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1994年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案


1994 年高校招生全国数学统一考试
(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.

第I卷(选择题共 65 分)

一、选择题(本大题共 15 小题;第 1—10 题每小题 4 分,第 11—15 题每小题 5 分,共 65 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的) 1.设全集I={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A.{0} B.{0,1} C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4}

2.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)

3.极坐标方程 ρ=cos(π/4-θ)所表示的曲线是 A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆

4.设 θ 是第二象限的角,则必有 A.tg(θ/2)>ctg(θ/2) C.sin(θ/2)>cos(θ/2) B.tg(θ/2)<ctg(θ/2) D.sin(θ/2)<cos(θ/2)

5.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 个小时,这种 细菌由 1 个可繁殖成 A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个

6.在下列函数中,以 π/2 为周期的函数是 A.y=sin2x+cos4x B.y=sin2xcos4x D.y=sin2xcos2x
第1页 (共 12 页)

C.y=sin2x+cos2x

7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积为 A.32 B.28 C.24 D.20

8.设 F1 和 F2 为双曲线 x2/4-y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2=90° , 则△F1PF2 的面积是 A.1 B. /2 C.2 D.

9.如果复数 Z 满足│Z+i│+│Z-i│=2,那么│Z+i+1│最小值是 A.1 B. C.2 D.

10.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人 承担这三项任务,不同

的选法共有

A.1260 种

B.2025 种

C.2520 种

D.5040 种

11.对于直线 m、n 和平面 α、β,α⊥β 的一个充分条件是

12.设函数 f(x)=1-

(-1≤x≤0),则函数 y=f-1(x)的图象是

第2页

(共 12 页)

13.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是

A.16π/9

B.8π/3

C.4π

D.64π/9

14.函数 y=arccos(sinx)(-π/3<x<2π/3)的值域是

A.(π/6,5π/6)

B.[0,5π/6)

C.(π/3,2π/3)

D.(π/6,2π/3)

15.定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x) 之和.如果 f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么

第Ⅱ卷(非选择题共 85 分)

二、填空题 (本大题共 5 小题,共 6 个空格;每空格 4 分,共 24 分.把答案填在题中横 线上) (16) 在(3-x)7 的展开式中,x5 的系数是
王新敞
奎屯 新疆

(用数字作答)

第3页

(共 12 页)

(17) 抛物线 y2=8-4x 的准线方程是 准线相切的圆的方程是 (18) 已知 sinθ +cosθ =
1 5
王新敞
奎屯 新疆

, 圆心在该抛物线的顶点且与其

,θ ∈(0,π ),则 ctgθ 的值是_____________

王新敞
奎屯

新疆

(19) 设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2,圆锥顶点到直线 AB 的距离为 3 , AB 和圆锥的轴的距离为 1,则该圆锥的体积为_________
王新敞
奎屯 新疆

(20) 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1, a2,…an,共 n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量:与其他 近似值比较,a 与各数据的差的平方和最小.依此规定,从 a1,a2,…,an 推出的 a=
王新敞
奎屯 新疆

三、解答题(本大题共 5 小题,共 61 分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) (21) (本小题满分 11 分) 已知 z=1+i. (1)设ω =z2+3 z -4,求ω 的三角形式;
z
2 2

(2)如果

? az ? b ? z ?1

? 1 ? i ,求实数 a,b 的值.

z

(22) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f(x)=tgx , x ∈ (0 ,
1 2
x1 ? x 2 2

?
2

) . 若 x1 , x2 ∈ (0 ,

?
2

) , 且 x1 ≠ x2 , 证 明

[f(x1)+f(x2)]>f(

)

(23) (本小题满分 12 分) 如图,已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点. (1)证明 AB1∥平面 DBC1; (2)假设 AB1⊥BC1,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的 二面角α 的度数. (24) (本小题满分 12 分) 已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 顶点在原点,焦点在 x 轴 正半轴上.若点 A ( ? 1, 0 ) 和点 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上, 求直线 l 和抛物线 C 的方程.
第4页 (共 12 页)

(25) (本小题满分 14 分) 设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的自然数 n,an 与 2 的等 差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)令 b n ?
an 1 ? a n ?1 ? ? 2 ? an a n ?1 ? ? ? ? n ? N ? ,求 lim ?b1 ? b 2 ? ? ? b n ? n ?. ? n? ? ?

1994 年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1. C 11.C 2. D 12.B 3. D 4. A 5. B 14.B 6. D 15.C 7. B 8. A 9. A 10. C

13.D

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 17.x=3,(x-2)2+y2=1
? a2 ? ? ? an

16.-189
1 n

18. ?

3 4

19.

2 3

2

?

20.

?a 1

?

三、解答题 21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力. 解:(1)由 z=1+i,有 ω =z2+3 z -4 =(1+i)2+3 ?1 ? i ? -4 =2i+3(1-i)-4=-1-i, ω 的三角形式是 2 ? cos
? ? 5 4

? ? i sin

5 4

? ?.
?

?

(2)由 z=1+i,有
第5页 (共 12 页)

z

2 2

? az ? b ? z ?1

?

z

?1 ? i ? 2 ? a ?1 ? i ? ? b 2 ?1 ? i ? ? ?1 ? i ? ? 1

=

?a

? b ? ? ? a ? 2 ?i i

? ? a ? 2 ? ? ? a ? b ?i

由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i. 根据复数相等的定义,得 ?
? a ? ? 1, ?b ? 2 .
?a ? 2 ? 1 ?? (a ? b) ? ?1

解得 ?

22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力. 证明: tgx1+tgx2=
sin x 1 cos x 1 ? sin x 2 cos x 2

?

sin x 1 cos x 2 ? cos x 1 sin x 2 cos x 1 cos x 2 sin ? x 1 ? x 2

?

?

cos x 1 cos x 2 2 sin ? x 1 ? x 2

?

? ?

cos ? x 1 ? x 2 ? ? cos ? x 1 ? x 2

∵x1,x2∈(0,

?
2

),x1≠x2,

∴2sin(x1+x2)>0,cos x1cosx2>0,且 0<cos (x1-x2)<1, 从而有 0<cos (x1+x2)+cos (x1-x2)<1+cos (x1+x2), 由此得 tgx1+tgx2> ?
2 sin ? x 1 ? x 2

? ?

1 ? cos ? x 1 ? x 2
x1 ? x 2 2

,∴

1 2

( tgx1+tgx2)>tg

x1 ? x 2 2





1 2

[f(x1)+f(x2)]>f(

)

23.本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想 象能力和逻辑推理能力.

第6页

(共 12 页)

(1)证明: ∵A1B1C1-ABC 是正三棱柱,∴四边形 B1BCC1 是矩形. 连结 B1C 交 BC1 于 E,则 B1E=EC.连结 DE. 在△AB1C 中,∵AD=DC,∴DE∥AB1. 又 AB1 ? 平面 DBC1,DE ? 平面 DBC1,∴AB1∥平面 DBC1. (2)解:作 DF⊥BC,垂足为 F,则 DF⊥面 B1BCC1,连结 EF,则 EF 是 ED 在平面 B1BCC1 上的射影. ∵AB1⊥BC1, 由(1)知 AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则 BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α 的平面角. 设 AC=1,则 DC=
1 2

.∵△ABC 是正三角形,∴在 Rt△DCF 中,
1 4

DF=DC?sinC= 在 Rt△BEF 中,

3 4

,CF=DC?cosC=

.取 BC 中点 G.∵EB=EC,∴EG⊥BC.

EF2=BF· GF,又 BF=BC-FC=

3 4

,GF=

1 4


3

∴EF2=

3 4

· ,即 EF=
4

1

3 4

.∴tg∠DEF=

DF EF

?

4 3 4

? 1 .∴∠DEF=45°.

故二面角α 为 45°. 24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何 的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力. 解法一:依题设抛物线 C 的方程可写为 y2=2px (p>0), 且 x 轴和 y 轴不是所求直线,又 l 过原点,因而可设 l 的方程为 y=kx (k≠0). ①

设 A'、B'分别是 A、B 关于 l 的对称点,因而 A'A⊥l,直线 A'A 的方程为
y ? ? 1 k

?x

? 1?



第7页

(共 12 页)

由①、②联立解得 AA'与 l 的交点 M 的坐标为 ? ?
? k

?

1
2

?1

, ? k

k
2

? ?. ?1?

又 M 为 AA'的中点,从而点 A'的坐标为 x A'= 2 ? ?
?
? ?k

?

1 k
2

k ? ??1? ?1? k

2 2

?1 ?1



y A'= 2 ?

? k
2

2k ? . ?? 0 ? ? 2 ?1? k ?1



同理得点 B'的坐标为 x B'=
16 k k
2

?1



y B'=

8 ?k k
2

2

? 1? ?1





又 A'、B'均在抛物线 y2=2px(p>0)上,由③得
2k ? ? ?? 2 ? ? k ?1?
2

? 2p?

k k

2 2

?1 ?1

,由此知 k≠±1,



p ? k

2k
4

2

?1



?8 k ?1 同理由④得 ? 2 ? ? k ?1
2

?

?? ?
? ?

2

? 2p?

16 k k
2

?1





p ?

2 k

?k
2k
2 4

?

2

?1

2

?1 k 2 k

?

?

2



从而
k

?1

=

?k

?

2

?1

2

?1 k

?

?

2



整理得 k2-k-1=0. 解得 k 1 ?
1? 2 1? 2 5 5 , k2 ? 1? 2 5 5 1? 2 5 5

.

但当 k ?

时,由③知 x A ? ? ?

? 0,

这与 A'在抛物线 y2=2px(p>0)上矛盾,故舍去 k 2 ?
1? 2
第8页 (共 12 页)



设k ?

5

,则直线 l 的方程为 y ?

1? 2

5

x .

将k ?

1? 2

5

代入⑤,求得 p ?

2 5

5



所以直线方程为
y ? 1? 2 5 x .

抛物线方程为
2

y

?

4 5

5

x.

解法二:设点 A、B 关于 l 的对称点分别为 A'(x1、y1)、B'(x2,y2),则 |OA'|=|OA|=1,|OB'|=|OB|=8. 设由 x 轴正向到 OB'的转角为α ,则 x2=8cosα ,y2=8sinα . ①

因为 A'、B'为 A、B 关于直线 l 的对称点,而∠BOA 为直角,故∠B'OA'为直角,因此 x1=cos ? ? ?
? ?

? ?

? ? ? ? =sinα ,y1=sin ? ? ? ? =-cosα , 2 ? 2 ? ?



由题意知 x1>0,x2>0,故α 为第一象限角. 因为 A'、B'都在抛物线 y2=2px 上,将①、②代入得 cos2α =2p?sinα ,64sin2α =2p?8cosα . ∴8sin3α =cos3α , ∴2sinα =cosα , 解得
sin ? ? 1 5 1 5 2 5
2

, ? ? cos

2 5



将 sin ? ?

, ? ? cos

代入 cos2α =2psinα 得

p ?

cos

?

2 sin ?

?

2 5

5



∴抛物线 C 的方程为 y

2

?

4 5

5

x.

因为直线 l 平分∠B'OB,故 l 的斜率

第9页

(共 12 页)

? 1 ?? k ? tg ?? ? ? ?? 2? 2 ?

? ? ?? ?? ? ? ? ? tg ? ? 4 ? ?? ? 2

?

? ? ? sin ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ? 2 ? ?
5 ?1 2

?

cos ? 1 ? sin ?

?

1? 2

5

∴直线 l 的方程为 y ?

x .

25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析 问题与解决问题的能力. 解:(1)由题意,当 n=1 时有
a1 ? 2 2 a1 ? 2 2 ? 2 S 1 ,S1=a1,



?

2 a1 ,

解得

a1=2.
a2 ? 2 2 ? 2 S 2 ,S2=a1+ a2,a1=2 代入,整理得

当 n=2 时有

(a2-2)2=16. 由 a2>0,解得 当 n=3 时有 a2=6.
? 2 S 3 ,S3=a1+ a2+ a3,将 a1=2,a2=6 代入,整理得

a3 ? 2 2

(a3-2)2=64. 由 a3>0,解得 a3=10. 故该数列的前 3 项为 2,6,10. (2)解法一:由(1)猜想数列{an}有通项公式 an =4n-2. 下面用数学归纳法证明数列{ an }的通项公式是 an =4n-2 (n∈N). ①当 n=1 时,因为 4?1-2=2,又在(1)中已求出 a1=2,所以上述结论成立. ②假设 n=k 时结论成立,即有 ak=4k-2.由题意,有

第 10 页

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ak ? 2 2

?

2S k ,

将 ak=4k-2 代入上式,得 2k=
a k ?1 ? 2 2

2 S k ,解得 Sk=2k .

2

由题意,有

?

2 S k ? 1 ,Sk+1=Sk+ak+1,

? 2? ?a 2 2 2 将 Sk=2k 代入,得 ? k ? 1 ? =2(ak+1+2k ),整理得 a k ? 1 -4 ak+1+4-16 k =0. 2 ? ?
2

2

由 ak+1>0,解得 ak+1=2+4k.所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2. 这就是说,当 n=k+1 时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数 n 成立. 解法二:由题意,有
1 8
an ? 2 2 ? 2 S n ? n ? N ? ,整理得 Sn=

1 8

(an+2)2,

由此得 Sn+1 =

(an+1+2)2,
1 8

∴an+1= Sn+1-Sn =

[(an+1+2)2-(an+2)2],

整理得(an+1+ an)( an+1-an-4)=0, 由题意知 an+1+an≠0,∴an+1-an=4. 即数列{ an }为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4.∴an =a1+(n-1)d=2+4(n-1), 即通项公式为 an =4n-2. (3)解:令 cn=bn-1,则
cn ? ? an 1 ? a n ?1 ? ? ? 2? ? a ? 2? n a n ?1 ?
1 ?? 2 n ? 1 ? ? 2n ? 1 ?? ? 1? ? ? ? 1?? ?? 2 ?? 2 n ? 1 ? ? 2n ? 1 ??
1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1

?

?



b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn = ?1 ?
? ? 1? ?1 1? 1 1 ? ? ? ??? ? ??? ?? ? 3? ?3 5? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1 2n ? 1

?1?


(共 12 页)

第 11 页

∴ lim ?b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? n ? ? lim ? 1 ?
n? ? n? ?

? ?

? ? ?1 2n ? 1 ? 1

第 12 页

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