面ABEF 。 ( ? )求证: (Ⅱ)求 CD 与 AD ∥平面 BCE ; 平面 ABC 所成角的正弦值。 20、 (本小题满分 12 分)徐州、苏州两地相距 500 千米。一辆货车从徐州匀速行驶到苏州, 规定速度不得超过 100 千米/时。已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固 定部分组成:可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a
-3-

元( a ? 0 )(1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/时)的函数,并指出这个函 。 数的定义域。 (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

21.(本小题满分 13 分)已知长方形 ABCD, AB ? 2 2 ,BC=1。以 AB 的中点 O 为原点建立如 图所示的平面直角坐标系 xoy. (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得弦 MN 为 直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

22、本小题满分 13 分) ( 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

(其中 e 为常数, e ? 2.71828 ??? ),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数 b 的值;
2 (Ⅱ)当 x ? ? , e ? 时, 2( f ( x) ? 2ex) ? 2 (2 g ( x) ? e ) ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值 6e ?e ?

1 2 x ? 2ex , g ( x) ? 3e 2 ln x ? b 2

?1 ?

a

范围.

-4-

郯城一中高三数学(理科)答案

? ? sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

① ②

? ?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n2 n?1

? ① - ② 得 sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?
10 分
n ?1 n ?1 ? sn ? n ? 2 n?1 ? 50 ,? 2 ? 2 ? 50,? 2 ? 52

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 1? 2

2 又 当n ? 4时,

n ?1

? 25 ? 32 ? 52 , ??????????11 分

-5-

当 n ? 5 时, 2 12 分

n ?1

? 26 ? 64 ? 52 .故使 sn ? n ? 2 n ?1 ? 50 ,成立的正整数 n 的最小值为 5. ?

.20、依题意知所用时间为

500 500 500 500a ,全程运输成本为 y ? a ? ? 0.01v 2 ? ? ? 5v 。 v v v v
-6-

故所求函数及其定义域为 y ?

500a ? 5v, v ? ? 0,100?. (2)依题意: v`a 都为正数。所以 v

有 x1 ? x2 ? ?

8k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??????7 分

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,????8 分 所以, x1 x2 ? (kx ? 2)( kx2 ? 2) ? 0 , 1

-7-

( 即 1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0
2

所以,

4(1 ? k 2 ) 16 k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
????????9 分



8 ? 4k 2 ?0, 1 ? 2k 2
2

得 k ? 2, k ? ? 2 .

????????11 分

-8-

所以, F (x) 在 [ ,1) 上为减函数, F (x) 在 ?1, e ? 上为增函数

1 e

又 F( ) ?

1 e

e 2 ? 2e e 2 ? 2e 1 ? 2e 故 F ( x) max ? F (e) ? ? 0 ? F ( e) ? e ?1 e(e ? 1) e ?1

? e 2 ? 2e ? ,?? ? 所以实数 a 的取值范围是 ? ? ? e ?1 ?

-9-


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