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泄露天机——2016年金太阳高考押题-精粹-理科数学(学生用卷)

时间:2016-06-02


泄露天机——2016 年高考押题 精粹 数学理科
本卷共 48 题,三种题型:选择题、填空题和解答题。选择题 30 小题,填空题 4 小题, 解答题 14 小题。

一、选择题(30 个小题) 1.已知集合 A ? {x | log2 x ? 1}, B ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0}, 则 (?R A) ? B 等于(
A.

{x | ?2 ? x ? 1} B. {x | ?2 ? x ? 2} C. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | x ? 2} )

2. 已 知 复 数 z ? 4 ? bi ? b ? R ? 的 实 部 为 ? 1 , 则 复 数 z ? b 在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于
1? i
( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

3.若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ? i ,则 z 的实部为(
A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C. 1

D.

2 ?1 2


4.下列函数中,既是奇函数又在区间 (0,

? ) 上是减函数的是( 2
D.

A.

y ? x3

B. y ? ? sin x

C. y ? 2 x ? 1

y ? cos x

5.若 A? a, b? , B ? c, d ? 是 f ? x ? ? ln x 图象上不同两点,则下列各点一定在 f ? x ? 图象上的是
( A. )

? a ? c, b ? d ?

B.

? a ? c,bd ?

C.

? ac, b ? d ?

D.

? ac, bd ?


2 6.双曲线 C : x ?

y2 ? 1 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为( 3
3 C. 3
3 D. 2
2

1 A. 2

2 B. 2

7.在区间 ?? 1,1? 内随机取两个实数 x , y ,则满足 y ? x
A.

?1 的概率是(



2 9

B.

7 9

C.

1 6

D.

5 6


8.执行如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值是(

A.2

B.-

1 2

C.-3

D.

1 3
)

9. 一个算法的程序框图如右图所示,若输入的 x 值为 2016 ,则输出的 i 值为 (

A.3

B.4

C.5

D.6 )

10.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 , a与b 的夹角为 60?, a 在 a +b 上的投影等于 (
A.
2

B.2

C. 3

D.4+2 3

?2 x ? y ? 5 ≤ 0 y ?1 11.不等式组 ? 的解集记为 D, z ? ,有下面四个命题: ?3 x ? y ≥ 0 x ?1 ?x ? 2 y ≤ 0 ?
p1: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p3: ?( x, y ) ? D , z ≤ 2 其中的真命题是 ( A.p1,p2 ) B.p1,p3 C.p1,p4 D.p2,p3 p2: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p4: ?( x, y ) ? D , z ? 0

12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何
体. 它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟 合 ) 在一起的方形伞 (方盖 ).其直观图如下左图 ,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助

线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是(



13.一个几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm),则该几何体的体积是(
A.



23 cm3 3 22 B. cm3 3 47 C. cm3 6

D.7 cm3

14.若数列{ an }满足

1 an-1



1 =d ( n ? N * , d an

为常数) ,则称数列

{ an }为调和数列. 已知数列{ A.10 B.20

1 }为调和数列, 且 x1+x2+…+x20=200, 则 x5 ? x16 等于 ( xn
C.30 D.40



15.《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题, 《张丘建算经》卷上第
22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) , 第一天织 5 尺布, 现一月 (按 30 天计) 共织 390 尺布”, 则从第 2 天起每天比前一天多织 ( 尺布. A. )

1 2

B.

8 15

C.

16 31

D.

16 29

16.在某次联考测试中,学生数学成绩 X ? N ?100,? 2 ? ?? ? 0 ? ,若
P(80 ? X ? 120) ? 0.8, 则 P(0 ? X ? 80) 等于( )

A.0.05

B.0.1

C.0.15

D.0.2 )

17.由 1,2,3,0 组成没有重复数字的三位数,其中 0 不在个位上,则这些三位数的和为(
A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 )

2x ? ax ? cos 2 x, 若 f ( π ) =2,则 f ( ? π ) 等于( 18.已知 f ? x ? ? x 2 ?1 3 3
A. ? 2 B. ? 1 C.0 D. 1

19. 函数 f ( x) ? A sin? 2x? ? ? ( ? ?

?
2

部分图象如图所示,对不同的 x1 , x2 ? ?a, b? ,若 )

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,有

f ?x1 ? x2 ? ? 3 ,则(



5? ? , ) 上是减函数 12 12 5? ? C. f ? x ? 在 ( ? , ) 上是增函数 12 12
A. f ? x ? 在 ( ?
7

B. f ? x ? 在 ( D. f ? x ? 在 (

? 5?
3 , 6

) 上是减函数

? 5?
3 , 6

) 上是增函数


20.若 ?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 的值是(
A. ? 2 B. ? 3 C.125 D. ? 131

21.设点 A 、 F ? c,0? 分别是双曲线

x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? 的右顶点、右焦点 , 直线 a 2 b2 c


交该双曲线的一条渐近线于点 P .若 ?PAF 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为( A. 3 B. 3 C.
2

D. 2

22.过抛物线 y 2=4x 焦点 F 的直线交其于 A, B 两点,O 为坐标原点.若 AF ? 3 ,则
?AOB 的面积为(
A. ) B.
2

2 2

2
2

C.

3 2 2
2

D.2

2

23.已知圆 C1 : x ? 2cx ? y ? 0 ,圆 C2 : x ? 2cx ? y ? 0 ,椭圆
2

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,若圆 C1 , C2 都在椭圆 C 内,则椭圆 C 离心率的 a b
范围是( )

1 A. [ ,1) 2
??? ?

1 B. (0, ] 2
??? ?

C. [
??? ?

2 ,1) 2
??? ?

D. (0,

2 ] 2

24.已知向量 AB 、 AC 、 AD 满足 AC ? AB ? AD , AB ? 2 , AD ? 1 , E 、 F 分别是线
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5 段 BC 、 CD 的中点.若 DE ? BF ? ? ,则向量 AB 与向量 AD 的夹角为( 4
A. )

??? ?

? ??? ? ???

??? ?

π 3

B.

2π 3

C.

π 6

D.

5π 6

25.已知函数 f ? x ? ? ?

? x ? 3, x ? 0 ?ax ? b, x ? 0

满足条件:对于 ?x1 ? R , ? 唯一的 x2 ? R ,使得 )

f ?x1 ? ? f ?x2 ? .当 f ?2a ? ? f ?3b ? 成立时,则实数 a ? b ? (

A.

6 2

B. ?

6 2

C.

6 +3 2


D. ?

6 +3 2

26.函数 y ? 2 x 的图象大致为(
ln x

27.已知定义在 (0, ? ) 上的函数 f (x) , f ?( x ) 为其导数,且 f ( x) ? f ?(x) tan x 恒成立,则( )
2
A. 3 f ( ) ? 4

?

2f( ) 3

?

B. 2 f ( ) ? f ( ) 6 4 D. f ?1? ? 2 f ( ) ? sin1 6 )

?

?

C. 3 f ( ) ? f ( ) 6 3

?

?

?

28.若过点 P ? a, a ? 与曲线 f ? x ? ? x ln x 相切的直线有两条,则实数 a 的取值范围是(
A.

? ??,e?

B.

?e, ???

C. ? 0,

? ?

1? ? e?
??? ?

D.

?1, ???

29.已知四边形 ABCD 的对角线相交于一点 , AC ? 1, 3 , BD ? ? 3,1 , 则 AB ? CD 的
最小值是( ) A. 2 B. 4 C. ?2 D. ?4

?

?

??? ?

?

?

??? ? ??? ?

30.定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意 x1, x2 ? x1 ? x2 ? 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ,且函数

y ? f ? x ? 1? 的图象关于(1,0)成中心对称,若 s, t 满足不等式 f ? s 2 ? 2s ? ? ? f ? 2t ? t 2 ? ,
则当 1 ? s ? 4 时, A. ? ?3, ?

t ? 2s 的取值范围是( ) s?t
B. ? ?3, ?

? ?

1? ? 2?

? ?

1? 2? ?

C. ? ?5, ?

? ?

1? ? 2?

D. ? ?5, ?

? ?

1? 2? ?

二、填空题(4 个小题)

31.已知边长为 3 的正 ?ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上,且 OA 与平面 ABC 所成的角
为 30? ,则球 O 的表面积为________.

? y?x ? 32.设 m ? 1 ,当实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 2 x 时, 目标函数 z ? x ? my 的最大值等于 2, ?x ? y ? 1 ?
则 m 的值是_______.

33.已知数列 {an} 中,对任意的 n ? N* ,若满足 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? s( s 为常数) ,则称该
数列为 4 阶等和数列,其中 s 为 4 阶公和;若满足 an ? an?1 ? an?2 ? t ( t 为常数),则称该数列为

3 阶等积数列,其中 t 为 3 阶公积,已知数列 { pn } 是首项为 1的 4 阶等和数列,且满足

p4 p3 p2 ? ? ? 2 ;数列 {qn } 是公积为 1的 3 阶等积数列,且 q1 ? q2 ? ?1 ,设 Sn 为数列 p3 p2 p1
{ pn ? qn } 的前

n 项和,则 S

2016

? ___________.

34.用 g ? n ? 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9,

g ?9? ? 9,10 的因数有 1,2,5,10, g ?10? ? 5 ,那么
g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? ? ? ? ? g ? 22015 ? 1? ?
.

三、解答题(14 个小题) 35.(本小题满分 12 分)
在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2cos (1)求 A ; (2)若 a ? 2 7 , ?ABC 的面积 2 3 ,求 b ? c .

? B ? C ? ? 1? 4sin B sin C .

36.(本小题满分 12 分)

如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 BC 上, ?CAD ? (1)求 sin ?C 的值; (2)若 ?ABD 的面积为 7 ,求 AB 的长.

?
4

, AC ?

7 cos?ADB ? ? 2 , . 10 2

37.(本小题满分 12 分)
已知公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 a2 ? 1, a4 ? 1, a8 ? 1 成等比数列. (1)求数列

?an? 通项公式;
3 45 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 的正整数 n 的值. an 32

(2)设数列{ bn }满足 bn ?

38.(本小题满分 12 分)
设 n ? N ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 , a1 , a2 , a5 成等比数列.
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列

?bn? 满足 an

b

? ( 2)1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

n

39.(本小题满分 12 分)

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015 年双十一期间,某购物平台的销售业绩高 达 918 亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价 系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的 次 数为随机变量 X : ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差.

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

40.(本小题满分 12 分)
某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛,等级分为 1 至 10 分,随机调阅了 A、B 两所 学校各 60 名学生的成绩,得到样本数据如下:

(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较; (2) 记事件 C 为“ A 校学生计算机优秀成绩高于 B 校学生计算机优秀成绩”. 假设 7 分或 7 分以上为优秀成绩,两校学生计算机成绩相互独立.根据所给样本数据,以事件发生的频率 作为相应事件发生的概率,求事件 C 的概率.

41.(本小题满分 12 分)

如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,平面 ABCD ? 平面

ABPE = AB ,且 AB ? BP ? 2, AD ? AE ? 1 , AE ? AB, 且 AE ∥ BP .

(1)设点 M 为棱 PD 中点,求证: EM∥平面 ABCD ; (2)线段 PD 上是否存在一点 N ,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 存在,试确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由.

2 ?若 5

42.(本小题满分 12 分)
正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AD ? CD, AB / /CD,

AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E , C 重合. 2

(1)当点 M 是 EC 中点时,求证: BM // 平面ADEF ;

(2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 体积.

6 时,求三棱锥 M ? BDE 的 6

43.(本小题满分 12 分)

已知点 F 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点, 点 M (m, 0) 、N (0, n) 分别是 x 轴、 y 轴 2 1? a

上的动点,且满足 MN ? NF ? 0 .若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点,直线 OA 、 OB 与直线

??? ? ??? ? ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个 x ? ?a 分别交于点 S 、T ( O 为坐标原点)
定值;若不是,请说明理由.

44.(本小题满分 12 分)
椭圆 C :
x2 y 2 以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 2 3 . ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 6 , a 2 b2 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点, A 是椭圆 C 的右顶点,直线

AP、AQ 分别与 y 轴交于点 M、N ,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点?若恒
过 x 轴上的定点,请求出该定点的坐标;若不恒过 x 轴上的定点,请说明理由.

45.(本小题满分 12 分)

已知函数

f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3 ( a ? 0 ) .
f ? x ? 的单调性;

(1)讨论 (2)若

2 f ? x ? ? ? a ?1? x ? 4 ? e ? 0 对任意 x ? ? ? e, e ? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围( e 为

自然常数) ;
2 2 2 2 (3)求证: ln 2 ? 1 ? ln 3 ? 1 ? ln 4 ? 1 ? ??? ? ln n ? 1 ? 1 ? 2 ln n ! ( n ? 2 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

. n ? ?? )

46.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? a( x ?1)(e x ? a) .(常数 a ? R 且 a ? 0 ). (1)证明:当 a ? 0 时,函数 f ?x ? 有且只有一个极值点; (2)若函数 f ?x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,证明: 0 ? f ? x1 ? ?

4 4 且 0 ? f ? x2 ? ? 2 . e2 e

47.(本小题满分 10 分)

从下列三题中选做一题 (一)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,两个圆相内切于点 T ,公切线为 TN ,外圆的弦 TC , TD 分别交内圆于 A 、

B 两点,并且外圆的弦 CD 切内圆于点 M .
(1) (2) T 证明: AB // CD ; 证明: AC ? MD ? BD ? CM .

N
A C M B D

(二)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? . 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正 半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且

AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值.

(三)选修 4-5:不等式选讲 设函数

f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 的最大值为 m .

(1)求 m ; (2)若 a, b, c ?

?0, ???, a2 ? 2b2 ? c2 ? m ,求 ab ? bc 的最大值.

48.(本小题满分 12 分)

从下列三题中选做一题 (一)选修 4-1:几何证明选讲 在△ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证: PC = PD ; AC BD

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

(二)选修 4-4:坐标系与参数方程 在以直角坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线 C1 的方程是

? ? 1 ,将 C1 向上平移 1 个单位得到曲线 C2 .
(1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M , N ,切点为 T .求 TM

? TN

的取值范围.

(三)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 1 的解集 A 满足 (1)求实数 m 的取值范围 B ; (2)若 a, b, c ?

? ?1,1? ? A .

? 0, ?? ? , m0 为 B 中的最小元素且 1 ?
a 9 . 2

1 1 ? ? m0 , 2b 3c

求证: a ? 2b ? 3c ?

参考答案

一、选择题(36 个小题)
1. 【答案】B 【解析】 A ?

?x | x ? 2?, B ? ?x | ?2 ? x ? 3?, 得 ?R A ? ?x | x ? 2? ,

(?R A) ? B ? ?x | ?2 ? x ? 2?.
2. 【答案】C 【解析】 z =

(4 ? bi)(1 ? i) 4 ? b 4 ? b 4 + bi ? ? i ,则由 4 ? b ? ?1 ,得 b ? 6 ,所以 = (1 ? i)(1 ? i) 2 2 1- i 2 z ? ?1 ? 5i ,所以 z ? b ? ?7 ? 5i ,其在复平面上对应点为 (?7, ?5) ,位于第三象限.

3. 【答案】A 【解析】由 z

?1? i ? ? 1? i ? i =
2 ?1 ,故选 A. 2

2 ? i ,得 z

?

2 ?1 2 ?1 2 ? i ( 2 ? i)(1 ? i) ? i, = ? 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i)

所以 z 的实部为 4. 【答案】B

【解析】选项 C、D 不是奇函数, y ? x 在 R 上都是增函数,只有选项 B 符合. 5. 【答案】C
3

【解析】因为 A

? a, b? , B ?c, d ? 在 f ? x? ? ln x 图象上,所以 b ? ln a

, d ? ln c, 所以

b ? d ? ln a ? ln c ? ln ac ,因此 ? ac, b ? d ? 在 f ? x ? ? ln x 图象上,故选 C.
6. 【答案】A

1 【解析】? a ? 1, c ? 2,?双曲线 C 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 . 2 7. 【答案】D
【解析】由题意知 ?

??1 ? x ? 1 2 表示的区域为边长为 2 的正方形,面积为 4,满足 y ? x ?1 ??1 ? y ? 1
1 ?1

的区域即为图中阴影部分,面积为 2 ? 1 ? ?

x ?1 ? x ?dx ? 2 ? (x ? 1 3
2

3

) |1 ?1 ?

10 ,所以所求 3

10 5 概率为 P ? 3 ? ,故选 D. 4 6
8. 【答案】A

由程序框图知: s ? 2, i ? 1 ; s ?

1? 2 1? 3 1 ? ?3, i ? 2 ; s ? ? ? ,i ? 3; 1? 2 1? 3 2

1 1 ? (? ) 2 ? 1 ,i ? 4 ; s? 1 1 ? (? ) 3 2 1 3 ? 2, i ? 5 ……,可知 S 出现周期为 4, s? 1 1? ) 3 当 i ? 2017 ? 4 ? 504 ? 1 时,结束循环输出 S,即输出的 s ? 2 . 1?
9. 【答案】A

【解析】:运转程序, a ? 2016, i ? 1; 1 1 b? , i ? 2, a ? ; ? 2015 ? 2015 2015 2015 b? , i ? 3, a ? ; 2016 2016 b ? 2016, 结束,输出i ? 3.
10. 【答案】 :C 【解析】 : a 在 a +b 上的投影为 11. 【答案】D

a ? (a ? b ) a 2 ? a ? b ? ? |a?b| (a ? b ) 2

4?2 a ? 2a ? b ? b
2 2

?

6 2 3

? 3.

【解析】可行域如图所示, A(1,3),B(2,1),所以 所以 ,故 p2,p3 正

确,故答案为 D. 12. 【答案】B 【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除 A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在 俯视图中应为实线,故选 B. 13. 【答案】A 【解析】 该几何体是棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 截去一个三棱锥 C1 ? B1EF 后所得 1B 1C 1D 1

1 1 23 的多面体,其体积为 V ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?1?1? 2 ? . 3 2 3

14. 【答案】B 【解析】∵数列 ?

1 1 ?1? ? 为调和数列,∴ 1 - 1 =xn ?1 ? xn=d ,∴ ?xn ? 是等差数列. ?xn ? x n ?1 xn
20( x1 ? x20 ) , ∴ x1 ? x20 ? 20 . 2

又∵ x1 ? x2 ??? x20 ? 200 =

又? x1 ? x20 ? x5 ? x16 ,? x5 ? x16 ? 20 . 15. 【答案】D 【解析】设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布,则由题意知 30 ? 5 ?

30 ? 29 d ? 390, 解得 2

16 . 29 16. 【答案】B 【解析】由题意知 P(80 ? ? ? 120) ? 0.8 ,则由正态分布图象的对称性可知, d? P(0 ? X ? 80) ? 0.5 ? 1 ? P (80 ? X ? 120) ? 0.1 ,故选 B. 2

17. 【答案】A 【解析】分两种情况: (1)所有不含 0 的三位数的和为

?1? 2 ? 3? ? A22 ? ?100 ?10 ?1? ? 1332 ,
(2)含 0 且 0 只能在十位上的三位数的和为

?1? 2 ? 3? ? A21 ? ?100 ?1? ? 1212 ,那么可得符合

条件的这些三位数之和为 1332 ? 1212 ? 2544 . 18. 【答案】A 【解析】 因为

f ? x? ?

2x 2x 2? x ? ax ? cos 2 x f x ? f ? x ? ? ? 2cos 2 x ? ? ? ? , 所以 2x ? 1 2 x ? 1 2? x ? 1

2x 1 ? x ? ? 2cos 2 x ? 1 ? 2cos 2 x ,所以 f ( π ) + f ( ? π ) =1+ 2 cos 2 π =0, 2 ? 1 1 ? 2x 3 3 3
π π 所以 f (? ) ? ? f ( ) ? ?2. 3 3 19. 【答案】C

【解析】由图可知 A ? 2 ,又由 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,知函数的图象关于直线 x ?

a ? b x1 ? x2 ? 2 2

对称, 所以 a ? b ? x1 ? x2 . 由五点法作图, 得 2a ? ? ? 0 ,2b ? ? ? ? , 所以 a ? b ? 则 f (a ? b) = 2sin(?

?
2

?? ,

? 2? ? ? ) ? 2sin ? ? f ? x1 ? x2 ? ? 3 ,即 sin ? ?
?
3 ) ,在 ( ?

3 ,所以 2

??
(?

?
3

, 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

5? ? ? ? ? 所以 f ? x ? 在 , ) 上,2 x ? ? (? , ) , 12 12 3 2 2

5? ? , ) 上是增函数,故选 C. 12 12 20. 【答案】C
【解析】令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 ;令 x ? 1 ,得 ?2 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ,即
7 a1 ? a2 ? ? ? a8 ? ?3 .又 a8 ? (?2)7 C7 ? ?128 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?3 ? a8 ? 125 ,

故选 C. 21. 【答案】D 【解析】显然

PF ? PA , PF ? AF

,所以由 ?PAF 是等腰三角形得

PA ? AF

.易知

a 2 ab a2 ab 2 2 2 A (a , 0) , P ( , ) ,所以 ( ? a) ? ( ) ? (c ? a) , c c c c
a a ? ( ) 2 ( a ? c ) 2 ? ( ) 2 (c 2 ? a 2 ) ? (c ? a ) 2 c c 1 1 e ?1 ? 2? 2? ? 1. e e e ?1 解得 e ? 2 .故选 D. 22. 【答案】 C
【解析】设直线 AB 的倾斜角为 ? (0 ? ? ? ? ) 及

a a c?a ? ( )2 ? ( )2 ? ?1 c c c?a

BF ? m ,∵ AF ? 3 ,
2 2 1 ,则 sin ? ? . 3 3

∴点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3,∴ 2 ? 3cos ? ? 3 ,即 cos ? ? ∵ m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ,∴ m ?

2 3 ? . 1 ? cos ? 2

∴ ?AOB 的面积为 23. 【答案】B

1 1 3 2 2 3 2 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? ? . 2 2 2 3 2

【解析】由题意,得圆 C1 , C2 的圆心分别为 (?c, 0) 和 (c, 0) ,半径均为 c ,满足题意的圆与 椭圆的临界位置关系如图所示,则知要使圆 C1 , C2 都在椭圆内,则需满足不等式 2c ? a ,

所以离心率 0 ? e ?

c 1 ? ,故选 B. a 2

24. 【答案】A ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? 2 1 ??? ?2 1 ??? 5 ??? 5 【解析】 DE ? BF ? ( CB ? CD)( CD ? CB ) ? CB ? CD ? CD ? CB ? ? . 2 2 4 2 2 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 π 由 CD ? AB ? 2 , BC ? AD ? 1 ,可得 cos?CB , CD? ? ,所以 ?CB , CD? ? ,从而 2 3 ??? ? ???? π ? AB , AD? ? .故选 A. 3 25. 【答案】D 【解析】由题设条件对于 ?x1 ? R ,存在唯一的 x2 ? R ,使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 知 f ? x ? 在

?? ?,0? 和 ?0,??? 上单调,得 b ? 3 ,且 a ? 0 .由 f ?2a ? ? f ?3b? 有 2a 2 ? 3 ?
得a ? ?

9 ? 3 ,解之

6 6 ? 3 ,选D. ,故 a ? b ? ? 2 2

26. 【答案】D 【解析】当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 0 ,所以 y ? 0 ,排除 B、C;当 x ? 1 时,由于函数 y ? 2 x 比 y ? ln x 随 x 的增长速度快,所以随 x 的增大, y ? 选 D. 27. 【答案】C 【解析】因为 x ? (0,

2x 的变化也逐渐增大,排除 A,故 ln x

?
2

) ,所以 sin x ? 0, cos x ? 0 ,则由 f ( x) ? f ?(x) tan x 得

f ( x) ? f ?(x)

sin x sin x ,即 cos xf ( x) ? sin xf ?(x) ? 0 .令 F (x)= ,则 f ( x) cos x

F ?(x)=(

sin x cos f ( x) ? sin xf ?( x) )? ? ? 0 ,所以 F ( x) 在 (0, ? ) 上递减,所以 2 f ( x) [ f ( x)] 2
?

F ( ) ? F ( ) ,即 6 3
28. 【答案】B

?

sin

6 ? 3 ,即 3 f ( ? ) ? f ( ? ) ,故选 C. ? 6 3 f( ) f( ) 6 3

?

sin

?

?

【解析】设切点为 Q

?t, t ln t ? ,则切线斜率 k ? f ? ?t ? = 1 ? ln t ,所以切线方程为 y ? t ln t ? ?1 ? ln t ?? x ? t ? ,把 P ? a, a ? 代入得 a ? t ln t ? ?1 ? ln t ??a ? t ? ,整理得 a ln t ? t ,

1 ln t ln t 1 ,设 g ? t ? ? ,则问题转化为直线 y ? 与函数 g ? t ? 图象有两个 ? a t t a 1 ? ln t 不同交点,由 g ? ? t ? ? ,可得 g ? t ? 在 ? 0,e ? 递增, ?e, ??? 递减,在 x ? e 处取得极大值 t2 1 1 1 ,结合 g ? t ? 图象,可得 0 ? ? ? a ? e ,故选 B. e a e 29. 【答案】C
显然 a ? 0 ,所以 【解析】取 A(0, 0) ,则 C (1, 3) ;设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 ?

? x2 ? x1 ? ? 3, ? ? ? y2 ? y1 ? 1.

??? ? ??? ? 所以 AB ? ? x1 , y1 ? ? ? x2 ? 3, y2 ? 1? , CD ? x2 ? 1, y2 ? 3 ,

?

?

求得 AB ? CD ? ( x2 ?

??? ? ??? ?

3 ?1 2 3 ?1 2 ) ? ( y2 ? ) ? 2 ? ?2 , 2 2

? ? 3 ?1 ? , ? x2 ? ? x1 ? ? ? 2 当? 且? ? y ? 3 ?1 , ? y ? 1 2 ? ? ? 2 ?
恰好相交于一点,故选 C. 30. 【答案】D

3 ?1 , ??? ? ??? ? 2 时, AB ? CD 取到最小值 ?2 ,此时四边形 ABCD 的对角线 3 ?1 2

【解析】不妨设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 .由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,知 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) 为减函数.因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心

对 称 , 所 以 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以 f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ? f (t 2 ? 2t ) , 所 以
s 2 ? 2s ? t 2 ? 2t ,即 ( s ? t )( s ? t ? 2) ? 0.因为

t ? 2s 3s 3 ,而在条件 ? 1? ? 1? t s ?t s ?t 1? s

?(s ? t )(s ? t ? 2) ? 0 t 1 t 1 3 3 下,易求得 ? [? ,1] ,所以 1 ? ? [ , 2] ,所以 ?[ , 6] , ? t s 2 s 2 2 ?1 ? s ? 4 1? s
所以 1 ?

t ? 2s 1 1 ? [?5, ? ] ,故选 D. ? [?5, ? ] ,即 t s?t 2 2 1? s

3

二、填空题(4 个小题)
31. 【答案】 16? 【解析】设正 ?ABC 的外接圆圆心为 O1 , 易知 AO1 ?

3 ,在 Rt?OO1 A 中,

OA ?

O1 A ? 2 ,故球 O 的表面积为 4? ? 22 ? 16? . cos 30?

32. 【答案】

5 2

1 z x ? ,因为 m m 1 1 1 2 m ? 1, 所以 ?1 ? ? ? 0 , 将函数 y ? ? x 的图象平移经过可行域时, 在G 点( , ) 处 m m 3 3 y 取最大值,此时 z ? 2 ,所以有 2 ? 1 ? 2m ,解得 m ? 5 . 3 3 2 33. 【答案】 ?2520 【解析】由题意可知,
【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分,目标函数可写为 y ? ?
p1 ? 1 , p2 ? 2 , p3 ? 4 , p4 ? 8 , p5 ? 1, p6 ? 2 , p7 ? 4 , p8 ? 8 , p9 ? 1, p10 ? 2 , p11 ? 4 ,

p12 ? 8 , p13 ? 1 ,……,又∵ { pn } 是 4 阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同

理, q1 ? ?1 , q2 ? ?1 , q3 ? 1 , q4 ? ?1 , q5 ? ?1 , q6 ? 1 , q7 ? ?1 , q8 ? ?1 , q9 ? 1 , q10 ? ?1 ,
q11 ? ?1 , q12 ? 1 , q13 ? ?1 ,……,又∵ {qn } 是 3 阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环

下去,由此可知对于数列 { pn ? qn } ,每 12 项的和循环一次,易求出
p1 ? q1 ? p2 ? q2 ? ... ? p12 ? q12 ? ?15 ,因此 S2016 中有 168 组循环结构,故 S2016 ? ?15 ?168 ? ?2520 .

42015 ? 1 34. 【答案】 3
n 【解析】由 g ( n) 的定义易知当 n 为偶数时, g ( n) ? g ( ) ,且当 n 为奇数时, g (n) ? n .令 2 n f (n) ?g ( 1 ) + g (2) ? g (3) ? ? ? g (2 ? 1) ,则 f (n ? 1) ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (2n?1 ?1) = 1 ? 3 ? ? ? (2n?1 ? 1) + g (2) ? g (4) ? ? ? g (2n?1 ? 2) =

2n (1 ? 2n?1 ? 1) ? g (1) ? g (2) ? g (4) ? ? ? g (2n?1 ? 2) ? 4n ? f (n) ,即 f (n ? 1) - 2
f (n) ? 4n ,分别取

n 为 1, 2,?, n 并累加得
4 n (4 ? 1) .又 f (1) ? g (1) =1,所以 3

f (n ? 1) ? f (1) ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ? f ( n ? 1) ?

4 n (4 ? 1) ? 1 ,所以 f (n) ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (2n ?1) = 3

2015 4 n ?1 ? 1) ? (4 ? 1) ? 1 .令 n ? 2015 ,得 g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (2 3

42015 ? 1 . 3

三、解答题(14 个小题)
35. 【答案】 : (1)

? B ? C ? ? 1 ? 4sin Bsin C , 得 2 ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? 4sin B sin C ? 1 , 1 即 2 ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? 1 ,亦即 2cos ? B ? C ? ? 1 ,∴ cos ? B ? C ? ? . 2
【解析】 : (1)由 2cos ∵ 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

2? , (2) b ? c ? 6 . 3

?

3 2? 1 2? (2)由(1)得 A ? .由 S ? 2 3 ,得 bc sin ? 2 3,? bc ? 8 .① 3 2 3 2 2? 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 2 7 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos , 3

,∵ A ? B ? C ? ? ,∴ A ?

2? . 3

?

?

即 b2 ? c 2 ? bc ? 28 .∴ ? b ? c ? ? bc ? 28 .②,将①代入②,
2

得 ? b ? c ? ? 8 ? 28 ,∴ b ? c ? 6 .
2

36. 【答案】 (1)

4 ; (2) 37 . 5

【解析】 (1)因为 cos?ADB ? ?

2 7 2 ? ,所以 sin ?ADB ? .又因为 ?CAD ? , 所以 10 10 4

?C ? ?ADB ?

?
4

, 所以 sin ?C ? sin( ?ADB ?

?
4

) ? sin ?ADB cos

?
4

? cos ?ADB sin

?
4

7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
(2)在 ?ADC 中,由正弦定理得

AD AC , ? sin ?C sin ?ADC

7 4 ? AC ? sin ?C AC ? sin ?C AC ? sin ?C 2 5 ? ? ? ?2 2. 故 AD ? sin ?ADC sin(? ? ?ADB) sin ?ADB 7 2 10
又S
?ABD

?

1 1 7 2 ? AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? BD ? ? 7, 解得 BD ? 5 . 2 2 10

在 ?ADB 中,由余弦定理得

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD ? cos?ADB ? 8 ? 25 ? 2 ? 2 2 ? 5 ? (?

2 ) ? 37. 10

37. 【答案】 (1) an ? 3n ? 1 ; (2) 10. 【解析】 :(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 a2 ? 1, a4 ? 1, a8 ? 1 ,得
(3 ? 3d )2 ? (3 ? d )(3 ? 7d ), 解得 d

? 3 或 d ? 0 (舍) ,

故 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1. (2)由(1)知 bn ?

3 , bnbn ?1 3n ? 1

?

9 1 1 ? 3( ? ). (3n ? 1)(3n ? 2) 3n ? 1 3n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 9n b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 3( ? + ? +? ? ) ? 3( ? )? , 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 2 3n ? 2 6n ? 4 9n 45 依题有 ? , 解得 n ? 10. 6 n ? 4 32

? 2n ?1; (2) T ? (2n ? 3)2 ? 6 . * 【解析】(1)由 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 得: an?1 ? an ? 2(n ? N ) ,
38. 【答案】 (1) an
n ?1 n

∴数列 ?an ? 是以 a1 为首项,2 为公差的等差数列, 由 a1 , a2 , a5 成等比数列得 (a1 ? 2) ? = a1 ( a1 +8),解得 a1 =1, ∴ an

? 2n ?1(n ? N * ) .
? (2n ?1) ? ( 2) 2n ? (2 n ?1)2 n ,

(2)由(1)可得 bn

∴ Tn 即 Tn

? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn?1 ? bn ,
? 1? 21 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ?1) ? 2n ①, ?Tn ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ... ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1,

2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ②,
①-②可得 ∴ Tn

? (2n ? 3)2n?1 ? 6 .

39. 【答案】 (1)能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有关; (2)① 0 1 2 3 4 5 X

P

3 ( )5 5

2 3 C ( )( ) 4 5 5
1 5

2 3 C ( ) 2 ( )3 5 5
2 5

3 2 3 3 2 C5 ( ) ( ) 5 5

4 2 4 3 1 C5 ( ) ( ) 5 5

2 ( )5 5

6 . 5 【解析】 : (1)由题意可得关于商品和服务评价的 2× 2 列联表如下: 对服务好评 对服务不满意 合计 80 40 120 对商品好评 70 10 80 对商品不满意 150 50 200 合计
② E ( X ) ? 2, D ( X ) ?

200 ? (80 ?10 ? 40 ? 70)2 K ? ? 11.111 ? 10.828, 150 ? 50 ?120 ? 80
2

故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有关. 2 (2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为 ,且 X 的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 5

3 3 1 2 2 2 2 3 3 其中 P ( X ? 0) ? ( ) 5 ; P( X ? 1) ? C5 ( )( ) 4 ; P ( X ? 2) ? C5 ( ) ( ) ; 5 5 5 5 5 2 3 2 3 3 2 4 2 4 3 1 P ( X ? 3) ? C5 ( ) ( ) ; P ( X ? 4) ? C5 ( ) ( ) ; P ( X ? 5) ? ( )5 . 5 5 5 5 5

X 的分布列为: 0 X
P
3 ( )5 5

1

2
1 5

3
2 5 3 2 3 3 2 C5 ( ) ( ) 5 5

4
4 2 4 3 1 C5 ( ) ( ) 5 5

5

2 3 C ( )( ) 4 5 5

2 3 C ( ) 2 ( )3 5 5

2 ( )5 5

2 2 2 2 6 ②由于 X ~ B (5, ) ,则 E ( X ) ? 5 ? ? 2, D ( X ) ? 5 ? ? (1 ? ) ? . 5 5 5 5 5
2 2 40. 【答案】 (1) xA ? xB ? 6, S A ? 1.5, SB ? 1.8; (2) P(C ) ? 0.02 .

【解析】 : (1)从 A 校样本数据的条形图可知:成绩分别为 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、 9 分的学生分别有:6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. 4 ? 6 ? 5 ?15 ? 6 ? 21 ? 7 ?12 ? 8 ? 3 ? 9 ? 3 A 校样本的平均成绩为 x A ? , ? 6 (分) 60

1 ?6 ? (4 ? 6) 2 ? ? ? 3 ? (9 ? 6) 2 ? ? ? 1.5 . 60 ? 从 B 校样本数据统计表可知: 4 ? 9 ? 5 ?12 ? 6 ? 21 ? 7 ? 9 ? 8 ? 6 ? 9 ? 3 B 校样本的平均成绩为 xB ? , ? 6 (分) 60 1 2 B 校样本的方差为 S B ? ? 9 ? (4 ? 6) 2 ? ? ? 3 ? (9 ? 6) 2 ? ? ? ? 1.8 . 60
2 A 校样本的方差为 S A ?

因为 xA

2 2 ? xB , 所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又因为 SA ? SB ,所以 A 校的学生

的计算机成绩比较稳定,总体得分情况比 B 校好. (2) 记 C A1 表示事件“A 校学生计算机成绩为 8 分或 9 分”,

C A 2 表示事件“A 校学生计算机成绩为 9 分”,
CB1 表示事件“B 校学生计算机成绩为 7 分”, CB 2 表示事件“B 校学生计算机成绩为 8 分”,
则 C A1 与 C B1 独立, C A 2 与 C B 2 独立, C B1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 ? CB 2CA2 .

P(C) ? P(CB1CA1 ? CB2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB2 )P(CA2 ) .
由所给数据得 C A1 , C A 2 , C B1 , C B 2 发生的概率分别为

6 3 9 6 , P(CA2 )= , P (CB1 )= , P(CB 2 ) ? , 60 60 60 60 9 6 6 3 故 P (C )= ? + ? ? 0.02 . 60 60 60 60

P(CA1 ) =

41. 【答案】 : (1)证明见解析; (2)当点 N 与点 D 重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角 2 的正弦值为 ,理由见解析. 5

C ? A B 【解析】 : (1) 证明: (方法一) 由已知, 平面 ABCD ? 平面 ABPE , 且B

平面 ABPE , 所以 BA, BP, BC 两两垂直, 故以 B 为原点,BA, BP, BC 分别为 x 轴, y 轴,
z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

??? ? ??? ? ???? ?

, 则 BC ?

???? ? 1 1 则 P(0,2,0), D(2,0,1), M (1,1, ), E(2,1,0), C(0,0,1) ,所以 EM =( ? 1,0, ) . 2 2
易知平面 ABCD 的一个法向量等于 n ? (0,1, 0) ,
?

???? ? ? ???? ? ? 1 因为 EM ? n =( ? 1,0, ) ? (0,1, 0) ? 0 ,所以 EM ? n , 2 又 EM ? 平面 ABCD ,所以 EM ∥平面 ABCD .
(方法二)由已知,平面 ABCD ? 平面 ABPE ,且 BC ? AB ,则 BC ? 平面 ABPE , 所以 BA, BP, BC 两两垂直.连结 AC , BD ,其交点记为 O ,连结 MO , EM . 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 O 为 BD 中点.因为 M 为 PD 中点, 1 所以 OM ∥ PB ,且 OM ? PB . 2 又因为 AE ∥ PB ,且 AE ?

1 PB , 2

所以 AE ∥ OM ,且 AE = OM . 所以四边形 AEMO 是平行四边形,所以 EM ∥ AO . 因为 EM

? 平面 ABCD , AO ? 平面 ABCD ,所以 EM ∥平面 ABCD .
2 . 5

(2)当点 N 与点 D 重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 理由如下: 因为 PD ? (2, ?2,1), CD ? (2,0,0) ,设平面 PCD 的一个法向量为 n1

??? ?

??? ?

??

? ( x1, y1, z1 ) ,

?? ??? ? ? ? n1 ? PD ? 0, ?2 x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0, 由 ? ?? ??? 得? ? ? ? n1 ? CD ? 0 ?2 x1 ? 0.
取 y1 ? 1 ,得平面 PCD 的一个法向量 n1

??

? (0,1,2) .
2 . 5

假设线段 PD 上存在一点 N ,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值等于 设 PN

????

??? ? ? ? PD(0 ? ? ? 1) ,
? ??? ? ??? ? ? ?(2, ?2,1) ? (2?, ?2?, ?) , ??? BN ? BP ? PN ? (2? , 2 ? 2? , ? ) .

则 PN

????

??? ? ?? ??? ? ?? | BN ? n1 | ? ?? 所以 sin ? ?| cos ? BN , n1 ?|? ??? | BN | ? | n1 |
? 2 5 ? (2? ) ? (2 ? 2? ) ? (? )
2 2 2

?

2 5 ? 9? ? 8? ? 4
2

?

2 . 5

所以 9? 2 ? 8? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 1 或 ? ? ?

1 (舍去) . 9

因此,线段 PD 上存在一点 N ,当 N 点与 D 点重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正 2 弦值等于 . 5

4 42. 【答案】 : (1)证明见解析; (2) . 3
【解析】 : (1)由题意:以点 D 为坐标原点, DA 方向为 x 轴, DC 为 y 轴, DE 为 z 轴建 立空间直角坐标系,则 A ∴ BM

? 2,0,0? , B ? 2,2,0? , C ?0,4,0? , E ?0,0,2? , M ?0,2,1? ,
????

???? ?

???? ? ? ?2,0,1? ,平面 ADEF 的一个法向量 DC ? ? 0,4,0 ? ,
???? ?

? BM ? DC ? 0 ,∴ BM ? DC ,即 BM // 平面ADEF .

???? ? ????

(2)设 EM

???? ?

??? ? ? tEC ? t ? 0,4, ?2 ? ? ?0,4t, ?2t ? ,故点 M ? 0,4t,2 ? 2t ??0 ? t ? 1? ,
?

设平面 BDM 的一个法向量 n1 ? ?x, y, z ? ,则

??? ? ? ???? ? ? DB ? n1 ? 2 x ? 2 y ? 0, DM ? n1 ? 4ty ? ? 2 ? 2t ? z ? 0 .
令 y ? ?1 ,则 n1

?? ? ?? ? 2t ? ? ?1, ?1, ABF ,易知平面 的一个法向量 n ? 2 ? ?1,0,0 ? , 1? t ? ?
1 2? 4t
2 2

?? ?? ? n1 ? n2 ?? ?? ? ? ? ∵ cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? n1 ? n2

?

6 1 ,解得 t ? , 6 2

?1 ? t ?

∴ M ?0,2,1? 为 EC 的中点, S?DEM ? ∴ VM ? BDE ?

1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 , 2

1 4 ? S ?DEM ? h ? . 3 3
2

43. 【答案】 (1) y ? 4ax ; (2) FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 .

??? ? ??? ?

【解析】 (1)? 椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 右焦点 F 的坐标为 (a, 0) , 1 ? a2

??? ? ???? ? ? NF ? (a, ? n) .? MN ? (?m, n) ,? 由 MN ? NF ? 0 ,得 n2 ? am ? 0 .
设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 OM ? 2ON ? PO ,有 (m, 0) ? 2(0, n) ? (? x, ? y) ,

?m ? ? x, ? 2 2 ? y 代入 n ? am ? 0 ,得 y ? 4ax . n ? . ? 2 ?
(2)(法一)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? a , A(

y12 y2 , y1 ) 、 B( 2 , y2 ) , 4a 4a

则 lOA : y ?

4a 4a x , lOB : y ? x. y1 y2

4a ? x, 4a 2 4a 2 ?y ? y1 ,得 S (?a, ? 由? ) , 同理得 T (?a, ? ). y y 1 2 ? x ? ?a ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4a 2 4a 2 16a 4 2 . ? FS ? (?2a, ? ) , FT ? (?2a, ? ) ,则 FS ? FT ? 4a ? y1 y2 y1 y2
由?

? x ? ty ? a, ? y ? 4ax
2

,得 y 2 ? 4aty ? 4a 2 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4a2 .

则 FS ? FT ? 4a ?
2

16a 4 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 2 (?4a )
lOB : y ? ?2 x .

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 . (法二)①当 AB ? x 时, A(a, 2a) 、 B(a, ? 2a) ,则 lOA : y ? 2 x ,

??? ? ??? ?

??? ? ? y ? 2 x, 得点 S 的坐标为 S (?a, ? 2a) ,则 FS ? (?2a, ? 2a) . ? x ? ?a ??? ? ? y ? ?2 x, 由? 得点 T 的坐标为 T (?a, 2a) ,则 FT ? (?2a, 2a) . ? x ? ?a ??? ? ??? ? ? FS ? FT ? (?2a) ? (?2a) ? (?2a) ? 2a ? 0 .
由?

y ② 当 AB 不 垂 直 x 轴 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ( x ? a)(k ? 0) , A( 1 , y1 ) 、 4a B(
2 ??? ? ??? ? 16a 4 y2 . , y2 ) ,同解法一,得 FS ? FT ? 4a 2 ? 4a y1 y2

2

由?

? y ? k ( x ? a ), ? y ? 4ax
2

,得 ky ? 4ay ? 4ka ? 0 ,? y1 y2 ? ?4a2 .
2 2

16a 4 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 0 . 则 FS ? FT ? 4a ? 2 (?4a ) ??? ? ??? ? 因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 .
2

x2 ? y 2 ? 1; 44. 【答案】 (1) (2)以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . 3
【解析】 (1)依题意,得

c 6 ? , ab ? 3, 又a 2 ? b2 ? c 2 , a 3

? a ? 3, 解得 ? 故椭圆 C 的标准方程为 ? b ? 1, ? ?
(2) A(

x2 ? y 2 ? 1. 3
0 0

3,0) ,设 M (0, m) , N (0, n) , P( x , y

),

x0 2 ? y0 2 ? 1 ①, 则由题意,可得 3 ???? ? ??? ? 且 Q(? x0 , ? y0 ) , AP ? ( x0 ? 3, y0 ) , AM ? (? 3, m) .
因为 A, P, M 三点共线,所以 AP ? 故有 ( x0 ?

??? ? ???? ? AM ,
x0 ? 3
;同理,可得 n ?
???? ? ??? ?

3)m ? ? 3y0 ,解得 m ? ? 3 y0

? 3 y0 . x0 ? 3
???? ? ??? ?

假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN ,即 RM ? RN ? 0 . 因为 RM

???? ?

???? ? (?t, m) , RN ? (?t, n) ,
? 3 y0 x0 ? 3 ? ? 3 y0 x0 ? 3 ? 0 ,整理得 t ? ?
2

所以 t 2 ? mn ? 0 ,即 t 2 ? 又由①,得 3 y0
2

3 y02 , x0 2 ? 3

? 3 ? x02 ,所以 t 2 ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 .

故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . 方法二: (1)同方法一; (2)①当直线 l 的斜率不存在时,有 P(0,1) ,Q(0, ?1) ,M (0,1) , N (0, ?1) ,此时以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的点 (?1, 0) 和 (1, 0) ; ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,

? x2 2 3 3k 3 3k ? ? y ? 1, , ) , Q(? 联立方程组 ? 3 ,解得 P( ,? ). 2 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 1 ? y ? kx, ?

设 M (0, m) , N (0, n) 又直线 AP 的斜率 k1

?

k 1 ? 3k 2 ? 1

,直线 AM 的斜率 k2

??

m , 3


因为 A, P, M 三点共线,所以 k1 ? k2 ,解得 m ?

3k 3k ? 1 ? 1
2

同理,可得 n ? ?

3k 3k ? 1 ? 1
2



假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN , 直线 RM 的斜率 k3 ? ?

m n ,直线 RN 的斜率 k 4 ? ? , t t

所以 k3k4 ? ?1,故有 t 2 ? ?mn ,即 t 2 ? 整理,得 t 2 ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 ,

3k 3k ? 1 ? 1
2

?

3k 3k ? 1 ? 1
2



综合①②,可知以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) .

45. 【答案】 : (1)当 a ? 0 时,增区间为 ? 0,1? ,减区间为 ?1, ?? ? ;当 a ? 0 时,增区间为 (2) a ? ?1,??? ,减区间为 ? 0,1? ; 【解析】 : (1) f ?( x) ?

e ?1 ? e2 ; (3)见解析. 2

a (1 ? x) ( x ? 0) , x

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (0,1] ,单调减区间为 [1,??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 [1,??) ,单调减区间为 (0,1] . (2)令 F ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ? ax ? x ? 4 ? e ? a ln x ? x ? 1 ? e, F ?( x ) ? 若 ? a ? e , a ? ?e , F ( x) 在?e, e2 ?上 是增函数,

x?a ? 0. x

F ( x) max

e ?1 ? e2 ? F (e ) ? 2a ? e ? e ? 1 ? 0, a ? 无解. 2
2 2

若 e ? ?a ? e 2 , ? e2 ? a ? ?e , F ( x) 在 [e,?a] 上是减函数;在 [?a, e2 ] 上是增函数,
2 2 F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1. F (e ) ? 2a ? e ? e ? 1 ? 0, a ?

e ?1 ? e2 , 2

e ?1 ? e2 ? ?e ? a ? . 2
2

若 ? a ? e 2 , a ? ?e 2 , F ( x) 在 [e, e2 ] 上是减函数,

F ( x) max ? F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1,? a ? ?e2 .
e ? 1 ? e2 . 综上所述 a ? 2
(3)令 a ? ?1 (或 a ? 1 ) ,此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由(1)知 f (x) ? ?ln x ? x ?3 在 (1, ??) 上单调递增,∴当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f (1) , 即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 成立, ∵ n ? 2, n ? N* ,则有 ln(

1 1 1 1 1 ? 1) ? 2 ? ? ? , 2 n n (n ? 1)n n ? 1 n

要证 ln(22 ? 1) ? ln(32 ? 1) ? ln(42 ? 1) ? ?? ln(n2 ? 1) ? 1 ? 2ln n!(n ? 2, n ? N ? ) , 只需证 ln(

1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ? ? ln( 2 ? 1) ? 1( n ? 2, n ? N ? ), 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ? ? ln( 2 ? 1) ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 1 ? ? 1. 2 3 4 n 2 2 3 3 4 n ?1 n n

46. 【解答】 :依题意, f ?( x) ? a[( x ?1)?(e x ? a) ? ( x ?1)(e x ? a)?] ? a( x ? e x ? a), 令 h( x) ? a( x ? e x ? a) ,则 h?( x) ? a( x ? 1) ? ex . (1)①当 x ? 0 时, x ? e x ? 0 , a ? 0 ,故 h( x) ? f ?( x) ? 0 ,所以 f ?( x ) 在 (??, 0)上 不 存在零点,则函数 f ( x ) 在 (??, 0)上 不存在极值点; ②当 x ? 0 时,由 h?( x) ? a( x ? 1) ? e x ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??)上 单调递增. 又
h(0) ? ?a 2 ? 0 , h(a) ? a(a ? ea ? a) ? a2 (ea ?1) ? 0 ,

所以 h( x) ? f ?( x) 在 [0, ??)上 有且只有一个零点. 又注意到在 f ?( x ) 的零点左侧, f ?( x) ? 0 ,在 f ?( x ) 的零点右侧, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 [0, ??) 有且只有一个极值点. 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内有且只有一个极值点. (2)因为函数 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 (不妨设 x1 ? x2 ) , 所以 x1 , x2 是 h( x) ? f ?( x) 的两个零点,且由(1)知,必有 a ? 0 . 令 h?( x) ? a( x ? 1) ? e x ? 0 得 x ? ?1 ;

令 h?( x) ? a( x ? 1) ? e x ? 0 得 x ? ?1 ; 令 h?( x) ? a( x ? 1) ? ex ? 0 得 x ? ?1 . 所以 h( x) ? f ?( x) 在 (??, ?1] 单调递增,在 [?1, ??) 单调递减, 又因为 h(0) ? f ?(0) ? ?a2 ? 0 , 所以必有 x1 ? ?1 ? x2 ? 0 . 令 f ?(t ) ? a(t ? et ? a) ? 0 ,解得 a ? t ? et , 此时 f (t ) ? a(t ?1)(et ? a) ? tet (t ?1)(et ? tet ) ? ?e2t t (t ?1)2 ? ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) . 因为 x1 , x2 是 h( x) ? f ?( x) 的两个零点, 所以

f ( x1 ) ? ?e2 x1 ( x13 ? 2x12 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ?e2 x2 ( x23 ? 2x22 ? x2 ) .

将代数式 ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) 视为以 t 为自变量的函数 g (t ) ? ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) , 则 g ?(t ) ? ?e2t (t 2 ?1)(2t ?1) . 当 t ? ?1 时,因为 t 2 ?1 ? 0, 2t ?1 ? 0, e2t ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 , 则 g (t ) 在 (??, ?1) 单调递增. 因为 x1 ? ?1,所以 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( ?1) ? 又因为

4 , e2 f ( x1 ) ? 4 . e2

f ( x1 ) ? ?e2 x1 x1 ( x1 ?1)2 ? 0 ,所以 0 ?

当 ?1 ? t ? 0 时,因为 t 2 ?1 ? 0, 2t ?1 ? 0, e2t ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 , 则 g (t ) 在 (?1, 0) 单调递减, 因为 ?1 ? x2 ? 0 ,所以 0 ? g (0) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? g ( ?1) ? 综上知, 0 ? f ( x1 ) ?

4 . e2

4 4 且 0 ? f ( x2 ) ? 2 . 2 e e

47. A.【解答】 : (1)由弦切角定理可知, ?NTB ? ?TAB , 同理, ?NTB ? ?TCD ,所以 ?TCD ? ?TAB , 所以 AB / / CD . T

N
A C (2)连接 TM、AM,因为 CD 是切内圆于点 M, M B D

所以由弦切角定理知, ?CMA ? ?ATM , 又由(1)知 AB // CD , 所以, ?CMA ? ?MAB ,又 ?MTD ? ?MAB , 所以 ?MTD ? ?ATM . MD TD 在 ?MTD 中,由正弦定理知, , ? sin ?DTM sin ?TMD 在 ?MTC 中,由正弦定理知,

MC TC , ? sin ?ATM sin ?TMC

因 ?TMC ? ? ? ?TMD , MD TD TD BD 所以 ,由 AB / / CD 知 , ? ? MC TC TC AC 所以

MD BD ,即, AC ? MD ? BD ? CM . ? MC AC
2

2 B. 【答案】 (1) ? x ? 2 ? ? y ? 4 ; (2) ? ?
2

?

4 【解析】 (1)由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4? cos ? . 2 ∵ x ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,



3? . 4

2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? y ? 4 . 2

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?
?t ? t2 ? 2 cos ? , ?t1t2 ? ?3.

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? 1



AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?
??

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .

∴ 4cos 2 ? ? 2 , cos ?

2 ? 3? ,? ? 或 . 2 4 4

C.【答案】 (1) m ? 2 ; (2)1. 【解析】 : (1)当 x ? ?1 时, 当 ?1 ? x ? 1 时, 当 x ? 1 时,

f ? x? ? 3 ? x ? 2 ;

f ? x ? ? ?1 ? 3x ? 2 ;

f ? x ? ? ?x ? 3 ? ?4 , f ? x ? 取得最大值 m ? 2 .

故当 x ? ?1 时,

2 2 2 2 2 2 2 (2)因为 a ? 2b ? c ? a ? b ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2 ? ab ? bc ? ,

?

? ?

?

当且仅当 a

?b?c?

2 时取等号,此时 ab ? bc 取得最大值 1. 2

48. A.【解析】(1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,∴△DPC~△DBA, ∴ PC = PD ,又∵AB=AC,∴ PC = PD . AB BD AC BD (2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC∽△ACD. ∴ AP = AC ,∴ AC 2 ? AP ? AD ? 9. AC AD B.【解答】 (1)依题,因 ? 2 ? x2 ? y 2 , 所以曲线 C1 的直角坐标下的方程为 x2 ? y 2 ? 1, 所以曲线 C2 的直角坐标下的方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 又 y ? ? sin ? ,所以 ? 2 ? 2? sin ? ? 0 , 即曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? .

(2)由题令 T ( x0 , y0 ) , y0 ? (0,1] ,切线 MN 的倾斜角为 ? ,所以切线 MN 的参数方程为:

? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数). ? ? y ? y0 ? t sin ?
联立 C2 的直角坐标方程得, t
2

即由直线参数方程中, t 的几何意义可知,

? 2( x0 cos? ? y0 sin? ? sin? )t ?1? 2 y0 ? 0

,

TM ? TN ? 1? 2 y0 ,因为1 ? 2 y0 ?[?1,1) 所以 TM ? TN ? [0,1] . (解法二)设点 T ?cos? , sin ? ?,则由题意可知当 ? ? ?0 ? ? 时,切线与曲线 C2 相交,
由对称性可知,当 ? ? ? 0 ,

? ?

??

? 时斜线的倾斜角为 ? ? ,则切线 MN 的参数方程为: ? 2? 2

? ?? ? ? x ? cos? ? t cos? ? ? 2 ? ? cos? ? t sin ? ? ? ? (t 为参数) , ? ?? ? y ? sin ? ? t sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? t cos? ? 2? ? ?
与 C2 的直角坐标联立方程,得 t 2 ? 2 cos?t ? 1 ? 2 sin ? ? 0 , 则 TM

TN ? t1t 2 ? 1 ? 2 sin ? ,
? ?

因为 ? ? ? 0 ,

??
2? ?

,所以 TM

TN ? ?0,1?.

C.【解析】 : (1)因为 f ( x) ? m ? | x ? 2 |, 所以 f ( x ? 2) ? 1 等价于 A 是非空集合,所以 1 ? m ? x ? m ? 1 ,结合 取值范围是 B ?

x ? m ?1 , 由 ? ?1,1? ? A 知

? ?1,1? ? A 可得 m ? 1 ? 1 ? m ? 2 ,即实数 m 的

?2, ???.
1 1 1 ? ? ? 2, a 2b 3c

(2)由(1)知 m0 ? 2 ,所以

? a ? 2b ? 3c ?

1 1 1 1? ? a ? 2b ? 3c ? ? ? ? ? ? 2 ? a 2b 3c ?

1? 1 1 1 ? 9 ? ? a? ? 2b ? ? 3c ? ? . ? 2? 2 a 2b 3c ?

2


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