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【高考调研】第八章 立体几何-3


第八章

立体几何

第3课时

空间点、线、面间位置关系

1.平面的基本性质 ? 公理1:如果一条直线上的 两点在一个平面内, 那么这条直线就在此平面内. 不在同一直线上 ? 公理2:经过 的三点,有且只 有一个平面. ? 公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点, 那么它们有且只有 该点 条

通过 的公共直 线. 一
?

? ?

2.用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系:

?
? ? ? ? ? ?

点A在平面α内记作
(2)点与线的位置关系: 点A在直线l上记作 (3)线面的位置关系: 直线l在平面α内记作

A ∈αA不在平面α内记作 ,点 A∈ ,点 Al不在直线l上,记作

.
.

A?α A?l

l,直线 ?α l不在平面α内记作_______. l?α α∩β (4)平面α与平面β相交于直线a,记作 . =a l∩ (5)直线l与平面α相交于点A,记作 . α=A
(6)直线a与直线b相交于点A,记作

?

a∩ . b=A

3.直线与直线的位置关系 ? (1)位置关系的分类.
?

(2)异面直线所成的角. ? ①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中 任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 锐角或直角 叫做异面直线a, b所成的角(或夹角).
?

π (0,2] ②范围:_______ .

1.判断下面结论是否正确(打“√”或 “×”). ? (1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线 a,那么就说平面α,β相交,并记作α∩β=a. ? (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相 交于过A点的任意一条直线. ? (3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相 交于A点,并记作α∩β=A.
?

(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC. ? (5)经过两条相交直线,有且只有一个平面. ? 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
?

?

?
? ?

2.空间四点中,三点共线是这四点共面的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A

3.(2014·广东文)若空间中四条两两不同的 直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4, 则下列结论一定正确的是( ) ? A.l1⊥l4 ? B.l1∥l4 ? C.l1与l4既不垂直也不平行 ? D.l1与l4的位置关系不确定 ? 答案 D
?

4.已知直线a,b,c,有下面四个命题: ? ①若a,b异面,b,c异面,则a,c异面; ? ②若a,b相交,b,c相交,则a,c相交; ? ③若a∥b,则a,b与c所成的角相等; ? ④若a⊥b,b⊥c,则a∥c. ? 其中真命题的序号是________. ? 答案 ③ ? 解析 ①a,c可能相交、平行或异面;②a,c 可能相交、平行或异面;③正确;④a,c可能 相交、平行或异面.
?

?

5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M, N分别是A1B1,B1C1的中点.问:

(1)AM和CN是否是异面直线? ? (2)D1B和CC1是否是异面直线?
?

题型一
?

平面的性质

例1 下列命题: ? ①空间不同三点确定一个平面; ? ②有三个公共点的两个平面必重合; ? ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ? ④三角形是平面图形; ? ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ? ⑥垂直于同一直线的两直线平行;

⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必 和另一条相交; ? ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. ? 其中正确的命题是________.
?

?

【解析】 由公理3知,不共线的三点才能确 定一个平面,所以知命题①错,②中有可能出 现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线 时),②错.③空间两两相交的三条直线有三个 交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共 面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或 三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可 得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边 形,如图(1)所示.

?

在正方体ABCD—A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB, BB′⊥CB,但AB与CB不平行,∴⑥错.AB∥CD, BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,∴⑦错.如 图(2)所示,AB=CD,BC=AD,四边形ABCD不 是平行四边形,故⑧也错.

?

【答案】 ④

?

探究1 对于空间几何中的一些概念、公理、 定理和推论的理解一定要结合图形,理解其本 质,准确把握其内涵,特别是定理、公理中的 限制条件,如公理3中“不共线的三点”, “不共线”是很重要的条件.另外,对于平面 几何中的一些正确命题,包括一些定理推论, 在空间几何中应当重新认定,有些命题因为空 间中位置关系的变化,可能变为错误命题,学 习中要养成分类讨论的习惯,再就是结合较熟 悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨 析,也可利用手中的笔、书本等进行演示,验 证.

(2013·安徽理)在下列命题中, 不是公理的是( ) ? A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 ? B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一 个平面 ? C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么这条直线上所有的点都在此平面内 ? D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那 么它们有且只有一条过该点的公共直线 ? 【解析】 B,C,D都是公理. ? 【答案】 A
?

思考题1

题型二
? ? ? ?

平面基本性质的应用

例2 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点.

?

【证明】 (1)如图所示.

?

因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在 正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF, BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

(2)在正方体AC1中,设A1CC1确定的平面为α, ? 又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α. ? 又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共 点.同理,P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ. ? 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β. ? 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
?

(3)∵EF∥BD且EF<BD, ? ∴DE与BF相交.设交点为M, ? 则由M∈DE,DE?平面D1DCC1, ? 得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面 B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1, ∴M∈CC1. ? ∴DE,BF,CC1三线交于点M. ? 【答案】 (1)略 (2)略 (3)略
?

探究2 (1)点共线问题的证明方法: ? 证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某 两个平面的公共点,再依据公理3证明这些点 都在这两个平面的交线上. ? (2)线共点问题的证明方法: ? 证明空间三线共点,先证两条直线交于一点, 再证第三条直线经过这点,将问题转化为证明 点在直线上.
?

(3)点线共面问题的证明方法: ? ①纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、 线在此平面内; ? ②辅助平面法:先证有关点、线确定平面α, 再证明其余点、线确定平面β,最后证明平面α, β重合.
?

?

(1)下列各图是正方体和正四面 体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这 四个点不共面的图形是( )
思考题2

?

(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别是AB和AA1的中点.求证:

①E,C,D1,F四点共面; ? ②CE,D1F,DA三线共点.
?

?

【证明】 ①如图所示,连接EF,CD1,A1B.

∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1. ? 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1. ? ∴E,C,D1,F四点共面.
?

②∵EF∥CD1,EF<CD1, ? ∴CE与D1F必相交,设交点为P. ? 则由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD. ? 同理P∈平面ADD1A1. ? 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ? ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点. ? 【答案】 ①略 ②略
?

题型三 空间两直线的位置关系
?

例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.

?

【解析】 方法一:在EF上任意取一点M,直 线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且 仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同 的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN 与这3条异面直线都有交点.如图所示.

方法二:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF 作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们 相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必 须相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性, 知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相 交. ? 【答案】 无数
?

?

探究3 解决立体几何问题常用的方法是空间 问题的平面化,转化为平面问题后就可以用我 们熟悉的方法来解决,这体现了空间立体几何 的转化与化归的思想.

(2014·广东)若空间中四条两两 不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3, l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) ? A.l1⊥l4 ? B.l1∥l4 ? C.l1与l4既不垂直也不平行 ? D.l1与l4的位置关系不确定
?

思考题3

?

【解析】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3. 若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有 l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.

?

【答案】 D

题型四
?

异面直线所成的角

例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.

? ?

(1)求证:AC⊥平面BDD1; (2)求BD1与CE所成角的余弦值.

【解析】 (1)DD1⊥平面 ABCD ?AC⊥DD1 ? ? AC⊥BD ??AC⊥平面 BDD1. BD∩DD1=D? ?

(2)连接 AD1,与 A1D 交点为 M,连接 ME,MC,则∠ MEC(或其补角)即为异面直线 BD1 与 CE 所成的角,设 AB= 5 1 3 3 2 2 2 1,CE= 2 ,ME=2BD1= 2 ,CM =CD +DM =2.

CE2+ME2-CM2 15 在△MEC 中,cos∠MEC= = 15 , 2CE· ME 15 因此异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值为 15 .

15 【答案】 (1)略 (2) 15

探究4 高考中对异面直线所成角的考查,一 般出现在综合题的某一步,其步骤为: ? (1)平移:选择适当的点,线段的中点或端点, 平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. ? (2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角. ? (3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角 的三角形,并解之. ? (4)取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是 0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取 它的补角作为异面直线所成的角.
?

?

(1)如图所示,在底面为正方形, 侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦 值为( )

思考题4

1 A.5 3 C.5

2 B.5 4 D.5

【解析】 连接 BC1,易证 BC1∥AD1,则∠A1BC1 即为 异面直线 A1B 与 AD1 所成的角.连接 A1C1,设 AB=1,则 AA1 = 2 , A1C1 = 2 , A1B = BC1 = 5 , 故 cos ∠ A1BC1 = 5+5-2 4 = . 2× 5× 5 5
【答案】 D

(2)如图所示,点 A 是平面 BCD 外一点,AD=BC=2, E,F 分别是 AB,CD 的中点,且 EF= 2,则异面直线 AD 和 BC 所成的角为________.

【解析】 如图,设G是AC的中点, ? 连接EG,FG.
?

因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 1 故 EG∥BC 且 EG=2BC=1, 1 FG∥AD,且 FG=2AD=1. 即∠EGF 为所求. 又 EF= 2,由勾股定理逆定理 可得∠EGF=90° .
?

【答案】 90°

1.公理2是立体几何最基本、最重要的定理, 它的主要作用是确定平面. ? 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢 掉“不共线”条件. ? 3.两条异面直线所成角的范围是(0°, 90°].
?

1.(2015·沧州七校联考)若直线l不平行于平面 α,且l?α,则( ) ? A.α内的所有直线与l异面 ? B.α内不存在与l平行的直线 ? C.α内存在唯一的直线与l平行 ? D.α内的直线与l都相交 ? 答案 B ? 解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线, 因l?α,故l∥α,这与题意矛盾,故选B.
?

2.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下 列命题中,不正确的是( ) ? A.若AC与BD共面,则AD与BC共面 ? B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直 线 ? C.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC ? D.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC ? 答案 D ? 解析 ABCD可能为平面四边形,也可能为空间 四边形,D不成立.
?

? ? ? ? ?

3.(2015·上海杨浦质量调研)若空间三条直线a,b, c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.一定垂直 答案 D 解析 两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一 条直线也与第三条直线垂直,故选D.

4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与 AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) ? A.3 B.4 ? C .5 D.6 ? 答案 C ? 解析 如图,用列举法知符合要求的棱为BC, CD,C1D1,BB1,AA1.
?

?

5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是 边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与 BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD 所成的角为60°.

(1)求四棱锥的体积; ? (2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角 的余弦值.
?

2 答案 (1)2 (2) 4
解析 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,∵PO⊥平面 ABCD, ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBO=60° . 在 Rt△AOB 中,BO=AB· sin30° =1,∵PO⊥OB, 1 ∴PO=BO· tan60° = 3.∵底面菱形的面积 S=2×2× 3 1 ×2=2 3, ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD=3×2 3× 3 =2.

?

(2)取AB的中点F,连接EF,DF,如图所 示.∵E为PB中点,

?

∴EF∥PA,∴∠DEF为异面直线DE与PA所成 的角(或其补角).

在 Rt△AOB 中,AO= 3=OP, 6 ∴在 Rt△POA 中, PA= 6, ∴EF= 2 .在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3,由余弦定理,得 cos∠ 62 6 2 DE2+EF2-DF2 ? 3? +? 2 ? -? 3? 4 2 DEF= = = =4. 2DE· EF 6 3 2 2× 3× 2
2

2 ∴异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 4 .


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